精心設計“問題串”,促進核心素養發展
——高中數學課堂中問題串設計策略的思考

廣東省五華縣教師發展中心 (514400) 宋淮南

高中數學高效課堂,宜以教師為主導、學生為主體的啟發式、探究式的教學方式,用較少的精力、有限的時間投入獲得最優的教學效能. 因此,在教學中精心設計問題串,以問題為導向,引導學生自主學習、合作探究、拓展延伸,是提高課堂教學效果,發展學生核心素養的重要手段. 所謂“問題串”教學,就是指在教學過程中,教師根據課標、結合教材,圍繞一定目標和某個中心問題,根據學情以及知識點的層層深入,設計一系列的問題,激發學生的學習興趣,促進學生積極思考、探究,讓數學課堂教學“活”起來,以達到事半功倍的教學效果. 下面筆者結合平時的教學實踐談談問題串的設計策略.

1 數學概念形成過程中設計問題串,加深概念理解

普通高中數學課程標準認為,概念的建構應通過問題情境—師生活動—意義建構—數學理論這四個重要環節來實現,因此,在數學教學中應圍繞學生最近發展區設計出科學、合理的問題串進行教學, 有利于培養學生的數學抽象素養,這是符合新課標的要求,也是新課改方向.

如在必修一第三章“函數的概念與性質—3.1 函數的概念及其表示”中,把課本里的列舉的問題情境分別設計問題串:

問題情境1: 某“復興號”高速車加速到350km/h 后保勻速運行半小時. 這段時間內,車行進的路程S(單位: h)與運行時間: (單位: km)的關系可以表示S=350t,這里,S=350t,t和S是兩個變量,而且對于t的每一個確定的值,S都有唯一確定的值與之對于,所以S是t的函數.

這是有解析式的, 要引導學生關注t在取值范圍, 例如“高鐵加速到300km/h 后,運行半小時,路程S隨時間t的變化而變化的規律是S=350t”,應該設置問題:

問題1: 時間t的變化范圍是什么?

問題2: 你能回答“1 小時后對應的距離是多少”嗎? 為什么?

問題3: 你認為如何描述才能真實反映列車的運動過程?

問題情境3: 圖1 是北京市2016 年11 月23 日的空氣質量指數(Air Quality Index,簡稱AQI)變化圖. 如何根據該圖確定這一天內任一時刻t的空氣質量指數(AQI)的值I? 你認為這里的I是t的函數嗎?

問題1: 時間的變化范圍是什么? AQI 的值I變化范圍是什么?

問題2:I是t的函數嗎? 為什么?

不能僅以“因為任意一個時間t都有唯一一個AQI 的值與之對應”了事, 應讓學生在圖上找出來, 再借助信息技術,把對應過程表達出來!

問題3: 從所給的圖中能回答“11 月24 日8 時對應的AQI 是多少”嗎?

問題4: 這是一個函數,有解析式嗎? 如果讓你表示出這個函數,你會怎么做?

把這個圖搬出來嗎?

從而產生符號意識,I=f(t)呼之欲出.

你認為按表3.1-1 給出的對應關系,恩格爾系數r是年份y的函數嗎? 如果是,你會用怎樣的語言來刻畫這個函數?

表3.1-1 我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況

問題1: 這個表格中,時間的變化范圍是什么? 能不能用[2006,2015]表示? 恩格爾系數的變化范圍是什么? (可以是[0.2857,0.3817],其實是(0,1])

問題2: 由這個表格,能判斷恩格爾系數是不是年份的函數? 你能說清楚到底是怎么對應的嗎?

問題3: 由這個表格,能得到2016 年的恩格爾系數嗎?

問題4: 這是一個函數,有解析式嗎? 你認為該如何表示這個函數?

從而形成符號意識, 設恩格爾系數為r, 年份為y,r=f(y)呼之欲出.

問題5: 它們都是函數,有什么共同特征?

問題6: 怎樣簡潔地表示出來?

由于是在初中時已經學習了一次函數、二次函數等簡單函數,故設計上述問題串,引導學生在不斷深化,將已有的知識經驗遷移、拓展到新內容中. 而且,在解決問題的過程中,師生、生生探討,交流,呈現出數學概念的形成過程,進而達成數學目標. 實際上,問題串可以看作整節課的骨架,把它設置在其重要的關節點,具有很好的階梯性、明確的指向性、良好的啟發性較強的探究性.

2 探索數學的規律中設計好問題串,提高探究能力

課程標準重視觀察與猜想等探索活動. 很多數學公式、定理、性質、法則的發現都經歷了一個觀察、猜想、驗證等思維推理過程. 探索性問題串的設計主要圍繞定理法則和公式的發生形成發展的三個過程展開,教師應引導學生通過觀察、歸納、猜想、動手操作等過程,充分展現數學知識的發生、形成與發展,從中獲得數學學習的體驗,提高探索能力,體味到數學的無窮魅力.

如在學習橢圓性質時,以問題串引導學生進行探究.

問題1: 觀察橢圓的形狀,可以發現橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形. 如何利用橢圓的方程描述橢圓的對稱性?

問題3: 不同橢圓的扁平程度不同. 扁平程度是橢圓的重要形狀特征, 你能用適當的量定量刻畫橢圓的扁平程度嗎?

上述系列化情境以問題為載體,構建了“分析背景—問題導向—探索幾何特征”的系列化數學活動,提高學生的探究能力,促進學生的直觀想象和邏輯推理的素養的發展.

又如,在用空間向量研究直線、平面的位置關系時,可圍繞空間中點、直線和平面的向量表示,構建了這樣一條問題串,通過空間向量的運算加以解決.

問題1:“如何用向量表示空間中的一個點? ”引導學生思考空間中點的向量表示.

問題2:“我們知道,空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l. 如何用向量表示直線l? ”引導學生思考空間中直線的向量表示.

問題3:“一個定點和兩個定方向能否確定一個平面? 進一步,一個定點和一個定方向能否確定一個平面? 如果能確定,如何用向量表示這個平面? ”引導學生思考空間中平面的向量表示.

問題4:“由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關系,可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關系? ”引導研究空間中直線、平面的平行.

問題5:“類似空間中直線、平面平行的向量表示,在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中,直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系? ”引導研究空間中直線、平面的垂直.

通過五個問題的步步追問、環環相扣、由淺入深把學生引向有意義的方向思考,再使之抽象到坐標系中,讓學生比較分析、大膽歸納,最后得到可靠的結論,提高學生邏輯思維能力,培養學生嚴謹的治學態度. 達到“道而弗牽、強而弗抑、開而弗達”的境界.

3 探究解決問題的方法設計問題穿,拓寬學生思路

問題串教學讓數學課堂教學很好的體現自主、合作、探究與開放. 提出恰當的、有較好啟發性的問題串,有利于學生思考和開展探究活動;同時能激發學生積極發現規律、體驗過程、研究創新,形成積極主動、合作探究的高效學習方式,從中會產生許多有價值的生成性資源,提高學生解決問題的能力,有利于培養他們的探究能力和創新精神.

例如,在拋物線與直線的位置關系的習題課中,我設計了下面的問題串,讓學生探究.

例: 斜率為3 的直線經過拋物線y2= 4x的焦點F,且與拋物線相交于A、B兩點.

問題1. 求線段AB的長.

學生分析、思考后,容易得到兩種解法,解法一是聯立直線方程與拋物線方程,求出交點坐標,再用兩點間距離公式求得線段AB的長; 解法二是聯立直線方程與拋物線方程,求出交點橫坐標,再運用拋物線定義求解.

問題2: 可不可以用求交點的坐標求出線段AB的長?

這個設問在于運用韋達定理可實現不解方程來解決問題,是設而不求的思想,具有一般性,為解決問題3 做好鋪墊.

問題3: 將斜率3 改為k,求線段AB的長.

追問1: 能否得到過拋物線焦點的弦長公式?

追問2: 能否得到直線與圓錐曲線相交所得弦長的公式?

拓展探究:

問題4: 當直線段經過拋物線的焦點時,以AB為直徑的圓和拋物線的準線位置關系怎樣?

問題5: 斜率為3 的直線被拋物線所截,求截得的線段AB的中點的軌跡方程.

問題6: 求該物線內弦長為a(a＞4)的動弦AB的中點到y軸的距離的最小值.

問題7: 求該拋物線上的點到直線y= 2x+6 的距離的最小值.

問題是探究的源泉,是培養學生思維的核心. 以最基礎的問題為出發點,通過改變已知條件或需求解的結論或對問題進行延伸拓展,設計不同情景下的問題串,引導學生思考與探究,學生的思維始終處于活躍、積極的狀態,不但掌握了相關的知識,得到解決問題的規律與思想方法,學生的核心素養也得到發展.

4 糾正學生錯誤過程中設計問題穿,增強嚴謹思維

學生在數學學習中出現錯誤是不可避免的,他往往能暴露學生的真實想法,反應學生的思維過程,包含著有價值的成分,教師若能善于發現錯誤背后隱藏的價值,巧用典型錯誤,通過設計問題串,變換問題的條件和結論,變換問題的形式,而不變換問題的本質,使學生更容易看清問題的本質.

例: 若函數f(x)=x3+ax2-a2在區間上是增函數,求實數a的取值范圍.

問題3: ∵f′(x) = 3x2+ 2ax≥ 0,x∈∴Δ ≤0,解出a的范圍就可以,是嗎?

通過對3 個問題的聯系與講解,使學生對這類問題注意的情況了解更加全面,思維的嚴謹性得到提高. 教育家波利亞說過:“好問題跟蘑菇有些像,它們都成堆生長,找到一個后,在周圍再找找,很可能附近就有好幾個. ”問題串就象這樣成群生長的蘑菇. 好的問題串能讓學生對所學的知識融會貫通,幫助他們跳出題海,達到高效學習,提高綜合能力.

合理、有效的“問題串”,能夠把整節課的知識聯系、整合在一起,是一堂成功的數學課的重要組成部分,成功的問題串能激發學生的學習興趣,打開學生學習的思維,促進學生積極思考、探究、合作與交流, 真正讓數學課堂教學“活”起來,提高學生的創新能力,促進他們核心素養的發展.