以動探動
——以“絕對值的應用”為例

廣東省東莞市南城陽光實驗中學 (523000) 鄭珍

動點問題是每年中考的熱門題型,同是也是學生較難掌握的一個內容. 通常老師教給學生的方法是化“動”為“靜”,學生只是被動的接受這種方法. 但是,新課標理念之一是: 實施促進學生發展的教學活動. 所以,我們的教學不僅是傳授方法,更重要的是讓學生在理解知識本身情況下的做到靈活應用. 所以,本文以絕對值的概念為例研究以“動”探“動”的應用.

1 絕對值的概念

一般地,數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值,記作|a|.

2 在數軸上表示線段長度

如圖2.1,數軸上的點A,B,C分別表示數-3,-1,2.

圖2.1

圖3.1

(1)A,B兩點的距離AB= 2,A,C兩點的距離AC=5;

(2)通過觀察,可以發現數軸中任意兩點間的距離與這兩點表示的數的差的絕對值有一定關系: 即: 若點D表示的數為x,則CD=|x-2|.

根據絕對值非負性知數軸上任意兩點間的距離是右邊的點表示的數減去左邊的點表示的數;如A,B兩點的距離AB=-1-(-3)=2,A,C兩點的距離AC=2-(-3)=5.當不知道誰大誰小時,兩點間的距離就是這兩點表示的數的差的絕對值.

以上是我們給學生講解的常規思路,如果我們從平移動態的角度來看: 點A向右平移2 個單位到達點B(點B向左平移2 個單位到達點A),所以AB的長度是2.

2.1 在數軸中的應用

例題如圖2.1 求點D在數軸上的位置,使得CD=4.

常規思路: 由于題目中不知道C,D哪個點在右,那就說明有兩種可能情況;所以我們只能用兩點表示的數的差的絕對值來表示兩點間的距離.

解設點D在數軸上表示的數為x,則CD=|x-2|=4.解得x1=6,x2=-2.

以動探動: 點D是數軸上的一動點,滿足CD=4. 那就可以動態角度理解,將點C分別向左、右平移4 的單位長度即可求出點D的位置.

小結: 到數軸上一定點距離等于一定長的點有兩個,這兩個點分布在定點的左右兩側,分別是將定點向左或向右平移定長后所在的點.

3 從數軸到平面直角坐標系

眾所周知我們初中幾何的學習是由線到面的,平面直角坐標系其實就是兩條相互垂直的數軸構成了一個平面. 在我們看來這個只是一維到二維的變化,但卻給我們的學生帶來了無盡的煩惱. 在平面直角坐標系中學生不能將其與數軸類比,學習起來有困難;特別是動點的問題. 我們這里要“以動探動”的研究平面直角坐標系中通過平移的方式求線段長度的方法.

3.1 在平面直角坐標系中應用

例 題 如 圖 3.1, 在平面直角坐標系中, 點A(-1,0),B(2,-1).

若點C在x軸上, 且,求點C的坐標;

解設C點坐標為(x,0),∵點A(-1,0),∴AC=∴點C的坐標為

如果我們“以動探動”就可以認為是將點A沿x軸向左或向右平移個單位長度后得到點C的坐標.

(2) 過點B作BE//y軸, 點D在直線BE上, 且求點D的坐標.

解設點設D點坐標為(2,y),∵點B(2,-1),∴BD=∴點D的坐標為

同理我們“以動探動”就可以認為是將點B沿平行y軸的BE向上或向下平移個單位長度后得到點D的坐標.

4 “以動探動”在綜合題中的應用

在平面直角坐標系中,求兩點線段的長度問題,往往要過點往兩個坐標軸做垂線段即:“化斜為直”的思想來處理.初中階段我們經常會遇到: 求兩函數之間的豎直距離(鉛垂線)可以用上面的函數解析式(y)減去下面的函數的解析式(y);求兩函數水平間的距離(水平線)我們可以用右邊函數的自變量(x)減去左邊函數的自變量(x),這兩個問題我們稱為“十字線”問題. 但是,學生求豎直方向和水平方向的線段的長度問題時很容易搞錯;如果我們能從絕對值的幾何意義的角度去解釋,我相信學生會很容易接受.

4.1 綜合應用

例1 如圖4.1-1, 已知拋物線過點A(3,0),B(-1,0) ,C(0,3),連接AC,點D是線段AC段上的動點,過點D作DE⊥x軸,交拋物線于點E.

圖4.1-1

圖4.1-2

圖4.2

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接AE,CE;若點D的橫坐標為k,求DE(用含k的式子表示);設ΔACE面積為S,求S的有最大值?

解(1) 由待定系數法求得拋物線解析式為y=-x2+2x+3.

(2)分析: 點E可以看成是點D向上平移得到的,設出兩點坐標后就很容易表示DE的長度. 由待定系數法求得直線AC的解析式為y=2x+3.

設點D的橫坐標是k.

(3)若點M是拋物線AC段上的一點,且CM//x軸. 求∠CAM的正切值;

(4)點P在拋物線上,且∠BAP= ∠CAM,求點P的坐標.

(4)分析: 這里先做動態理解,即射線AB可以通過繞點A逆時針或順時針旋轉∠CAM大小.

分析: 因為OA//MN,如果OA=MN, 就可以判斷平行四邊形; 所以問題就轉化為在AB上找點M 使得MN=2;有因為MN//x軸,從可以認為是從點M向右或向左平移2 個單位長度后到達點N.

5 總結

本文重點通過舉例研究“動”探“動”的思想在解決動點問題的中應用. 通過對絕對值這一初中第一個通過數形結合來理解的概念開始,讓學生開始就以動態的思維考慮動點問題. 從而培養學生獨立思考、自主探索的思想,通過四個例題讓學生進一步掌握“動”探“動”的思想. 所以,在平時的教學中,我們要把知識本身講解清楚,然后學生才能夠做到靈活應用.