建立幾何模型,促使高效學(xué)習(xí)
——初中“最短路徑問(wèn)題”的教學(xué)研究

廣東省廣州市荔灣區(qū)西關(guān)廣雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (510160) 王丹麗

初中平面幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中,是在逐步的培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力以及獨(dú)立思考解決問(wèn)題的能力,而幾何題目總是千變?nèi)f化,不同的圖形背景有時(shí)讓問(wèn)題變得錯(cuò)綜復(fù)雜,大多數(shù)學(xué)生感覺(jué)到很困難,總是手足無(wú)措;“最短路徑問(wèn)題”就是很典型的問(wèn)題,事實(shí)上,很多時(shí)候解題方法是相似的,正所謂“萬(wàn)變不離其宗”,因此在中考復(fù)習(xí)時(shí),建議在引導(dǎo)學(xué)生解決這類問(wèn)題之后,及時(shí)歸納總結(jié),提煉解題方法,這將能更大程度的提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率和解決問(wèn)題的能力.

1 解決“最短路徑問(wèn)題”的兩個(gè)基本事實(shí)依據(jù)

1.1 點(diǎn)與點(diǎn)間的距離:“兩點(diǎn)之間,線段最短”

如圖1-1,點(diǎn)A到點(diǎn)B間的最短路徑為線段AB,由此引申出三角形三邊關(guān)系: 三角形任意兩邊之和大于第三邊.

圖1-1

1.2 點(diǎn)與直線間的距離:“點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)連線中,垂線段最短”

如圖1-2,點(diǎn)P與直線l上的點(diǎn)A、B、C、D的連線中,線段PB的長(zhǎng)度最短.

圖1-2

2 深入常見(jiàn)模型,建立解題策略

化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的思想方法,“化歸”即轉(zhuǎn)化歸納,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中,往往需化繁為簡(jiǎn),化難為易,化未知為已知,化歸思想在數(shù)學(xué)研究中無(wú)處不在[2].

線段和的最短路徑問(wèn)題的基本模型.

模型一兩定點(diǎn)一直線[3]

類型1: 兩定點(diǎn)在同一直線異側(cè)

例1如圖2-1,定點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小.

解如圖2-1-1,連接AB交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn). 可以用三角形任意兩邊之和大于第三邊進(jìn)行證明,理由: 兩點(diǎn)之間,線段最短

圖2-1

類型2: 兩定點(diǎn)在同一直線同側(cè)

例2如圖2-2,定點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小.

解如圖2-2-1, 作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′, 連接AB′交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).

圖2-2-1

圖2-2

作對(duì)稱實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)B與點(diǎn)B′的等價(jià)變換, 此時(shí)PA+PB=PA+PB′, 將定點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)A、B′在直線l的異側(cè),取最小值時(shí),作對(duì)稱能將折線APB轉(zhuǎn)化為線段AB′. 其中選擇點(diǎn)A作對(duì)稱也是可以達(dá)到轉(zhuǎn)化作用的.

模型二一定點(diǎn)兩直線[3]

類型1 定點(diǎn)在兩直線夾角的內(nèi)部

例3如圖2-3,點(diǎn)A位于直線m、n夾角的內(nèi)部,在直線m、n上分別找點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QA最短.

解如圖2-3-1,作點(diǎn)A分別關(guān)于直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)A、A′′,連接A′A′′交直線m于點(diǎn)P,交直線n于點(diǎn)Q,點(diǎn)P、Q即為所求作的點(diǎn).

圖2-3-1

圖2-3

通過(guò)兩次作對(duì)稱,將折線APQ轉(zhuǎn)化為線段A′A′′,從而取最小值.

類型2 定點(diǎn)在一直線上

例4如圖2-4,點(diǎn)A位于直線n上一定點(diǎn),在直線m、n上分別找點(diǎn)P、Q,使PA+PQ最短.

解如圖2-4-1,作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A′,過(guò)點(diǎn)A′作直線n的垂線,垂足為點(diǎn)Q,交直線m于點(diǎn)P,點(diǎn)P、Q即為所求作的點(diǎn).

圖2-4-1

圖2-4

通過(guò)作對(duì)稱, 將折線APQ轉(zhuǎn)化為線段A′Q, 又因?yàn)辄c(diǎn)Q為直線n上的動(dòng)點(diǎn),根據(jù)“點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)連線中,垂線段最短”,所以過(guò)點(diǎn)A作直線n的垂線段,從而取最小值.

模型三兩定點(diǎn)兩直線[3]

類型1: 兩定點(diǎn)在兩直線的外部

例5如圖2-5,l1//l2,l1,l2之間距離為d,在l1,l2分別找M、N兩點(diǎn),使得MN⊥l1,且AM+MN+BN的值最小.

解如圖2-5-1, 將點(diǎn)A向下平移d個(gè)單位到A′, 連接A′B交直線于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向上平移d個(gè)單位到M,點(diǎn)M、N即為所求作的點(diǎn).

圖2-5-1

圖2-5

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)間線段MN為定長(zhǎng),這里求AM+MN+BN的值最小相當(dāng)于求AM+BN的值最小,將點(diǎn)A平移到A′相當(dāng)于將線段AM平移至A′N,此時(shí)AM+BN=A′N+BN,轉(zhuǎn)化為例1 的問(wèn)題.

類型2: 兩定點(diǎn)在兩直線夾角的內(nèi)部

例6如圖2-6,點(diǎn)A、B位于直線m、n的內(nèi)側(cè),在直線m、n上分別找點(diǎn)D、E,使四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.

解如圖2-6-1,作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)A′、作點(diǎn)B關(guān)于直線n的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接A′B′交直線m于點(diǎn)D,交直線n于點(diǎn)E,點(diǎn)D、E即為所求作的點(diǎn).

圖2-6-1

圖2-6

因?yàn)槎c(diǎn)間線段AB為定長(zhǎng), 要使四邊形ADEB周長(zhǎng)最短即AD+DE+BE+AB的值最小, 相當(dāng)于求AD+DE+BE的值最小, 這個(gè)問(wèn)題類似例3, 通過(guò)作對(duì)稱,化折為直,從而取最小值.

幾何題目有時(shí)主要考查知識(shí)相同,但題目靈活多變,我們需要研究分析問(wèn)題的共性, 在尋找解題方法中歸納總結(jié),建立解題模型. 在上述基本模型中涉及的直線,實(shí)際上是動(dòng)點(diǎn)所在的直線,而直線的數(shù)量其實(shí)就是動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量,因此我們可以從動(dòng)點(diǎn)數(shù)量的角度進(jìn)行分析模型的解題途徑,找到它們的共性.

解題策略一當(dāng)題目中只出現(xiàn)了一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí):

(1)若動(dòng)點(diǎn)所在直線在定點(diǎn)之間,利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”,直接連接;

(2)若動(dòng)點(diǎn)所在直線在定點(diǎn)同側(cè),可作其中一定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn),再連接.

解題策略二當(dāng)題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí):

(1)動(dòng)點(diǎn)所在直線平行(或共線),若兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間距離是定長(zhǎng),可以將其中一個(gè)定點(diǎn)沿定長(zhǎng)方向平移定長(zhǎng)距離,轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題求解;

(2)動(dòng)點(diǎn)所在直線相交,若定點(diǎn)在夾角內(nèi)部,一般需要將內(nèi)部定點(diǎn)作軸對(duì)稱,有時(shí)需要多次對(duì)稱;

(3)動(dòng)點(diǎn)所在直線相交,定點(diǎn)在其中一條直線上,可作定點(diǎn)關(guān)于另一直線的對(duì)稱點(diǎn),再過(guò)該對(duì)稱點(diǎn)做定點(diǎn)所在直線的垂線段.

(4)當(dāng)題目中出現(xiàn)了三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),可將其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)看作定點(diǎn),即可根據(jù)“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的的解法求解.

3 融匯模型思想,拓廣思維寬度

“最短路徑問(wèn)題”題目形式之所以靈活多變, 因?yàn)樗霈F(xiàn)的題目背景往往是與角、等腰三角形、等邊三角形、正方形、菱形、長(zhǎng)方形,圓、直角坐標(biāo)系、拋物線等具有軸對(duì)稱性質(zhì)的幾何圖形結(jié)合,多以壓軸題出現(xiàn),綜合性較強(qiáng).[1]在教學(xué)中,可以篩選不同幾何背景的考題,引導(dǎo)學(xué)生分析幾何圖形的特質(zhì)與性質(zhì),并抽取對(duì)應(yīng)模型,讓學(xué)生在解題過(guò)程中,融匯模型思想,深入思考,自我突破[1].

例7 (2018 年廣州中考題第23 題)如圖3-1, 在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB ＞CD,AD=AB+CD.

(1)尺規(guī)作∠ADC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法);

(2)在(1)的條件下,

①證明:AE⊥DE;

②若CD= 2,AB= 4,點(diǎn)M,N分別是AE,AB上的動(dòng)點(diǎn),求BM+MN的最小值.

第②問(wèn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,定點(diǎn)B在動(dòng)點(diǎn)N所在直線上,如圖3-1-1 可作B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn),再過(guò)該對(duì)稱點(diǎn)作AB的垂線段,垂線段長(zhǎng)即為BM+MN的最小值. 本題考查基本作圖,軸對(duì)稱變換和垂線段最短基本事實(shí),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,其難度是比較大的學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題,屬于中考常考題型.

圖3-1-1

例8(2014 年廣州中考題第24 題)已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),拋物線y=ax2+bx-2(a ?=0)過(guò)點(diǎn)A,B,頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P(m,n)(n ＜0)為拋物線上一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)當(dāng)∠APB為鈍角時(shí),求m的取值范圍;

第(3) 問(wèn)AB、P′C′是定值,A、B、P′、C′所構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)最短,圖3-2,只需AC′+BP′最小,若拋物線向左平移, 作C′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′′,當(dāng)C′′,A,P′′三點(diǎn)共線時(shí),AC′+AP′′最短; 若拋物線向右平移,同理可得. 本題考查了待定系數(shù)法求解析式,頂點(diǎn)坐標(biāo),二次函數(shù)的對(duì)稱性,以及距離之和最小的問(wèn)題,涉及考點(diǎn)較多,有一定的難度.

圖3-2

例9(2020 年廣州中考題第24 題)如圖3-3,⊙O為等邊ΔABC的外接圓,半徑為2,點(diǎn)D在劣弧上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A,B重合),連接DA,DB,DC.

(1)求證:DC是∠ADB的平分線;

(2)四邊形ADBC的面積S是線段DC的長(zhǎng)x的函數(shù)嗎? 如果是,求出函數(shù)解析式;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若點(diǎn)M,N分別在線段CA,CB上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn)),經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置,ΔDMN的周長(zhǎng)有最小值t,隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng),t的值會(huì)發(fā)生變化,求所有t值中的最大值.

第(3) 問(wèn)如圖3-3-1, 作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E, 作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)F, 由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EM=DM,DN=NF, 可得ΔDMN的周長(zhǎng)=DM+DN+MN=FN+EM+MN, 則當(dāng)點(diǎn)E, 點(diǎn)M,點(diǎn)N,點(diǎn)F四點(diǎn)共線時(shí),ΔDMN的周長(zhǎng)有最小值,即最小值為EF=t,再由軸對(duì)稱的性質(zhì)繼續(xù)求解.

圖3-3-1

圖3-3

4 結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)主動(dòng)深入研究問(wèn)題,善于梳理各類題型,歸納總結(jié)解題方法,并能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)要通過(guò)分析,對(duì)解題思路進(jìn)行“預(yù)判”與“甄別”,要多思考,比對(duì)各種解題模型,注意模型間的轉(zhuǎn)化,體會(huì)化歸、分類等數(shù)學(xué)思想,突出數(shù)學(xué)學(xué)的方法和基本思維模式,讓學(xué)生在思考和訓(xùn)練中提升思維能力,提高自身解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生思維的深度與寬度.