厘清數學題中的數字關系

□張愛萍

一次數學測評出了這樣一道數學題：永樂游泳館新建一個長方體泳池，長25 米，寬11 米，深2 米，如果沿游泳池內壁1.5米高處用紅漆畫一條水位線，水位線全長多少?

貝貝的解答是這樣的：（25+11）×2×1.5=108（米）。

這個答案顯然是錯誤的。

我讓貝貝談談他的做題思路。貝貝說：“畫的這條線是一個長方形，長方形的周長等于（長+寬）×2，就是（25+11）×2，然后再乘上1.5就行了。”

“既然畫的這條線是長方形，（25+11）×2 已經是長方形的周長了，為什么還要再乘1.5呢？”我問。

“題目不是說了嗎，沿1.5 米處畫線嗎？”貝貝對我的問題有些不屑一顧。

“可是，這個沿1.5 米處畫的線的長度和線的長短有關系嗎？”我問。

“沒關系呀！”貝貝用比較肯定的語氣回答。

“那為什么最后還要再乘以1.5呢？”我追問。

“題目中給出的25、11、2都列到算式中了，不能剩下1.5 啊，加上它好像不太合適，既然都按這個高度畫，只有乘上它了，不然這個數不就白給了!”貝貝這樣解釋。

原來如此。在貝貝看來，解數學應用題，列數學算式，題目中給出的數字，一個不能少，都要用上才算“完美”。

題目中的數字都有用嗎

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中說：“數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系。”也就是說，數學的實質其實是現實中實物與實物間的關系，脫離現實的數字和算式，都是沒有意義的。

具體到小學數學應用題解答，就是要找到題目中每個數字背后承載的“實物”，厘清各個實物之間的關系，然后用數學算式表達出來。因此，數學算式不是用加減乘除等運算符號對題目中給出數字的任意“搭配”，而是現實世界中物與物之間關系的數學語言表達。現實世界中的數字有很多，題目中給出的數字也可能很多，我們解題列式時，要找出與解決問題“有關系”和“有用”的數字，然后將它們之間的關系用數學語言表達出來。

作為一名數學教師，在教學中我發現，像貝貝這樣“一個都不能少”的列式思維并非個例，在許多孩子身上都有不同程度的體現。解應用題時，只要是題目中給出的數字都要列進式子才會“心安”，至于這個式子表達的“關系”與客觀現實相符與否，往往不在他們的考慮范圍之內。

這種情況，表面上是因為孩子對題意理解不透、抽象能力不強，真正的根源卻與應試教育相關——為了讓孩子考高分，數學教育的重點不是培養學生的數學思維和抽象能力，而是以“刷題”為手段，培養他們所謂的“解題”能力。在不少人看來，熟能生巧，刷題越多計算能力就越強。豈不知，在無數次機械刷題的過程中，學生會形成這樣的觀念——所有答案都是從題目給出的數字中得出的，所謂解題都是將題目給出的數字用加減乘除等符號進行排列組合，只要是題目中給出的數，一定是有用的，做題時要“一個都不能少”。

如此情況下，孩子的數學學習就成了“數字游戲”。不少孩子解應用題時，眼中只有數字沒有題意，做題就是將題目中給出的所有數字用運算符號連接在一起。就像貝貝一樣，明明知道1.5和要求的矩形周長沒有關系，也要硬找個理由“乘上去”，否則，心里就不踏實。

找出題目中的隱性數字

與“一個不能少”這種錯誤正好相反的是孩子不能發現題目中的隱性數字，從而導致解題失敗。

有這樣一道題：一輛汽車經過南京長江大橋，走了一半后還剩3386米，問大橋全長多少米？

這道題被老師打了叉。回家后樂樂把試卷給爸爸，說自己驗算了好幾遍，橋長就是6772米，懷疑老師判錯了。

爸爸看了后，說：“南京長江大橋實長就是6772米，這答案沒毛病啊？不過，老師既然判錯，那肯定是有道理的。這是一道已知部分求整體的題目，你找出原來與這道題相似的應用題比較一下。”

樂樂拿出練習冊，三翻兩翻就找到了一道這樣的題：“一支鉛筆，用掉了后，還剩12 厘米，問這支鉛筆原來有多長？”

“這道題你是如何做的呢？”爸爸問。

“哦，我明白了！”樂樂一拍腦瓜，高興地叫起來。

“明白了什么呀？”爸爸故作糊涂地問。

“老師沒有給我判錯。”樂樂興奮地說，“大橋這道題應該這樣做，。”

“這不還是6772米嗎？有什么不同嗎？”爸爸仍是揣著明白裝糊涂。

樂樂爸爸真的是才明白過來嗎？答案當然是否定的。

這道題，樂樂一開始之所以做錯，就是只看表面數字，而忽略了數字背后對應著的實物關系，此非彼，雖然都是，但卻表示著橋的不同部分，算式列錯了，答案正確不過是一個巧合，如果不是走了一半，而是走了、，用這個算式計算，答案就不會湊巧對了。

這道題中隱含著一個關鍵數字“整體1”，在“整體和部分”類型的題目中，不管題目中提到沒提到這個“1”，做題時都要先把它“擺”出來，只有心中有這個“整體1”，做題才會有思路。

在這里，我們不得不佩服樂樂爸爸的輔導有方，他沒有一看答案正確就找老師“理論”，也沒有直接給孩子講解，而是讓孩子自己去比較、去思考、去探索數字背后承載的實物以及它們之間的關系，這樣的輔導才是最有效的輔導。

厘清數字間的關系

數學來源于生活，數學算式是現實生活中物與物之間數學關系的體現。要想切實提升孩子的解題能力，必須引領他們回歸生活，體驗生活，從現實感悟數學，厘清數字間的“實物關系”才是做對題的王道

誠然，數學學習要測評、要做題，孩子唯有做對題，測評時才能得高分。我們也承認，要想提升孩子的解題能力，題也是非刷不可的。但“家長愛分”，卻要教會孩子“刷題之道”。家長們要向樂樂的爸爸學習，孩子每刷一道題，不僅要看列式、答案是否正確，而且要讓孩子弄清題目中各個數字背后承載的實物是什么，數字之間是什么關系，是“分”還是“合”，是整體還是部分。只有這樣，孩子在做題時才不會不管三七二十一，將數字羅列在一起就萬事大吉。