基于典型零件加工要素的砂型成形機關鍵幾何誤差分析與補償

李嵩松 馬 薔 侯明鵬 聶應新

（①北京金隅科技學校，北京 102403；②北京機科國創輕量化科學研究院有限公司，北京 100015；③北京工研精機股份有限公司，北京 101312）

隨著市場全球化以及競爭的不斷加劇，在汽車、機械以及其他重點領域，金屬件產品的更新換代速度不斷加快，生產周期短、批量小、更新快成為制造業的必然趨勢。單件、小批量金屬件的快速鑄造技術，具有廣泛的市場需求。在鑄造過程中，要求提高金屬件的鑄造準確性。砂型成形機主要應用于鑄造砂型零件的加工成形，其加工精度決定了砂型零件的尺寸精度進而影響了鑄造的準確性。提高砂型成形機的運動系統精度是提高砂型零件加工質量的必要途徑[1]。

零件的加工精度主要由加工設備的運動精度決定。根據數控設備的誤差來源，影響設備加工精度的主要誤差為設備幾何誤差、熱變形誤差和切削力誤差。Ramesh R 等[2]對設備的誤差來源做出了較為詳細的論述。其中熱變形誤差和切削力等誤差可以通過改進設備部件等技術手段實現補償，但是設備制造過程中產生的幾何誤差是造成零件加工不準確性的主要因素。

幾何誤差是機械設備制造過程中產生的不可避免的偏差，雖然無法避免，但可以通過研究其特性，并通過數控系統進行必要的補償，來提高機械設備的加工精度。機械加工設備幾何誤差動力學建模領域，國內外學者提出了齊次坐標變換矩陣[3-5]，螺旋理論[6-7]，指數模型[8]等方法進行建模。在關鍵幾何誤差識別方面：LEE R 等[9]以零件成形理論為思路，在設備制造誤差中對設備空間幾何誤差的影響因子展開了研究。范晉偉等[10]提出了一種用于識別關鍵幾何誤差的誤差靈敏度分析方法?；谝陨涎芯孔鳛樯靶统尚螜C的幾何誤差為21 項[11]，如果補償全部幾何誤差，檢測計算補償的工作量是巨大的，因此識別并補償關鍵幾何誤差的實際意義較大。

針對上述問題，本文提出一種基于典型零件加工要素的砂型成形機幾何誤差分析與補償的研究思路，將典型零件加工按設備加工特性，分解為斜四方臺、菱形臺、圓錐臺和圓柱臺等4 個典型零件加工要素[12]。然后根據多序體動力學理論建立砂型成形機的體積誤差模型?；趯嶋H檢測得出設備全部幾何誤差數據，采用Kim K 等[13]提供的三次多項式擬合方法建立砂型成形機的幾何誤差模型。同時結合4 種典型零件加工要素的刀具運動軌跡，分別進行關鍵幾何誤差分析，并進行相應地補償，進而提高零件加工精度。

1 誤差模型的建立

1.1 成形機的描述與拓撲結構

砂型成形機的結構示意圖，如圖1 所示，該成形機為高架橫梁移動龍門結構，包含X/Y/Z這3 個平動軸，其中X軸包含X0/X1 兩個運動軸。其中X軸、Y軸、Z軸均屬于刀具運動鏈。

圖1 砂型成形機結構示意圖

該成形機的運動鏈有兩個分支，分別為床身到工件的分支（MCS→WCS）和床身到刀具的（MCS→XCS→YCS→ZCS→SCS→TCS），如圖2 所示。其中，WCS 為工件坐標系，XCS、YCS、ZCS 為X軸、Y軸、Z軸的坐標系，MCS 為機床坐標系，SCS 為主軸坐標系，TCS 為刀具坐標系。

圖2 砂型成形機傳遞鏈的拓撲結構

由多體系統理論和拓撲結構分析可以得出此類成形機的各階低序體陣列，見表1。

表1 砂型成形機的低序體陣列

1.2 成形機特征矩陣的建立

三軸成形機單軸進給時，在6 個方向存在的微小偏差即為六自由度幾何誤差。因此，在成形機運動鏈中，3 個運動部件——X、Y、Z軸，共有18項與位置有關的幾何誤差（PDGEs），3 項與位置無關的垂直度誤差（PIGEs），三軸成形機共有21項幾何誤差，見表2。表中δ表示線性誤差、ε表示角度誤差，S表示垂直度誤差。

表2 砂型成形機的幾何誤差列表

綜合成形機各個運動部件的運動誤差特征矩陣、部件間運動誤差特征矩陣、刀具與工件的靜止誤差特征矩陣等產生成形機各個運動部件特征矩陣。其中由于在實際狀態下，刀具與主軸之間無相對運動；工件與工作臺無相對運動，因此特征矩陣可以視為單位矩陣。此外，主軸相對于Z軸銑頭只有回轉運動，且對回轉角無定位要求，因此在常規工況下，同樣可視為單位矩陣，篇幅所限，以上單位矩陣不在特征矩陣中列出。

在成形機實際的運動過程中，刀尖點的加工軌跡誤差是各運動誤差項積累和傳遞的結果，相對于工件的空間位置存在偏差，根據上文中特征矩陣可以進行坐標變換，從而得出刀尖點的空間位置誤差ΔE，可由式（12）計算得到。

式中：ΔE為理想點與實際點之間的誤差；Pt為實際加工點在機床坐標系中的齊次坐標；PW為理想加工點在工件坐標系中的齊次坐標。

1.3 成形機幾何誤差模型的建立

本文使用Renishaw 公司的XL-80 激光干涉儀[14-15]和電子水平儀（精度0.001 mm/m）測量成形機X/Y/Z平動軸的全部幾何誤差，擬合為空間位置的三次多項式函數。關于成形機X軸的6 項幾何誤差模型的表達式如式（13）所示。

X/Y/Z軸相應的幾何誤差如下。

式中：x表示成形機X軸的絕對運動量，單位為mm；PDGEs幾何誤差中。線性誤差δxx、δyx、δzx的單位為mm，角度誤差εxx、εyx、εzx的單位為rad。

Y軸：

2 零件加工要素下的機床關鍵幾何誤差分析

2.1 復雜零件的形狀誤差建模

包含典型零件加工要素的工件的三維模型，工件由4 部分組成，包括斜四方臺，菱形臺，圓錐臺和圓柱臺。其中圓柱臺直徑為130 mm，高為30 mm；圓錐臺，底面直徑為218 mm，圓錐角為120°；正菱形臺邊長為218 mm 高為30 mm；斜四方臺斜邊夾角為3°；直邊長為320 mm；高為20 mm；具有典型零件加工要素的零件模型如圖3 所示。包含典型零件加工要素的砂型件的形狀誤差建模是形狀誤差分析的前提和基礎。如圖4 所示，分析過程第一步為對這一復雜砂型件的三維模型進行零件加工要素分解，得到斜四方臺，菱形臺，圓錐臺，圓柱臺4 個典型零件加工要素。第一步分解完成后，第二步為基于UG 軟件設計完成的刀具走刀路徑；第三步為使用UG 軟件的后處理功能分別得到砂型成形機加工不同零件加工要素的NC 代碼；第四步為將機床各個平動軸的理想運動量代入式（13）～（15）的幾何誤差模型中，可以得到刀具運動路徑中各個位置點的幾何誤差的值。第五步為得到誤差值后，將這些典型零件加工要素的誤差值繼續代入式（12）的體積誤差模型中，最終得到其形狀誤差模型。

圖3 復雜工件的三維模型

圖4 典型零件加工要素分布

2.2 零件加工要素下的靈敏度分析

本文提出的根據典型零件加工要素誤差識別砂型成形機關鍵幾何誤差分析與補償的方法，利用此方法分析并識別砂型成形機的關鍵幾何誤差，結合測量數據和精度檢驗標準，對砂型成形機進行有針對性地調整和補償，進而提高砂型成形機的零件加工精度。測量并計算靈敏度影響因子是設備靈敏度分析的先決條件，靈敏度影響因子的精確度是靈敏度分析結果的根本所在，起到決定性作用。

在實際加工中，由誤差元素產生的零件加工誤差的大小不僅與該誤差的靈敏度影響因子有關，也與該誤差元素自身大小有關，一個設備幾何誤差的靈敏度影響因子數值越大，說明該項幾何誤差對加工零件形狀誤差的貢獻值越高。因此靈敏度影響因子的確定，在靈敏度分析中起著至關重要的作用。如式（16）所示[16]，各幾何誤差在不同零件加工要素的靈敏度影響因子可定義為

式中：Sn表示設備幾何誤差n（n=1,2,3,···,21）在不同零件加工要素中的靈敏度影響因子；[Db，Da]表示加工不同零件加工要素的切削運動的運動軌跡長度；En表示僅考慮單一幾何誤差n得到的輪廓誤差曲線；dx表示對切削刀具路徑上形狀誤差的微分。

通過式（16）能得到由單一項幾何誤差n引起的加工件的形狀誤差En，可由式（17）分解為3 個方向的分量。

式中：Enx/Eny/Enz分別表示幾何誤差n在X/Y/Z方向上的誤差分量。

誤差靈敏度的物理意義為21 項幾何誤差的單位變化量引起空間位置誤差的變化量，單項誤差的靈敏度系數越大，說明對設備的空間定位精度誤差的貢獻越大。為了評估各個單項誤差對空間定位誤差的相對影響，將各方向的誤差靈敏度影響因子進行歸一化處理，定義歸一化靈敏度影響因子Un，如式（18）所示。

2.2.1 圓錐臺要素的靈敏度分析

本文以典型零件加工要素圓錐臺為例，論述靈敏度分析過程。將典型加工件的模型輸入NX12.0 軟件中進行加工編程，NX12.0 生成的刀具軌跡需要經過后處理將刀具軌跡轉化為NC 程序代碼，通過代碼得到機床X/Y/Z的理想運動量。圓錐臺刀具軌跡如圖5 所示及X/Y/Z軸的理想運動量如圖6～8 所示。

圖5 圓錐臺刀具加工軌跡

圖6 切削圓錐臺X 軸理想運動量

圖7 切削圓錐臺Y 軸理想運動量

圖8 切削圓錐臺Z 軸理想運動量

把設備加工圓錐臺時X/Y/Z的理想運動量代入式（13）中的設備幾何誤差模型中，能得出設備在加工圓錐臺時各個位置的幾何誤差值。再將圓錐臺的幾何誤差值代入到設備的體積誤差模型中，得到圓錐臺的形狀誤差。

由式（13）～（17），可以得出設備單項幾何誤差，在典型零件加工要素的歸一化靈敏度影響因子。按此方法，可以得出18 項幾何誤差在圓錐臺加工要素的靈敏度分析結果，如圖9 所示，從圖中可以看出，幾何誤差εxx、δyz、δzz、δxz引起圓錐臺的形狀誤差的貢獻值較大，這4 項幾何誤差的歸一化靈敏度影響因子之和為0.831 6。其中，單項幾何誤差εxx的歸一化靈敏度影響因子為0.457 3，其對設備加工過程中定位誤差的貢獻值比其他項幾何誤差對定位誤差的貢獻值大很多，因此在后續的補償過程中，對單項幾何誤差的補償需要重點研究。

圖9 圓錐臺加工要素的靈敏度因子分析結果

2.2.2 圓柱要素的靈敏度分析

按上節所述靈敏度分析方法，可得到各項幾何誤差在圓柱加工要素中的歸一化靈敏度影響因子，分析結果，如圖10 所示。從圖中可以得出，δyy、δxy、δzx這3 個單項幾何誤差的歸一化靈敏度影響因子之和為0.771 9。其中δyy單項幾何誤差的歸一化靈敏度影響因子為0.501 2，其對設備加工過程中定位誤差的貢獻值比其他項幾何誤差對定位誤差的貢獻值大很多，因此在后續的補償過程中，對單項幾何誤差的補償需要重點研究。

圖10 圓柱臺加工要素的靈敏度因子分析結果

對比圓錐臺和圓柱臺兩項零件加工要素，將歸一化靈敏度影響因子按數值大小進行排位對比，得出結論為靈敏度影響因子排位略有不同，但總體影響趨勢基本相同。通過對比圓錐臺和圓柱臺要素中排位相同的單項幾何誤差的歸一化靈敏度影響因子不盡相同。因此得出根據典型零件加工要素進行靈敏度分析可以對設備幾何誤差之間的差異進行有效地識別，為后續計算設備的補償數據提供準確有效的基礎數據保障。

本文所涉及的成形機各單項幾何誤差的歸一化靈敏度影響因子大于0.15 的為關鍵性幾何誤差，從圖8 和圖9 可以得出關于涉及圓錐臺和圓柱臺形狀公差的關鍵幾何誤差，結果見表3 所示。從表中可以得出，關于圓柱臺加工要素的設備關鍵幾何誤差共計9 項，此九項均是與位置有關的誤差；對于圓錐臺特征，共有設備關鍵幾何誤差共13 項，均是與位置有關的誤差。因此可認為與位置有關的誤差PDGEs對圓柱臺和圓錐臺的形狀誤差起著重要的影響作用。

表3 影響圓柱臺和圓錐臺關鍵幾何誤差

2.2.3 斜四方形和菱形要素的靈敏度分析

由于砂型成形機設備加工斜四方形和菱形只需要X/Y兩軸聯動即可完成加工，所以Z軸相關幾何誤差無影響。

根據2.2.1 節中求取圓錐臺的幾何誤差靈敏度影響因子的方法，應用該方法求出各項幾何誤差在斜四方臺和菱形臺加工要素中的歸一化靈敏度影響因子，結果分別如圖11、12 所示，對比圖9、10可知，斜四方形臺和菱形臺要素的關鍵項幾何誤差較為相似，其中，δzx、δyx、εyy、δyy這4 項的歸一化的靈敏度影響因子之和超過70%。斜四方臺和菱形臺中相同項幾何誤差的歸一化靈敏度影響因子值的大小是不同的，其中關鍵項幾何誤差δzx、δyx、εyy、δyy的靈敏度影響因子的數值大小存在差異。

圖11 斜四方臺加工要素的靈敏度因子分析結果

圖12 菱形臺加工要素的靈敏度因子分析結果

基于上述分析的基礎上，可得到影響斜四方臺和菱形臺加工要素的關鍵幾何誤差，見表4，從表中得出對于斜四方臺要素，共有10 項關鍵幾何誤差，其中線性誤差有6 項，因此得出結論。線性誤差是影響斜四方臺和菱形臺形狀誤差的重要因素。

表4 影響菱形臺和斜四方臺的關鍵幾何誤差排序

3 典型零件加工要素下的機床關鍵幾何誤差補償試驗

根據上文所述分析可得，圓柱臺、圓錐臺、斜四方臺和菱形臺這4 個零件加工要素的關鍵幾何誤差歸一化靈敏度影響因子之和均大于90%，分別為99.82%、99.72%、99.90%和99.93%，將上述的零件加工要素的關鍵幾何誤差分別代入到成形機的體積誤差模型中計算其在總誤差中的占比，結果見表5 所示。

表5 關鍵幾何誤差占比分析

關鍵幾何誤差引發體積誤差占比在特征中均大于1，表明非關鍵幾何誤差引發體積誤差占比分別為-3.82%、-4.72%、-3.9%和-4.93%，結果表明關鍵幾何誤差與非關鍵幾何誤差對體積誤差中的作用效果相反，對比結果，可知關鍵幾何誤差占比大于非關鍵幾何誤差，因此，關鍵幾何誤差對體積誤差的影響具有決定性作用，進而證明本文中的檢測試驗方法的正確性。

通過本文中提出的基于典型零件加工要素的幾何誤差補償方法，其優點在于通過典型加工要素的檢驗指標能夠與運動軸公差形成映射關系，通過映射關系，使砂型機的精度補償與檢驗標準以及典型零件公差之間建立多元耦合映射關系，實現砂型機加工精度目標的優化分配。使得優化工作有的放矢地執行，傳統數控機床在實際生產中一般只進行定位補償。砂型機根據這一方法能夠通過切削零件，檢測零件精度，對砂型機進行診斷和全面的補償。

本文在一臺CAMTC-SMM2000 型砂型成形機上進行切削與補償的試驗，SMM2000 型砂型成形機的機械參數為X軸行程2 000 mm，Y軸行程2 000 mm，Z軸行程800 mm，各軸進給速度為5 000 mm/min，將圓錐臺、圓柱臺、斜四方臺和菱形臺這4 個加工要素的關鍵幾何誤差分別代入式（12）的設備體積誤差模型中，按參考文獻中的方法，按照逆運動學方法，計算補償后X/Y/Z軸的運動值，從而得到補償后的設備代碼[17]。應用補償程序后設備加工出的砂型零件。如圖13 所示。

圖13 補償后加工的砂型件

按照砂型件精度檢驗標準的檢測項目分布，如圖14 所示。應用手持非接觸式檢測儀對復雜砂型零件進行掃描并檢測零件誤差，如圖15 所示。補償后的4 個典型零件加工要素誤差平均值和補償率，見表6。補償后4 個典型零件加工要素的平均誤差分別為38.1 μm、20.2 μm、41.2 μm 和31.3 μm，加工精度提高55%～70%，其中誤差平均值為：將零件各項誤差值按靈敏度影響因子進行加權得出各個特征的誤差平均值，例如圓柱臺加工要素中圓度和高度的精度提高值按相關誤差項的影響因子加權平均得出誤差平均值。通過誤差平均值的提高可以得出本文補償方法對于砂型成形機加工精度的提高是有效的。

表6 補償前后的典型加工要素誤差平均值及補償率

圖14 手持非接觸式檢測儀

圖15 零件檢測項目分布圖

4 結語

本文從典型零件加工要素出發，通過研究加工零件要素的形狀誤差與設備體積誤差之間的關系，提出一種基于典型零件加工要素的數控設備幾何誤差辨識與補償的研究思路。通過對圓柱臺、圓錐臺、菱形臺、斜四方臺這4 種典型零件加工要素的靈敏度影響因子的分析與補償，初步檢驗了這一研究思路的可行性和有效性，得出了結論如下：

（1）影響典型零件加工要素形狀誤差的關鍵幾何誤差項雖然有相似之處，但對于同一單項幾何誤差的歸一化靈敏度影響因子在不同加工要素中的大小并不相同。因此在補償時需要進行區分。

（2）在分析各個典型零件加工要素的關鍵幾何誤差中，線性誤差占比很大，因此得出各項線性誤差對各個典型零件加工要素形狀誤差起決定性作用。

（3）對于各項關鍵幾何誤差，由歸一化系數的分布可以得出。

（4）基于CAMTC-SMM2000 成形機的誤差補償試驗結果顯示，補償后的典型零件加工要素的加工精度提高了55%～70%，因此本文提出的基于典型零件加工要素的靈敏度分析與補償的方法是有效的。