凡天娣，張 勇，楊國威，宋 勇，蔣潔瓊，周 濤

（1. 中國科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院，合肥 230031；2. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，合肥 230026；3. 中子科學(xué)國際研究院，青島 266041）

移動(dòng)式反應(yīng)堆因其設(shè)計(jì)緊湊、固有安全性高、使用場景靈活多變等特點(diǎn)，不僅能為偏遠(yuǎn)島嶼實(shí)現(xiàn)供能，也能為國防提供安全保障，是當(dāng)下研究的熱點(diǎn)。如美國西屋研發(fā)的微型堆—伊達(dá)芬奇（eVinci），DOE 戰(zhàn)略能力辦公室的Pele 計(jì)劃等［1-4］。目前我國的鳳麟核團(tuán)隊(duì)正在開展這方面的研究［5，6］。移動(dòng)式反應(yīng)堆中的鉛鉍冷卻劑具有密度高、質(zhì)量大、體積小等特點(diǎn)，使得反應(yīng)堆在車載上的質(zhì)量分布不均。這與普通的大型設(shè)備的道路運(yùn)輸存在較大差異［7］。此外，道路運(yùn)輸下的車輛-道路激勵(lì)是復(fù)雜多自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，路譜激勵(lì)由路面?zhèn)鬟f到車身和設(shè)備上是一項(xiàng)復(fù)雜的過程，需經(jīng)過系統(tǒng)耦合、振動(dòng)傳遞和消減。因此，建立合適的車輛耦合模型是進(jìn)行道路運(yùn)輸減振問題的重要研究手段。

在車輛建模方面，兩個(gè)自由度的1/4 車體模型早在20 世紀(jì)30 年代已建立。隨后在20 世紀(jì)50 年代，1/2 整車模型被建立，此時(shí)的模型能夠體現(xiàn)車身的垂直振動(dòng)和縱向角振動(dòng)。20 世紀(jì)80 年代，學(xué)者們開始進(jìn)行多自由度車輛模型研究，分析運(yùn)輸車輛的垂向振動(dòng)響應(yīng)、縱向及橫向的角振動(dòng)，建立全車的三維模型［8］。Okada等人建立了7 自由度下的全車模型包括用來描述車輛設(shè)計(jì)初期的操縱仿真［9］。Alkhatib R［10］等人采用遺傳算法優(yōu)化了懸架參數(shù)，對懸架系統(tǒng)的位移與車身加速度之間的關(guān)系進(jìn)行求解。Tamboli［11］等人建立了兩個(gè)自由度的1/2全車模型，研究隨機(jī)路面激勵(lì)下的系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律。在對道路運(yùn)輸下的車輛運(yùn)輸問題上，現(xiàn)有研究多是分析車輛系統(tǒng)中的懸架設(shè)計(jì)、包裝材料和減振設(shè)計(jì)等。對于車輛上裝設(shè)備的安全特性分析也多拘泥在設(shè)備及運(yùn)輸車的減振上［12，13］。大多數(shù)研究中所建立的傳統(tǒng)式車輛模型多是將車身和車載設(shè)備視為一個(gè)整體，但這樣的模型無法精準(zhǔn)地反應(yīng)車載核電源上反應(yīng)堆容器處的振動(dòng)響應(yīng)情況［14，15］。在核設(shè)備進(jìn)行運(yùn)輸中，研究多集中在如何進(jìn)行包裝物的減振設(shè)計(jì)上［16，17］，少有研究反應(yīng)堆容器在運(yùn)輸過程中所受路面不平度的激勵(lì)的振動(dòng)特性。

本文采用Lagrange 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法建立分離式質(zhì)量下全車振動(dòng)的模型，在反應(yīng)堆設(shè)備處安裝三個(gè)減振器以觀察其六個(gè)方向的振動(dòng)響應(yīng)。并對反應(yīng)堆在不同裝載質(zhì)量及不同等級公路激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)特性進(jìn)行研究，得出移動(dòng)式反應(yīng)堆在不同等級公路運(yùn)輸下的振動(dòng)響應(yīng)。所得結(jié)論可為車載式移動(dòng)反應(yīng)堆在不同等級公路的工程運(yùn)輸過程研究提供參考。

1 公路運(yùn)輸下的整車系統(tǒng)模型

運(yùn)輸車輛連接了車輛與道路，并將道路不平度引起的路面激勵(lì)從道路表面?zhèn)鬟f至車體，從而引起車載移動(dòng)式反應(yīng)堆的振動(dòng)。本文對真實(shí)車輛模型進(jìn)行適當(dāng)簡化，整車系統(tǒng)視為由質(zhì)量-彈簧-阻尼組成的多體動(dòng)力學(xué)模型。所研究的運(yùn)輸車輛為12×6 軸輪式自行車輛［14］，如圖1 所示。將車載反應(yīng)堆與車輛視為剛性連接，將12 個(gè)車輪看作獨(dú)立的質(zhì)量塊。車輛上端通過車架彈簧與反應(yīng)堆相連，下端輪胎與路面也通過彈簧相連，如圖2 所示。

圖1 運(yùn)輸車輛模型Fig. 1 Transport vehicle model

圖2 運(yùn)輸車輛模型的坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate system of transport vehicle model

2 路譜下整車多體動(dòng)力學(xué)仿真模型

本文旨在研究移動(dòng)式反應(yīng)堆處的運(yùn)輸振動(dòng)響應(yīng)，因此考慮在車載反應(yīng)堆設(shè)備與車體之間三個(gè)方向（X/Y/Z）上加裝三個(gè)減振器（K5，K6，K7）以觀察反應(yīng)堆的六個(gè)自由度。區(qū)別于傳統(tǒng)集中式質(zhì)量模型，本文將整車系統(tǒng)簡化為21 個(gè)自由度的動(dòng)力學(xué)模型，主要包括車輪的12 個(gè)垂直自由度；車體上的3 個(gè)自由度：垂向方向的振動(dòng)、俯仰和傾側(cè)，設(shè)備的6 個(gè)自由度：垂直、俯仰和傾側(cè)和繞三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。建立的全車仿真模型如圖3 所示，系統(tǒng)模型中的參數(shù)及模型數(shù)據(jù)見表1 和表2［14］。

表1 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型符號表Table 1 Symbols of the dynamic model system

表2 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)表Table 2 Parameters of the dynamic system

圖3 分離式質(zhì)量下車體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model under separated mass

2.1 全車系統(tǒng)的動(dòng)能

總動(dòng)能T由三部分組成：車體動(dòng)能T1、設(shè)備動(dòng)能T2和輪胎的動(dòng)能T3。如圖3 所示，假設(shè)車載設(shè)備材料構(gòu)成相同且質(zhì)量分布均勻，將其視為一個(gè)規(guī)則的幾何體。可求得各部分的動(dòng)能如下：

（1）車體的動(dòng)能T1

假設(shè)車體的質(zhì)心為Oj（xoj，yoj，zoj），φx為車體的前后俯仰位移，φy為左右傾側(cè)位移，車體的動(dòng)能表達(dá)式為：

式中，J1x是車體繞X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J1y是車體繞Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

（2）車載設(shè)備的動(dòng)能T2

令車載設(shè)備質(zhì)心為Oi（xoi，yoi，zoi），繞OX 軸、OY 軸、OZ 軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角分別為θx，θy，θz，則車載設(shè)備的動(dòng)能為：

式中，J2x是車載設(shè)備繞X 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J2y是車載設(shè)備繞Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J2z是車載設(shè)備繞Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

（3）輪胎的動(dòng)能T3

則系統(tǒng)的總動(dòng)能為：

2.2 全車系統(tǒng)的總勢能

全車的總勢能由12 個(gè)懸架彈簧、輪胎、車載設(shè)備上的3 個(gè)減振器彈簧的變形勢能組成。三個(gè)減振器k5，k6，k7為分別連接車體與設(shè)備的豎直、水平前后、水平左右方向的彈簧，初始長度分別為l5，l6，l7。

（1）反應(yīng)堆設(shè)備勢能的計(jì)算

以在反應(yīng)堆設(shè)備和車體的垂直方向?yàn)槔唧w的連接形式見圖4。C 點(diǎn)為連接車體上部中心（在OjXjYjZj中的位置向量為uCj），D 為連接設(shè)備的底部中心處（在OiXiYiZi中的位置向量為uDi），則：

圖4 反應(yīng)堆設(shè)備和車體的垂直方向處減振器連接Fig.4 The spring connect the reactor and the vehicle in vertical

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)后，Oi（設(shè)備質(zhì)心）點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系OXYZ 中的位置向量為Roi，Oj（車體質(zhì)心）點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系OXYZ 中的位置向量為Roj：

C 點(diǎn)和D 點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系OXYZ 中的位置向量為rC，rD：

彈簧k5變形后得長度Δl5為：

同理可求得車體與車載設(shè)備之間的前后水平方向的變化Δl6和左右水平方向的變化Δl7。

則設(shè)備的勢能V3的表達(dá)式為：

車體的勢能V1計(jì)算：

式中，（xil，yil，zil）為車輪的坐標(biāo)（i=1…6）。

車輪的勢能V2計(jì)算：

則系統(tǒng)總勢能V為：

2.3 全車系統(tǒng)的振動(dòng)方程

本文采用四階Runge-Kutta 對微分方程進(jìn)行求解。所建立的21 自由度全車振動(dòng)方程為：

式中，X是系統(tǒng)位移，M是21×21 維質(zhì)量矩陣，K是21×21 維剛度矩陣，Q是21×1 維激勵(lì)系數(shù)矩陣，路面不平度施加在系統(tǒng)上的激勵(lì)向量U為：

本文采用比例阻尼法，假設(shè)阻尼與質(zhì)量、剛度之間的關(guān)系如下：

3 移動(dòng)式反應(yīng)堆的運(yùn)輸振動(dòng)分析

3.1 移動(dòng)式反應(yīng)堆的參考模型

本節(jié)以前述6×12 軸輪式車輛為可移動(dòng)式反應(yīng)堆的運(yùn)輸車輛，分析移動(dòng)式反應(yīng)堆在不同等級道路運(yùn)輸下的振動(dòng)響應(yīng)特性。相關(guān)參數(shù)見表3［14］。

表3 車載設(shè)備質(zhì)量及其質(zhì)心坐標(biāo)Table 3 Mass of vehicle equipment and its centroid coordinates

3.2 不同等級公路下的激勵(lì)條件

國標(biāo)GB/T 7031-2005［18］提出可將路面粗糙度分為A～H 共八個(gè)等級，A 級為最平滑的路面，H 級為最粗糙的路面。各級道路下的不平度范圍如表4 所示。

表4 不同等級道路下的不平度范圍Table 4 Degree of roughness with different road classes

移動(dòng)式反應(yīng)堆在運(yùn)輸過程中，會(huì)遭受不同道路的激勵(lì)。不同的公路等級下道路不平順系數(shù)不同，從而對運(yùn)輸車輛產(chǎn)生的激勵(lì)也會(huì)不同。一般采用空間頻率Gd（n0）與道路位移功率譜密度函數(shù)Gd（n）之間的關(guān)系來描述車輛在隨機(jī)激勵(lì)下的振動(dòng)情況：

式中，n為空間頻率，n0為參考空間頻率，ω為頻率指數(shù)，Sv（ω）為輪胎底面位移激勵(lì)功率譜密度。

本文采用諧波疊加法對車輛的左右輪時(shí)程激勵(lì)進(jìn)行模擬，得出左右輪的激勵(lì)函數(shù)：

式中，θi，αi（i= 1，2，…，N）是在（0，2π）隨機(jī)獨(dú)立分布的數(shù)，bt是左右輪距，Sv（ω）是輪胎受路面激勵(lì)的位移功率譜密度，γ（bt，ω）是左右輪胎受激勵(lì)的譜相關(guān)函數(shù)。

3.3 分離式模型與集中式模型下的路譜激勵(lì)對比驗(yàn)證

D 級公路是最常見的公路等級，在此等級公路下的計(jì)算結(jié)果具有普遍性。本節(jié)假設(shè)車輛行駛在D 級路面，行駛速度為20 km/h。利用Matlab 軟件編寫代碼，對本文所建立的分離式模型下所受的路譜激勵(lì)仿真，與文獻(xiàn)［14］所建立的集中式質(zhì)量模型進(jìn)行對比，如圖5 所示。

圖5 分離式與集中式模型下的激勵(lì)Fig.5 Loadings under the separated model and integrated model

圖6 冷卻劑排空時(shí)不同公路等級下的加速度Fig.6 Accelerations of group 1 under different highway class

圖7 冷卻劑充滿時(shí)不同公路等級下的加速度Fig.7 Accelerations of group 2 under different highway class

由圖5 可以得出，分離式質(zhì)量下的模型與集中式模型仿真得出在運(yùn)輸路面不平度激勵(lì)下車輛車輪處的激勵(lì)基本一致。由此可證明本文所建立分離式質(zhì)量建模的方法的可行性。

3.4 車載運(yùn)輸?shù)牟煌d荷條件

基于前文的研究，本節(jié)利用Matlab 仿真軟件編寫計(jì)算機(jī)程序，對六軸運(yùn)載車輛的路面不平度激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行仿真。假設(shè)車速20 km/h，分析車體和反應(yīng)堆在D 級路面激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)情況。

由于車載反應(yīng)堆的冷卻劑充排狀態(tài)的不同使反應(yīng)堆質(zhì)量不同，車載反應(yīng)堆與車體相連的三個(gè)方向（X/Y/Z）上的彈簧需依據(jù)不同的質(zhì)量來選取不同長度，具體參數(shù)見表5。反應(yīng)堆設(shè)備的質(zhì)量根據(jù)不同冷卻劑狀態(tài)可分為：

表5 X/Y/Z 三個(gè)方向的彈簧剛度和長度取值Table 5 Values of spring stiffness and length in three directions of the reactor

表6 反應(yīng)堆設(shè)備六個(gè)方向的最大位移Table 6 Maximum displacement in six directions of the equipment

表7 車體三個(gè)方向的最大位移Table 7 Maximum displacement in three directions of the vehicle body

（1）第一組：當(dāng)冷卻劑LBE 排空下，此時(shí)反應(yīng)堆設(shè)備質(zhì)量為10 t，車體質(zhì)量為20 t。

（2）第二組：當(dāng)冷卻劑LBE 充滿下，此時(shí)反應(yīng)堆設(shè)備質(zhì)量為40 t，車體質(zhì)量為20 t。

X/Y/Z 三個(gè)方向的剛度現(xiàn)取值為2.2×106N/m、2.2×106N/m、2.8×106N/m。X 方向代表水平橫向，Y 方向代表水平縱向，Z 方向代表設(shè)備垂向。θx代表設(shè)備橫向傾側(cè)角位移，θy代表設(shè)備的縱向俯仰角位移，θz代表繞Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的橫擺角位移響應(yīng)。φx代表車體的左右傾側(cè)位移，φy代表車體的前后俯仰位移。

由以上分析可得，運(yùn)輸過程產(chǎn)生的位移與反應(yīng)堆的質(zhì)量成正比。在反應(yīng)堆各個(gè)方向中，以垂向位移zoi和橫向傾側(cè)角位移θx的變化最大，在行駛過程中要多注意車輛的傾側(cè)安全。當(dāng)冷卻劑充滿時(shí)，反應(yīng)堆容器的Z 方向振動(dòng)幅度相似，其余各個(gè)方向的振動(dòng)響應(yīng)明顯大于冷卻劑排空工況。說明在反應(yīng)堆運(yùn)輸過程中，應(yīng)盡量保持冷卻劑排空狀態(tài)。

3.5 不同公路等級下整車系統(tǒng)的運(yùn)輸振動(dòng)

運(yùn)輸車輛以20 km/h 速度行駛，分析在冷卻劑不同充排量的情況下（分類如3.3 節(jié)），國內(nèi)大部分公路是在A～F 等級道路，G、H 級公路粗糙度太大，本節(jié)選取路面等級A～F 分析整車振動(dòng)響應(yīng)。

由上述得知，反應(yīng)堆與車體的振動(dòng)比與二者的質(zhì)量有顯著相關(guān)性，在冷卻劑排空時(shí)，反應(yīng)堆與車體的質(zhì)量比為1∶2，振動(dòng)比值為2∶1，在冷卻劑充滿時(shí)反應(yīng)堆容器與車體質(zhì)量比為2∶1，振動(dòng)比值為1∶2。二者的質(zhì)量比與振動(dòng)比成反比關(guān)系。在B、C、D、E 等級下車體和反應(yīng)堆的加速度增長幅度不大，在F 級路發(fā)生陡升，因此應(yīng)盡量避免移動(dòng)式反應(yīng)堆在F 級以上的道路上運(yùn)輸。

由圖8 和圖9 可以得出，不同等級道路下的加速度不同。當(dāng)冷卻劑排空時(shí)，振動(dòng)峰值為3.84 Hz；當(dāng)冷卻劑充滿時(shí)，振動(dòng)峰值為3.22 Hz。在不同等級公路下的振動(dòng)頻率區(qū)間都集中在16 Hz 以內(nèi)，超過此頻率后振動(dòng)趨于穩(wěn)定。后續(xù)反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)避開此頻率。

圖8 反應(yīng)堆設(shè)備10 t 車體20 t 等級A～F 公路下設(shè)備的加速度反應(yīng)譜圖Fig.8 Accelerations response spectrum of group1 under A～F class

圖9 反應(yīng)堆設(shè)備40 t 車體20 t 等級A～F 公路下設(shè)備的加速度反應(yīng)譜圖Fig.9 Accelerations response spectrum of group 2 under A～F class

4 結(jié)論

本文圍繞移動(dòng)式反應(yīng)堆的公路運(yùn)輸振動(dòng)問題，建立了新型路面-車輛-設(shè)備多體動(dòng)力學(xué)模型，并基于典型車載反應(yīng)堆，開展了在不同公路等級條件和不同載重條件下的振動(dòng)響應(yīng)特性分析，為移動(dòng)式反應(yīng)堆的設(shè)計(jì)提供一定的參考。所得結(jié)論總結(jié)如下：

（1）本文建立了路面-車輛-分離式設(shè)備的多體動(dòng)力學(xué)模型，相比于傳統(tǒng)集中式質(zhì)量模型，本文增加了6 個(gè)自由度，該6 個(gè)自由度為描述反應(yīng)堆設(shè)備處的橫向位移xoi、縱向位移yoi、垂向位移zoi、傾側(cè)角位移θx、俯仰角位移θy、橫擺角位移θz。通過此模型，能夠更好地刻畫移動(dòng)反應(yīng)堆多個(gè)設(shè)備分散布置的特征，且計(jì)算量沒有顯著增加。

（2）在D 級公路條件下，考慮冷卻劑排空與充滿兩種工況條件，當(dāng)冷卻劑充滿時(shí)，反應(yīng)堆容器的Z 方向振動(dòng)幅度相似，其余各個(gè)方向的振動(dòng)響應(yīng)明顯大于冷卻劑排空工況。因此在反應(yīng)堆運(yùn)輸過程中，應(yīng)盡量保持冷卻劑排空狀態(tài)。

（3）在D 級公路下，反應(yīng)堆與車體的振動(dòng)比與二者的質(zhì)量有顯著相關(guān)性，在冷卻劑排空時(shí)，反應(yīng)堆與車體的質(zhì)量比為1∶2，振動(dòng)比值為2∶1，在冷卻劑充滿時(shí)反應(yīng)堆容器與車體質(zhì)量比為2∶1，振動(dòng)比值為1∶2。二者的質(zhì)量比與振動(dòng)比成反比關(guān)系。

（4）在不同公路等級下，系統(tǒng)的振動(dòng)主頻相似，集中在16 Hz 以內(nèi)。振幅隨著公路等級的惡化逐步增大，在F 級公路后發(fā)生陡升。增幅達(dá)到150%，運(yùn)輸過程存在安全隱患，應(yīng)盡量避免可移動(dòng)式反應(yīng)堆在F 級以上更粗糙的道路運(yùn)輸。

本文能夠?yàn)橐苿?dòng)式反應(yīng)堆在不同公路等級下的運(yùn)輸提供工程借鑒和安全性指導(dǎo)。

致謝：感謝鳳麟核團(tuán)隊(duì)的支持，以及國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃No.2020YFB1902102、No.2020YFB1901901的資助支持。