非一致性噪聲條件下的特征空間波束形成

劉野，戎海龍，陳陽

(常州大學微電子與控制工程學院，江蘇常州 213164)

0 引 言

波束形成和子空間類算法是兩類最主要的方位譜估計方法。以最小方差無失真響應波束形成算法(MVDR)[1-2]為代表的最優波束形成能自動抑制各向同性干擾，獲得最高的輸出信干噪比，并具有較好的穩健性。而以基于特征子空間的多信號分類算法(Multiple Signal Classification,MUSIC)[3]、旋轉子空間不變法(Estimation of Signal Parameters via Rota‐tional Invariance Techniques,ESPRIT)[4]為代表的子空間類方法[5-7]從理論上突破了方位分辨的瑞利限制，極大地提高了陣列目標方位分辨能力。但子空間類方法的穩健性通常不如波束形成方法[8]，因此人們將子空間處理引入到波束形成中，提高了波束形成的方位譜估計性能。其中較為典型的是特征空間波束形成[9]，將MVDR的權向量投影到信號子空間，減小了陣列流型誤差和噪聲引起的權向量擾動，獲得了更好的分辨率[10]。

在這些基于特征子空間的算法中，一般假設陣元噪聲是一致的，即每個陣元噪聲的方差相同。此時可以通過陣列協方差矩陣的特征分解估計特征子空間[11-12]。而實際情況中，由于水聲環境的復雜性，陣列的噪聲分布可能是非一致性的[13-16]。當陣元噪聲功率各不相同時，直接利用陣列協方差矩陣特征分解估計的特征子空間存在誤差，會導致這些算法的性能嚴重下降。

針對這一問題，文獻[17-18]通過兩種不同方法估計噪聲協方差矩陣，陣列協方差矩陣與噪聲協方差矩陣的差值為不含噪聲的陣列協方差矩陣。對不含噪聲的陣列協方差矩陣進行特征分解估計特征子空間，消除了噪聲不一致性帶來的影響。其中，文獻[17]通過迭代實現噪聲協方差矩陣估計，需要多次特征分解運算。文獻[18]中的方法較本文方法增加了噪聲協方差矩陣估計，運算量方面增加了3次M維方陣的乘法運算。

本文提出了一種新的非一致性噪聲條件下特征子空間估計方法，從理論上證明了將陣列協方差矩陣對角線置0，進行特征分解估計的特征子空間不受陣元噪聲非一致性的影響。本文方法在算法復雜度和運算量均有明顯優勢。與文獻[17]方法相比，本方法具有相同的性能，但無須估計噪聲協方差矩陣，復雜度低。將其應用到特征空間波束形成算法，提高了非一致性噪聲條件下特征空間波束形成算法的方位分辨能力。仿真和實驗結果驗證了本文所提方法的可行性和有效性。

1 信號模型

假設接收陣列是陣元數為M的均勻線列陣，接收從遠場的目標信號源發射的L個獨立的窄帶信號(已知L＜M)。陣列噪聲為零均值高斯噪聲，且與信號不相關。陣列在t時刻輸出信號的表達式為

式中：A(θ)為M×L型的方向向量矩陣，其中a(θi)(i=1，…，L) 為方向矢量；s(t) =[s1(t)…sL(t)]T為目標信號矩陣；n(t) =[n1(t)…nM(t)]T為噪聲向量。

陣列的協方差矩陣可以表示為

式中：P=E{s(t)sH(t)}是目標信號的協方差矩陣；Rs為不存在噪聲時陣列的協方差矩陣；Q=E{n(t)nH(t)}是噪聲的協方差矩陣。因噪聲相互獨立，Q可表示為

式中：σ2m(m=1，…，M)為各陣元噪聲的功率。

當噪聲的協方差矩陣Q的對角線元素不相同時，對Rx的特征分解得到的特征向量與對Rs的特征分解得到的特征向量不同，此時無法由Rx的特征分解直接獲得準確的信號和噪聲子空間。當特征空間波束形成將權向量向信號子空間投影時引入誤差，會使特征空間波束形成的性能退化。

2 非一致性噪聲特征空間波束形成

陣列協方差矩陣Rx與噪聲協方差矩陣Q的差值即為Rs。因此通過估計Q，可得到Rs的估計，進而通過Rs的特征分解獲得信號子空間。根據文獻[17]中的方法估計噪聲協方差矩陣，將陣列接收數據的協方差矩陣Rx分成：

式中：

其中：Pk為第k個目標信號源的功率。

根據式(5)～(7)可知：

假設ui、λi為Rs的特征向量和特征值，則有：

將式(8)代入式(9)得：

所以有：

因此，ui、λi-σ為R1的特征向量和特征值，即直接對R1進行特征分解，可以得到對應的信號子空間矩陣：

將MVDR波束形成的權向量：

投影到信號子空間，可得：

特征空間波束形成的空間譜估計可以表示為

3 數值仿真與分析

本節將通過數值仿真來分析算法的有效性。仿真參數為接收陣列為5個陣元的均勻直線陣，聲速為1 500 m·s-1，采樣頻率為39 3216 Hz，信號頻率為1 750 Hz，陣元間距為半波長。陣元噪聲為零均值的高斯白噪聲，各陣元間噪聲相互獨立，噪聲與信號、信號與干擾以及信號與信號之間都相互獨立，其噪聲協方差矩陣Q=diag{[1 1 1 3 3 ]}。

特征空間(Eigenspace,ES)波束形成算法分別采用兩種特征子空間估計方法。文獻[18]中通過估計噪聲子空間的間接方法記為ESQ，本文方法記為ESR。

3.1 目標分辨能力仿真

兩個目標信號入射方向分別為73°和97°。MVDR、ES、ESQ和ESR 4種波束形成的方位圖如圖1 和2 所示。圖1 中兩個目標信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)分別為20 dB 和15 dB。圖2 中兩個目標信噪比均為20 dB，信號子空間的維度為2。

圖1 獨立信源不同信噪比時的目標方位圖Fig.1 Target azimuth map of independent sources at different SNRs

圖2 獨立信源相同信噪比時的目標方位圖Fig.2 Target azimuth map of independent sources at the same SNR

由圖1～2中可以看出，ESQ和ESR兩者曲線近似重合。與MVDR和ES相比，ESQ和ESR的主瓣更窄，旁瓣更低。ES 的方位分辨能力要優于MVDR，而ESQ 和ESR 的方位分辨能力優于MVDR和ES。這是由于ESQ和ESR估計的信號子空間比ES的信號子空間更準確。

進行蒙特卡洛仿真，每種算法各自獨立仿真200 次。一個目標信號的信噪比為15 dB，入射角為97°，另一個目標信號的信噪比為20 dB，入射角從79°開始減小至67°。圖3給出了兩個獨立信源入射角夾角在18°～30°變化時，4 種算法的目標分辨率。

圖3 4種算法的目標分辨率Fig.3 Target resolutions of four algorithms

由圖3可以看出，ESQ和ESR明顯優于MVDR和ES。在入射角夾角為20.5°時ESQ和ESR可以分辨2 個目標的正確概率近似為20%，而MVDR 和ES完全無法分辨兩目標信號。在入射角夾角為27°時，ESQ和ESR的分辨概率已近似為1，而MVDR和ES的分辨概率分別近似為78%和85%。

3.2 不同輸入SNR時4種算法的輸出SINR仿真

在同一輸入SNR下獨立運行200次試驗，統計算法的輸出信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)。圖4 給出了4 種算法不同輸入SNR 與輸出SINR 的關系。MVDR 和ES 的輸出SINR較為接近，而ESQ和ESR在輸入SNR大于5 dB時的輸出SINR明顯高于MVDR和ES。

圖4 4種算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線Fig.4 Variation curves of output SINR with input SNR for the four algorithms

3.3 算法運行時間仿真

在相同情況下，對ESQ 和ESR 分別獨立運行100次，并計算算法的運行時間。可以得到ESQ運行時間為594 s，而ESR 的運行時間為575 s。因此，本文提出的方法有效地降低了算法復雜度和運算量。

4 實驗數據分析

利用實驗數據驗證本文所提方法的有效性。海試數據來自48 個陣元的直線陣列，陣元間距為0.3 m，聲速約為1 500 m·s-1，采樣頻率為4 000 Hz，選取單頻信號1 000 Hz。實驗布局圖如圖5 所示，水聲陣列拖曳于測量船后方約400 m 處，深度約15 m；視野內有三個水面目標，初始方位大致在40°、50°和80°附近。其中，A目標船沿著40°方位遠離；B目標船在40°方位向右前方航行遠離，C目標船在80°方位同樣向右前方航行，但偏轉幅度要小于B目標船。因此，B目標船和C目標船的方位歷程產生交叉。特征空間波束形成中信號子空間維度取6。

圖5 實驗布局示意圖Fig.5 Experimental layout diagram

圖6為4種算法的目標方位歷程圖。從方位歷程圖中可以看出，4種方法都能分辨出三個目標信號，但ESQ 和ESR 兩種算法的分辨能力更好，旁瓣更低。

圖6 4種算法的目標方位歷程圖Fig.6 Target bearing-time charts of the four algorithms

圖7為43 s時刻的方位譜，可以看出，在40°、70°和85°附近都有明顯的目標，且相比于MVDR和ES，ESR 的主瓣更窄，旁瓣更低。此時，估計出的噪聲協方差矩陣Q如圖8所示。可以看到，各陣元噪聲功率是不相同的，整體的趨勢是隨著陣元序號增大而噪聲功率減小。其中最小值為364 733，平均值為612 130，最大值為858 453。最大值是最小值的2.35倍，是平均值的1.4倍，為非一致性的噪聲。本文方法通過對角線置零的陣列協方差矩陣特征分解直接得到的信號子空間，不受非一致性噪聲的影響，因而方位分辨性能較特征空間波束形成有明顯的提高。驗證了本文方法的有效性。

圖7 43 s時刻方位譜Fig.7 Azimuth spectrum at the moment of 43 s

圖8 在43 s時刻的48個陣元噪聲功率估計Fig.8 Noise power estimations for the 48 array elements at the moment of 43 s

5 結 論

針對陣列非一致性噪聲干擾的問題，本文提出了一種新的特征子空間估計方法，將陣列協方差矩陣對角線置零，進行特征分解估計的特征子空間將不受陣元噪聲非一致性的影響。與通過噪聲協方差矩陣間接估計特征子空間的方法相比，該方法具有相同的性能，但無需估計噪聲協方差矩陣，算法復雜度較低。將其應用到特征空間波束形成算法，提高了非一致性噪聲條件下特征空間波束形成算法的方位分辨能力。仿真和實驗結果驗證了本文所提方法的可行性和有效性。