基于時(shí)滯系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)容積卡爾曼濾波算法

黃曉姣，計(jì)甜甜，玉 姣，王文明

（皖西學(xué)院實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)教學(xué)管理部，安徽 六安）

引言

現(xiàn)階段，非線性濾波的問題普遍存在，比如在信號(hào)處理、目標(biāo)跟蹤等領(lǐng)域，針對(duì)非線性系統(tǒng)，該領(lǐng)域的研究者們提出了很多次優(yōu)的濾波算法，主要包括擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter, EKF）[1]，無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter, UKF）[2]，容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter, CKF）[3]，粒子濾波（Particle Filter, PF）[4]等，這些算法具備各自的優(yōu)點(diǎn)，能較準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)的狀態(tài)，但是它們也存在著不足之處，例如計(jì)算復(fù)雜度高、濾波精度低、誤差太大等，所以相關(guān)的學(xué)者也提出了許多的改進(jìn)方法，如自適應(yīng)漸消有偏EKF[5]、矩陣加權(quán)自適應(yīng)EKF[6]、Sage-Husa 自適應(yīng)UKF[7]、改進(jìn)自適應(yīng)抗差CKF[8]等等。但隨著非線性系統(tǒng)規(guī)模和復(fù)雜性的擴(kuò)大，系統(tǒng)中通常會(huì)存在著噪聲，同時(shí)受到外界各種復(fù)雜環(huán)境的影響，信號(hào)被傳輸?shù)倪^程中，也會(huì)存在干擾、丟包等現(xiàn)象，導(dǎo)致量測(cè)模型出現(xiàn)時(shí)滯，所以對(duì)非線性濾波的性能還需要改進(jìn)和提高。

我們對(duì)系統(tǒng)建立模型時(shí)，往往會(huì)假設(shè)系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性和量測(cè)噪聲統(tǒng)計(jì)特性均為已知的，并且是均值為零高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣在運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)發(fā)生變化，但事實(shí)不是如此，它們往往無法精確地確定，為此本節(jié)借鑒文獻(xiàn)[10]的時(shí)滯轉(zhuǎn)換方法和文獻(xiàn)[9]的模糊CKF 方法，以容積卡爾曼濾波為基礎(chǔ)，對(duì)同時(shí)具有觀測(cè)時(shí)滯及量測(cè)噪聲不確定的系統(tǒng)進(jìn)行處理，提出了在觀測(cè)時(shí)滯系統(tǒng)下的模糊自適應(yīng)容積卡爾曼濾波算法，通過仿真驗(yàn)證，該算法可以有效減小誤差且提高濾波精度。

1 模糊自適應(yīng)CKF

首先介紹一下模糊推理系統(tǒng)。模糊推理系統(tǒng)[9]也稱為模糊控制。如圖1 所示，一個(gè)模糊推理系統(tǒng)基本包括5 個(gè)功能塊。

圖1 模糊推理系統(tǒng)

考慮如下離散時(shí)間非線性系統(tǒng)

式中，x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；zk為量測(cè)值和為非線性函數(shù)，為系統(tǒng)過程噪聲，v為量測(cè)噪聲。濾波時(shí)，都是假設(shè)和vk相互獨(dú)立，且分別是零均值，協(xié)方差為Q和的高斯白噪聲，但量測(cè)噪聲方差易被影響，因此，對(duì)于CKF 要具備自適應(yīng)調(diào)節(jié)的能力[11]。

在CKF 的整個(gè)濾波過程中，其系統(tǒng)殘差可以表示為

則系統(tǒng)殘差方差實(shí)際值可表示為

式中，M 為根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取的平滑窗口。

根據(jù)式

系統(tǒng)理論殘差方差為Pzz，定義兩者跡的比值為

若系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性準(zhǔn)確，αk應(yīng)該在1 附近[12]，當(dāng)系統(tǒng)測(cè)量噪聲的實(shí)際值與先驗(yàn)值存在差距時(shí)，αk將偏離1，為了使其穩(wěn)定，通過調(diào)節(jié)對(duì)理論殘差方差進(jìn)行修正，即

式中：εk為調(diào)節(jié)因子，εk可以根據(jù)模糊推理系統(tǒng)計(jì)算得到，以αk作為模糊推理系統(tǒng)的輸入，εk為其輸出，以1 為參考，設(shè)S 表示模糊集合“小”，M 表示基本等于1，L 表示模糊集合“大”，可建立如下模糊推理規(guī)則：

（1）如果αk∈S，那么εk∈S；

（2）如果αk∈M，那么εk∈M；

（3）如果αk∈L，那么εk∈L。

系統(tǒng)框圖如圖2 所示。

圖2 模糊推理系統(tǒng)框圖

αk與εk的隸屬度函數(shù)分別如圖3、圖4 所示。

圖3 輸入αk 的隸屬度函數(shù)

圖4 輸出εk 的隸屬度函數(shù)

對(duì)于去模糊，算法中用解重心法得到精確的值，即

其中，θj為圖4 中對(duì)應(yīng)3 個(gè)模糊集的隸屬度；Sj為各個(gè)模糊集的中心。

將模糊推理系統(tǒng)每一步運(yùn)算得到的εk代入式（6），對(duì)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)。

2 觀測(cè)時(shí)滯系統(tǒng)

通常情況下，非線性觀測(cè)時(shí)滯系統(tǒng)的方程可以表示為：

其對(duì)應(yīng)的矩陣方程可表示為：

其中，Yk和分別是k 時(shí)刻和k-1 時(shí)刻的增廣狀態(tài)向量；和Vk=vk-r分別為引入增廣狀態(tài)之后的過程噪聲和觀測(cè)噪聲。式（10）符合濾波算法的系統(tǒng)方程，只是維數(shù)變大，對(duì)式（11）重新定義，則式（10）、（11）描述的觀測(cè)時(shí)滯系統(tǒng)可表示為：

式中：f*（·）、h*（·）- 與式（12）、（13）相同的非線性映射關(guān)系；Uk、Vk- 引入增廣狀態(tài)之后的過程噪聲和觀測(cè)噪聲，方差分別是且相互獨(dú)立，，

3 觀測(cè)時(shí)滯系統(tǒng)下的模糊自適應(yīng)容積卡爾曼濾波

綜合前面對(duì)觀測(cè)時(shí)滯和量測(cè)噪聲不確定情況的處理，將觀測(cè)時(shí)滯系統(tǒng)下的FACKF 算法基本步驟歸納如下：

（1）用狀態(tài)增廣無時(shí)滯模型對(duì)式（8）、（9）表示的帶觀測(cè)時(shí)滯且量測(cè)噪聲不確定的非線性系統(tǒng)進(jìn)行處理，成為式（14）、（15）；

（2）經(jīng)變換后的式（14）、（15）符合卡爾曼濾波的標(biāo)準(zhǔn)形式，量測(cè)噪聲和變換之前一樣具有不確定性，可用精確度較高的模糊自適應(yīng)CKF 算法對(duì)其進(jìn)行處理；

a.對(duì)X0，P0|0及量測(cè)噪聲的方差R0進(jìn)行初始化，設(shè)定平滑窗口M 的值；

b.進(jìn)行第一個(gè)平滑窗口內(nèi)的M 步CKF 計(jì)算（k=0，…，M-1）；

c.通過式（2）～ 式（6）計(jì)算系統(tǒng)殘差ηk、系統(tǒng)殘差實(shí)際值和殘差實(shí)際值與殘差理論值的比值αk；

d.以αk為FIS 的輸入，通過模糊系統(tǒng)計(jì)算量測(cè)噪聲方差Rk的調(diào)節(jié)因子εk，并利用εk對(duì)Rk進(jìn)行調(diào)節(jié)；

e.令k=k+1，用調(diào)節(jié)后的R替換原有的完成CKF濾波；

f.重復(fù)執(zhí)行步驟c～步驟e。

（3）步驟（2）已經(jīng)對(duì)變換后的標(biāo)準(zhǔn)形式運(yùn)用CKF 進(jìn)行了濾波處理，且量測(cè)噪聲運(yùn)用模糊算法得到了很好的處理，再根據(jù)前r個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值Y0，…，Yr和方差Pr，遞推計(jì)算出k時(shí)刻的增廣狀態(tài)值，進(jìn)而得到狀態(tài)估計(jì)就是觀測(cè)時(shí)滯的狀態(tài)估計(jì)；

（4）算法結(jié)束。

4 仿真驗(yàn)證與分析

采用角測(cè)量跟蹤模型，該模型普遍用于雷達(dá)目標(biāo)跟蹤的仿真驗(yàn)證中。假設(shè)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且把時(shí)滯系統(tǒng)處理過后，得到的增廣狀態(tài)用如下模型仿真：

式中：Φ 為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γ 為狀態(tài)噪聲驅(qū)動(dòng)陣；N為采樣時(shí)間；T 為采樣間隔；是系統(tǒng)狀態(tài)變量。其中：

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為x0=（220，1，55，-0.5）T，T=3s，N=1000s，初始方差陣設(shè)調(diào)節(jié)因子εk的指數(shù)b 取1.2，平滑窗口寬度M 取10。用容積卡爾曼濾波（CKF）和本文進(jìn)行仿真比較，并使用均方根誤差（RMSE）評(píng)價(jià)算法性能，仿真對(duì)比如圖5 和圖6 所示。

圖5 目標(biāo)軌跡對(duì)比

圖6 濾波誤差對(duì)比

從圖5 可以看出，本文的算法和真實(shí)軌跡更接近，圖6 得出的誤差也相對(duì)更小，因此本文在前人基礎(chǔ)上改進(jìn)的算法效果稍優(yōu)。我們不能否認(rèn)每種算法都有其一定的優(yōu)越性，在不同的階段，針對(duì)不同的問題，但是我們?cè)趦?yōu)越算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)與創(chuàng)新，使之更優(yōu)越，才是我們的最終目的。

5 結(jié)論

本文提出了一種具有更高精度的基于時(shí)滯系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)容積卡爾曼濾波方法。該算法把系統(tǒng)狀態(tài)增廣時(shí)滯轉(zhuǎn)換方法和模糊自適應(yīng)調(diào)整量測(cè)噪聲協(xié)方差陣權(quán)值的方法相融合。仿真結(jié)果表明該算法可以有效減小誤差且提高濾波精度，具有更優(yōu)的估計(jì)性能。