HPM 視角下數學教學設計探究
——以“一元一次方程”為例

濟南大學 (250022) 周紅鈺 溫鳳桐

在中學數學課堂中融入數學史,一方面為提升學生文化素養(yǎng)提供了重要方式,另一方面也為發(fā)展素質教育開辟了新的途徑. 本文從數學史與數學文化的角度出發(fā),以“一元一次方程”為例,圍繞“一元一次方程”的歷史形成與發(fā)展過程,進行展開教學設計. 同時,在課堂教學的過程中充分發(fā)揮數學史的育人功能,注重對學生數學學習情感態(tài)度、數學核心素養(yǎng)以及數學思想方法等方面的培養(yǎng).

1 HPM 理論概述

華東師范大學汪曉勤教授對于HPM 視角的數學教學研究成果十分豐碩,他提出的HPM 數學教育理論,即“一個視角、兩座橋梁、三維目標、四種方式、五項原則、六類價值”[1],也是本文進行一元一次方程教學設計的理論依據.

①一個視角: 歷史的視角. 對于某些知識點,按照教科書的邏輯順序進行講解,學生很難理解,借助于數學發(fā)展的歷史順序,能更好的引導學生走進數學世界,跟隨數學家們的歷史足跡發(fā)現問題進而解決問題.

②兩座橋梁: HPM 視角下的數學教學架起了兩座橋梁: 溝通歷史與現實的橋梁、溝通數學與人文的橋梁. 溝通歷史與現實的橋梁,體現了發(fā)生教學法的思想,有助于培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng). 溝通數學與人文的橋梁,體現了科學人文精神,有助于培養(yǎng)學生必備品格[1].

③三維目標: 指教師方面的三個發(fā)展目標——知識、信念和能力. HPM 視角下的數學教學不僅能夠促進數學教學目標的實現,還能夠促進教師自身的發(fā)展.

④四種方式: 附加式、復制式、順應式、重構式. 這是汪曉勤教授提出的將數學史融入數學教學的四種方法.

⑤五項原則: 科學性、趣味性、新穎性、可學性、有效性.

⑥六類價值: 采用數學史進行數學教學,對于學生數學學習的知識、方法、探究過程、文化、能力、德育等六方面有十分重要的教育價值.

2 一元一次方程教學活動設計

以人教版義務教育教科書《數學》七年級上冊第三章第一節(jié)“從算式到方程”的教學過程為例, 選擇合適的數學史料,進行數學史融入的教學設計.

2.1 以史搭橋,轉變思想

師: 中世紀時候有一位意大利的數學家斐波那契,在他的著作《計算之書》中記錄了許多的行程問題[2]. 其中就有一道“兩船相遇”問題,我們一起來看一下.

“兩船相遇”問題:A、B兩地相距480 km,甲船從A地到B地需行駛4 天,乙船從A地到B地需行駛6 天,兩船分別從A地和B地出發(fā),相向而行,如果乙船先行一天,甲船才準備出發(fā),問他們幾天后可以相遇?

師: 大家能不能列算式計算一下這道題目呢?

生: 通過距離與時間可以分別求出甲船與乙船的行駛速度,分別為120km/天、80km/天,因為乙船先走一天,所以乙船先走了80km,那么剩下的400km 是兩人一起走的,所以需要

師: 很好,看來大家都會用已學知識來解決這個問題,但是大家有沒有發(fā)現列算式解決這個問題有點復雜呢?

(學生不約而同地點頭)

師: 所以,我們今天來學習一種新的解法(板書課題“從算式到方程”). 首先我們來看這個問題中涉及到哪些量,這些量有哪些等量關系呢?

生1: 已知甲、乙兩船的速度、AB兩地之間的距離.

生2: 甲乙兩船相向而行,所以甲乙兩船走的距離之和相加等于480km.

師: 對,那同學們覺得應引入哪個未知量,能否用含有未知數的式子將相等關系表示出來呢?

生: 學生相互交流討論,通過教師引導,設甲乙兩船x天后可以相遇,列出相應方程:

師: 我們在探究數學問題時可以發(fā)現,題目中的已知量與未知量之間往往都存在著一定的相等關系,這種相等關系可以用含有未知數的等式表示出來,這種含有未知數的等式我們把它叫做方程. 在方程這里,我們大腦中的概念從字母表示數進化到了用字母表示未知數[3]. 同學們可不要小瞧了小小的未知數x,下面讓我們穿越一千多年走進代數之父丟番圖,看看他與未知數又有著怎樣的故事呢?

多媒體展示丟番圖墓志銘:

“過路人! 這兒安葬著丟番圖. 下面的數目可以告訴您他活了多少歲.

他生命的六分之一是幸福的童年.

再活十二分之一,頰上長出了細細的胡須. 又過了生命的七分之一他才結婚.

再過了五年他感到很幸福,得了一個兒子. 可是這孩子光芒燦爛的生命只有他父親的一半.

兒子死后,老人在悲哀中活了四年,完畢了塵世的生涯.

師: 丟番圖的一生可以濃縮為一篇墓志銘,同學們通過這篇墓志銘,你能用含有未知數的式子表示出丟番圖活了多少歲嗎?

學生獨立思考,快速的在紙上列出方程.

生: 設丟番圖活了x歲,列方程:

師: 大家回答的非常準確! 通過設未知數的方式,我們可以按照順向思維去解決實際問題了.

設計意圖選用兩道歷史名題進行導入,但是并沒有全部照搬,而是按照學生的實際情況進行了相應的改變與整合,利用多媒體展示出兩道有趣的題目,引導學生通過思考解決問題. 采用順應式的方式將數學史融入其中.

2.2 追本溯源,加深理解

師: 用字母表示未知數,并且用含有未知數的等式表示出等量關系,有助于我們更加簡便的解決問題.觀察剛才列出的兩個方程,討論一下他們有什么共同點呢?

生1: 這三個式子都含有未知數,都是等式;

生2: 等號兩邊都是整式;

生3: 未知數的次數都是1.

師生共同歸納總結一元一次方程的概念: 只含有一個未知數(元),未知數的次數都是1,等號兩邊都是整式,這樣的方程叫做一元一次方程.

師(追問): 同學們“元”與“次”分別指的什么呢?

生:“元”是指未知數,“次”是指未知數的次數.

師: 不錯,通過我們的討論,我們對于方程有了更為深刻的理解,其實方程有著悠久的發(fā)展歷史.

多媒體展示方程發(fā)展史: 公元820 年左右,阿拉伯數學家花拉子米曾寫過一本《對消與還原》的書,重點討論方程的解法,也就是我們后面要學習的合并同類項和移項[3]. 17世紀, 法國數學家笛卡爾最早提出用字母x、y、z表示未知數,通過不斷的簡化改進,才造就我們現在見到的方程形式.

我國古代數學家在方程的研究方面也有著卓越的成就.著名的中國古代數學著作《九章算術》中有專門的一章研究方程. 宋元時期, 中國的數學家們創(chuàng)立了“天元術”, 用“天元”來表示未知數然后列出方程. 數學家李冶的著作《測圓海鏡》是這種方法的代表作,書中說的“立天元一”的思想相當于現在的“設未知數x”. 我國古代用來表示未知數的還有“地元”、“人元”、“物元”等[2].

設計意圖基于對方程、一元一次方程的描述性定義,在掌握知識的同時,引導學生感悟古人創(chuàng)造方程的智慧,開闊文化視野,明晰方程源起,喚起學生的愛國之情,在潛移默化中進行德育教育.

2.3 名題再現,鞏固新知

練習1:《九章算術》是中國古代一部重要的數學典籍,被視為“算經之首”. 其中有這樣一個問題: 今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百. 問人數,金價各幾何?其大意是:

假設合伙買金,每人出400 錢,還剩余3400 錢; 每人出300 錢,還剩余100 錢. 問人數,金價各是多少? 如果設有x個人,根據題意列出方程.

練習2: 中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載:“三百七十八里關,初日健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關”[4]. 其大意是, 有人要去某關口, 路程為378里,第一天健步行走,從第二天起,由于腳痛,每天走的路程都為前一天的一半,一共走了六天才到達目的地,則此人第六天走的路程為多少? 請用含有未知數的式子表示.

學生獨立思考,列出相應方程,師生共同給出答案,總結做題方法:

設計意圖通過兩道歷史名題,激發(fā)學生的探究欲望. 從《九章算術》與《算法統(tǒng)宗》中選取兩個問題,一方面體現出方程與實際生活的聯(lián)系,向學生滲透方程思想,總結做題方法;另一方面從史學角度引導學生對于方程以及一元一次方程定義的深層次理解,同時體會到我國古代數學家對于方程的研究,增強民族自豪感.

2.4 史料擴展,延伸學習

師: 同學們,經過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲呢?

生: 學習了一元一次方程的定義,理解了“元”與“次”的含義

生: 我知道了方程的來源,數學家們研究方程是為了更簡便的解決問題

生: 我認識到許多數學家以及他們的偉大成就

師: 看來同學們今天收獲頗豐,那么課下希望同學們能夠繼續(xù)收集與一元一次方程有關的歷史故事, 可以以手抄報、繪畫等形式在下次上課時向我們大家展示,期待大家的作品!

設計意圖將數學史教學由課上延伸至課下,豐富學生課余生活的同時,激發(fā)學生對于數學學習的興趣,改善學生對于數學學習的情感態(tài)度. 讓學生在搜集與閱讀數學史故事的過程中,加深對于方程的理解,汲取數學文化營養(yǎng),培養(yǎng)學生動態(tài)的數學觀,感受鮮活的數學知識.

3 教學設計立意解析

此教學設計借助改編的數學史名題,創(chuàng)設符合學生認知的問題情境,由此導入新課. 采用順應式的方式將數學史融入其中,激發(fā)了學生學習興趣的同時引導學生通過思考解決問題,調動了學生學習的主動性和積極性. 以“行程問題”為載體,通過層層設疑,使學生思維逐步由算術思維轉變到代數思維上來,同時再以“丟番圖墓志銘問題”跟進,讓學生在解決問題的過程中體會到方程的便捷性與必要性,無形中滲透方程思想. 在新知探究環(huán)節(jié),通過多媒體展示方程發(fā)展歷史,一方面加深學生對于方程的理解與認識,助力學生厘清“元”與“次”的含義, 另一方面, 擴寬學生的數學文化視野,感受中外數學家對于方程發(fā)展的不懈努力,引導學生體會到“一元一次方程”名稱中彰顯了我國古人的智慧與成就,逐步構建學生對于方程的認知. 在一元一次方程應用的過程中,選取《九章算術》與《算法統(tǒng)宗》中的歷史名題,借此凸顯一元一次方程具有多樣的歷史文化內涵,符合命題規(guī)律,增強學生文化素養(yǎng).