基于差分模型的近場無源定位算法

趙 研，陶海紅，暢 鑫，董春曦，趙國慶

（1.西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理全國重點實驗室，陜西西安 710071；2.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071）

0 引 言

輻射源定位是目標(biāo)探測領(lǐng)域的重要應(yīng)用，在雷達(dá)、地震、聲學(xué)、海洋和聲吶等專業(yè)有著廣泛的需求。無源定位問題按照陣列孔徑、目標(biāo)距離和工作波長的關(guān)系可以分為兩分支，（a）典型天線陣列遠(yuǎn)場條件（r≥2D2/λ）和（b）天線陣列近場條件，其中r是目標(biāo)到天線陣列的距離，D是陣列孔徑，λ是目標(biāo)信號的波長。在遠(yuǎn)場條件下，波達(dá)方向（DOA）是分析天線陣列平行波前［1］信號傳播過程,經(jīng)過多年研究目前已經(jīng)取得了長足發(fā)展和大量成果。當(dāng)滿足近場條件或者滿足菲涅爾區(qū)條件時，電波波前不再滿足平行假設(shè)，傳統(tǒng)單要素線性DOA 角度估計方法不再適用，但也具備了解算目標(biāo)未知的可能（同時估計目標(biāo)角度和距離）。本文針對典型近場輻射源定位問題，通過對于距離和角度的非線性聯(lián)合分析可獲得目前位置信息。

近場目標(biāo)定位近些年是較為熱門的問題，傳統(tǒng)上采用的方法有：1）經(jīng)典采用多重用戶分離（MUSIC）的二維拓展算法［2］；2）利用菲涅爾近似波前的二階表達(dá)式估計［3］，在此基礎(chǔ)上利用陶布利茲矩陣旋轉(zhuǎn)不變性，進(jìn)行ESPRIT 的DOA 估計［4］或高階累積量的DOA 估計［5］；3）通過菲涅爾近似的特殊陣列結(jié)構(gòu)協(xié)方差矩陣構(gòu)造，可以建立角度的單維問題，并由此通過MUSIC 估計距離［6-8］,利用MUSIC 代價函數(shù)估計最佳值［9-10］，此外基于子陣遠(yuǎn)場估計模型，還提出一種三角函數(shù)近場逼近方法［11］。然而以上的方法都是通過二維要素的一維空間化簡求解過程。

不同于傳統(tǒng)近場目標(biāo)輻射傳播的菲涅爾近似模型，基于近場空間幾何結(jié)構(gòu)和三角函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)得到新的差分迭代模型［12］，本文建立全新高精度目標(biāo)關(guān)系模型并形成定位解析表達(dá)式，通過陣列處理估計TOA 定位觀測量，利用新定位算法快速準(zhǔn)確地獲取近場多個獨立同分布目標(biāo)的定位信息。

1 近場菲涅爾近似目標(biāo)定位

對于均勻線陣（ULA），近場目標(biāo)二維定位的幾何模型如圖1 所示。其中均勻線陣包含N個天線陣元，相鄰陣元的間距為d，其中原點陣元、第i個陣元和第k個目標(biāo)，在三角形ΔOIK中，從O到K的距離為rk，從第I個陣元到K的距離為rik，而陣列方向和rk之間夾角為θk，陣列方向與rik之間的夾角為θik，對于三角形ΔONK，依據(jù)余弦定理有

圖1 近場目標(biāo)定位結(jié)構(gòu)示意圖

參見圖1，(rnk,θnk)代表第k個輻射源對第n個節(jié)點的距離和到達(dá)角，假設(shè)λ為電波波長，則傳輸?shù)南辔谎舆t為

式中Rs是目標(biāo)信號協(xié)方差矩陣。求解近場目標(biāo)數(shù)量和位置的問題變成了對采樣數(shù)據(jù)序列M個樣點的估計。針對式（6）傳統(tǒng)研究提出了多種處理方法，基于WVD 的分析估計［3］,基于子陣遠(yuǎn)場估計（MUSIC/ESPRIT）的統(tǒng)計分析［4,6，11］,4 階累積量的子空間分析［5］,通過分析二階協(xié)方差矩陣數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造特殊選擇節(jié)點陣列，抵消數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的二次項而只保留一階線性相移項，通過對表達(dá)式的算法模型估計［7］,得到最優(yōu)化目標(biāo)位置估計逼近值［8-10］。

2 基于差分模型的定位新算法

不同于傳統(tǒng)的菲涅爾近似，文獻(xiàn)［12］中，作者提出一種新的近場電波傳播近似模型，其結(jié)構(gòu)與初值和迭代次數(shù)相關(guān)，可知［12］

2.1 基于二次迭代的定位分析

2.2 基于三次迭代的定位分析

傳統(tǒng)的定位算法都是基于菲涅爾的二階近似關(guān)系式進(jìn)行推導(dǎo)估計，其性能會繼承近似基礎(chǔ)誤差影響，而按泰勒級數(shù)展開三階近似雖可提升近似精度，但所產(chǎn)生的二元三次方程組難以獲得可行解。基于差分迭代新模型，可獲取對于目標(biāo)定位的三次迭代新算法，有［12］

令x= cosθk，由此建立方程：

令n= 1,2建立方程組

由于表達(dá)式（18）存在規(guī)則的結(jié)構(gòu)形式，使得方程組（19）消元操作較為便捷，可將二元三次方程轉(zhuǎn)化為一元三次方程，而后者存在通解公式，并由此獲得(rk,θk)實數(shù)形式的非零可行解，由于具體解數(shù)學(xué)表達(dá)式較長，可通過數(shù)學(xué)工具軟件解得，此處不再贅述。

新算法的特征優(yōu)勢在于基于較高精度的近場傳播近似模型條件下建立了定位方程，使得模型自身的基本估計誤差優(yōu)于傳統(tǒng)菲涅爾近似的結(jié)果［12］，也使得其數(shù)學(xué)表達(dá)式非線性特征要更為強烈。但是正如上面所推導(dǎo)，其結(jié)構(gòu)的規(guī)律性使得二元三次復(fù)雜方程組依舊可推導(dǎo)和存在閉式結(jié)構(gòu)的解析可行解。基于傳統(tǒng)菲涅爾近似條件下，以往算法表達(dá)式具有了更良好的線性特征和簡潔數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通過經(jīng)典的最優(yōu)化估計、子空間分解或累積量分析都可以得到一定準(zhǔn)則下的最優(yōu)定位參數(shù)解，但其算法運算量往往較大，對很多實際客觀存在的非線性誤差適應(yīng)性低，新算法采用了更加精準(zhǔn)的近場模型，并且推導(dǎo)定位參數(shù)閉式解，在保證精度的同時使得后續(xù)實際應(yīng)用中數(shù)值計算存在很大的自由度，為進(jìn)一步精簡高效運算提供可能。

2.3 相關(guān)處理與算法性能分析

在近場陣列輻射源定位的整體信號處理過程中，各通道輸入信號間一般都滿足相互獨立且隨機同分布，噪聲為加性高斯的前提假設(shè)，因此對于實際陣列條件下式（4）可對等表示為

式中△tnl==rnk/C。

對于式（5）有

由此可得所提算法輸入?yún)?shù)△Rnk= △tnkC。對于TOA 的精確估計還可以參考其他算法文獻(xiàn)［13-15］，本文主要重點在后面的基于TOA 定位觀測量的定位算法研究，這里不再贅述。

從文獻(xiàn)［12］的性質(zhì)分析，可以看到新的算法模型（二次迭代）與傳統(tǒng)菲涅爾近似模型（二階近似）算法仿真分析，兩者在象限區(qū)間中各有一般的近似優(yōu)勢；而如果采用優(yōu)化初值的三次迭代新算法則近似程度明顯提高，在0°～82°和97°～180°近場范圍內(nèi)近似精度都顯著提高，參見圖2。由此可知在高信噪比條件下（數(shù)值精度可分辨情況下），新算法的定位精度應(yīng)優(yōu)于菲涅爾近似的定位精度。

圖2 所提算法與TSECL2rd定位誤差對比圖

3 對所提算法仿真和性質(zhì)分析

針對均勻線陣的近場區(qū)域范圍內(nèi)目標(biāo)定位性質(zhì)進(jìn)行仿真分析，對比分析實驗：1）針對近場陣列的子陣遠(yuǎn)場分解及多個參數(shù)回歸分析估計算法［11］；2）基于菲涅爾近似建立的定位方程二階條件求解［3］，參見式（16）；3）基于高階累計量的陣列統(tǒng)計估計定位方法［5］；4）文獻(xiàn)［12］提出基于二次差分迭代計算定位方程新算法，參見式（14）；5）本文所提出基于三次差分迭代計算定位方程新算法，由于其目標(biāo)定位參數(shù)閉式解結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，具體參見附錄。

由圖3 可知，隨著信噪比條件（噪聲比S/N=Psignal/Pnoise，其中Psignal為信號能量，Pnoise為與信號時、頻等域相匹配噪聲能量）從-20 dB 到30 dB 以1 dB 的步長逐漸變換，高階累計量算法的測距精度最高誤差在1%左右；所提出三次迭代比二次迭代算法精度略高，也逼近1%的誤差水平，指標(biāo)性能分別為第2 和第3；菲涅爾近似算法與遠(yuǎn)場子陣定位算法由于具有噪聲分解與原始數(shù)據(jù)信息測量優(yōu)勢，在低信噪比條件下效果相對較好，但整體定位性能相對較差。

圖3 各種算法測距誤差隨信噪比變化性能圖

由圖4可知，隨著信噪比條件從-20 dB到30 dB以1 dB 的步長逐漸變換，從曲線結(jié)果可知所提出三次迭代定位算法具有優(yōu)良的近場模型非線性特征適應(yīng)能力，在大于0 dB 信噪比具有良好的測角性質(zhì)，測角誤差約1.1%；而高階累計量算法的測角精度也較為優(yōu)秀，誤差也逼近1%，兩者性能較優(yōu)且逼近性能漸近線；文獻(xiàn)［12］提出二次迭代算法精度要好于遠(yuǎn)場子陣定位算法和菲涅爾近似定位算法，而這兩種算法在低信噪比條件下的性能要優(yōu)于前面的算法。

圖4 各種算法測角誤差隨信噪比變化性能圖

通過對于近場目標(biāo)距離和角度的綜合測量評估，5種典型方法的定位誤差對比如圖5所示。

圖5 各種算法定位誤差隨信噪比變化性能圖

由圖5 可知，5 種近場定位方法整體定位誤差隨信噪比提升而改善。而其中新提出的三次迭代估計誤差與高階累積量估計方法的定位指標(biāo)最好，均在1%左右，且兩者誤差值十分接近，且在負(fù)信噪比條件下性能較差，并隨著信噪比提升誤差快速減小；新提出二次迭代方法的誤差估計性能弱于前兩種算法，但在高信噪比條件時，性能要優(yōu)于遠(yuǎn)場子陣估計和菲涅爾近似定位方法；而這兩種定位算法在低信噪比條件性能相對穩(wěn)定，誤差惡化程度減小。

4 結(jié)束語

本文所提算法具有3個優(yōu)點：1）具備代數(shù)差分迭代結(jié)構(gòu)形式，可以實現(xiàn)近似精度更高的閉式解析定位解表達(dá)式，其三次迭代解結(jié)構(gòu)是同階次菲涅爾近似難以推導(dǎo)得到的高精度解；2）通過高精度逼近的傳播模型迭代推導(dǎo)得到的近場定位算法，可以得到正信噪比條件下和高階累積量定位算法誤差基本相同的定位結(jié)果能力；3）在相同陣列近場正信噪比工作條件下，新三次迭代算法與高階累計量定位誤差性能較好，相比其他方法定位性能改善0.3%～3%，而本方法是代數(shù)計算與結(jié)果統(tǒng)計，相比于最優(yōu)化分析和最佳點估計過程，其計算分析過程與數(shù)值計算量大為降低，處理復(fù)雜度和時間代價更低。本文所提算法優(yōu)勢和特征較為突出，對于近場DOA問題的解決提供新思路。