對與惠斯通電橋相關電路的深入剖析

王偉民 辛存良

摘? ?要：用初中物理知識解答一個與惠斯通電橋相關的電學問題。將惠斯通電橋電路中相鄰兩臂替換為滑動變阻器線圈電阻兩部分的情形，用邏輯推理的方法導出電橋對角線電流與滑動變阻器線圈中一端電阻之間的函數關系式，再利用求導的方法確定函數的增減性，結合相關條件，進而可以確定在滑片滑動過程中對角線電流的變化范圍；設計虛擬實驗和實物實驗，對電流表讀數的變化規律進行實驗驗證。

關鍵詞：惠斯通電橋；電流表；正向偏轉；滑動變阻器；單調增加

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）8-0056-3

惠斯通電橋又稱單臂電橋，是一種可以精確測量電阻的儀器，比用歐姆表測量未知電阻阻值的結果要精確的多。實際上，利用惠斯通電橋不僅可以測量電學元件的電阻，在已知條件改變時也可以相對精確地測量其他相關的電學量。

電橋平衡是高中物理教輔資料電學競賽板塊經常出現的一類問題，此類問題可以考查學生對閉合電路的歐姆定律、電勢等知識點的掌握情況和綜合運用物理知識解決復雜物理問題的能力。解決與電橋平衡有關的問題，往往需要涉及到電勢這一高中物理才出現的電學物理量［１］。那么，與電橋平衡相關的物理問題如果在初中物理教學中呈現，在不補充高中物理內容的情況下，可否利用初中學生已有的物理知識進行解決呢？

1? ? 運用初中知識如何解決與電橋有關的電學問題

例題1 如圖1所示的電路，已知定值電阻R1=2 Ω，R2=6 Ω，R3=3 Ω，R4=4 Ω，電源電壓U=3.6 V保持不變，不計電源和電流表內阻，求當S閉合時電流表的讀數。

我們嘗試繞開電勢這一高中物理知識點，僅用初中物理知識進行解答。

分析 因為不考慮電流表的電阻，電流表可視為導線，因此整個電路的連接方式為：R1與R3并聯，R2與R4并聯，這兩個并聯部分分別作為整體再串聯。當開關S閉合時，通過R1和R2的電流方向均為向右，而通過電流表的電流有三種可能：大小為零、方向向上或方向向下。設通過電阻R1與R2的電流大小分別為I1和I2，通過電流表的電流大小為IA，當通過電流表的電流方向向下時（圖2），有IA=I1-I2；當通過電流表的電流方向向上時（圖3），有IA=I2-I1；當通過電流表的電流為零時，上面的兩個等式均成立。綜合以上三種情況，僅從通過電流表電流的大小角度考慮，無論通過電流表電流方向如何，都有IA=I1-I2。當開關S閉合時，整個電路的總電流為

并聯電路中，干路電流在各支路電流的分配與各支路電阻成反比，可得

將題目所給已知條件代入可得IA=0.2 A。這樣，我們僅用初中物理知識就解決了與電橋相關的這個物理問題。

如果以向下的方向為通過電流表電流的正方向，那么，通過電流表的電流可以表示為

我們不妨以此為基礎來推導電橋平衡時（即通過電橋對角線電流表的電流為零時）各臂電阻應該具備的關系條件。

這說明，電橋兩組對邊的四個電阻中，對邊電阻的乘積相等時，電橋平衡。顯然，這一結果與利用電流表兩端電勢相等為條件推理的結果是一樣的。

2? ? 電橋問題中電流最值的討論

例題2? 如圖4所示的電路，滑動變阻器線圈AB的電阻R0=60 Ω，兩個定值電阻的阻值分別為R1=20 Ω，R2=30 Ω，電源電壓U=30 V保持不變，量程為-3 A～+3 A的電流表按圖4所示方式接入電路（圖示電路圖中，電流從電流表上方進入時，其指針正向偏轉，電流從下方進入時，電流表指針反向偏轉），在滑片P由A端滑至B端的過程中，試確定：

（1）滑動變阻器AP段的電阻多大時，電流表的讀數為零？（2）電流表讀數的變化范圍？

分析 該題目的第一問比較簡單，根據電橋的平衡條件，只需列出一個以AP段電阻為未知數的方程，即可方便地確定滿足條件的滑動變阻器AP段的電阻值。題目第二問的求解相對麻煩，在滑動變阻器的滑片P滑動過程中，電橋相鄰兩臂PA段和PB段的電阻都在發生變化。由于二者電阻之和已知且固定，所以其中一段的電阻可以用另一段的電阻來表示。又因為電橋另外兩臂的電阻值也已知，電源電壓確定，因此，如果把滑動變阻器整個線圈中一段的電阻視為自變量，而把通過電流表的電流視為因變量，那么利用在例題1解題過程中推出的通過電流表電流的表達式，即可建立一個電流表讀數與滑動變阻器線圈中一端電阻關系的函數［２－３］。如果能夠確定函數的增減性及函數單調變化時自變量的范圍，那么就可以根據題目條件確定電流表讀數的變化范圍。

解析 （1）根據電橋的平衡條件，電流表讀數為零時，有

R1RPB=R2RPA

代入數據解得RPA=24 Ω，即滑動變阻器AP段的電阻RPA=24 Ω時，電流表的讀數為零。

（2）設滑動變阻器PA段電阻RPA=R3=x時，電流表的讀數為IA，則此時PB段的電阻RPB=R4=60-x。所以（這里增添R3和R4兩個字母的用意是想利用在例題1后面推理出來的通過電流表電流的公式）

為了解函數的增減性，需確定函數的駐點，對x求導，并令其導數等于0，可得

這個關于x的一元二次方程根的判別式為：

對于該函數，當滑片P在A端時，x=0，有

這種情況下，電橋電路演變為R2與整個滑動變阻器的線圈并聯之后接入電源，而電流表與R2是串聯的，所以電流表的讀數等于電源電壓除以R2的阻值（數值為負說明電流是反向的）。

當滑片P滑至B端時，x=R0=60，有

這種情況下，電橋電路演變為R1與整個滑動變阻器的線圈并聯之后接入電源，而電流表與R1串聯，所以電流表的讀數等于電源電壓除以R1的阻值（數值為正說明電流是正向進入的）。

所以，滑動變阻器的滑片P由A端滑至B端的過程中，電流表讀數的變化范圍是-1 A～1.5 A。電流表的讀數在單調增加。

3? ? 實驗驗證

筆者用“中學電路虛擬實驗室”軟件設計了如圖5所示的電路進行實驗驗證，也利用實驗室的實物元件進行了類似的實驗（實物實驗選擇的是阻值不等的兩個定值電阻。圖5所示的虛擬實驗，選擇L1，L2兩燈泡串聯的用意是，它們串聯的整體視為一個電阻，因為這個虛擬實驗給出的實驗器材，燈泡的規格都是相同的）。選擇這個軟件做實驗的突出優點是，該軟件中的各元件都是理想元件——導線、電流計、電池等元件沒有內阻，電源電壓恒定，燈泡電阻也不受溫度變化的影響，因此在滑動變阻器滑片滑動的整個過程中，實驗現象不受這些元件電阻和電源電壓變化及燈泡燈絲電阻變化的影響。圖5用電流計來顯示電橋對角線通過的電流，可以看出滑動變阻器的滑片從一端移動到另一端的過程中，電流計的讀數在做單調性變化，虛擬實驗的實驗結果和真實元件做實驗的實驗結果都跟上面推理的結論完全相符。

4? ? 結? 語

由以上分析可以看出，對于和惠斯通電橋有關的電學問題，如果我們采用特定的方法，繞開電勢這一高中物理知識點，僅利用初中物理已有的電學知識也是可以解決的。在惠斯通電橋問題中，對相鄰兩臂為滑動變阻器線圈電阻兩部分的情形，這兩臂電阻之和保持恒定，通過建立對角線電流與其中一部分線圈電阻之間的函數關系，利用對函數求導的方法確定函數的增減性，結合相關已知條件，進而可以確定在滑動變阻器滑片滑動過程中對角線電流的變化范圍。

參考文獻：

［1］沙育年.不平衡式儀器作交流電橋平衡檢測的實驗研究［J］.物理教學探討，2010，28（8）：3-5.

［2］陳玉奇.物理競賽中不平衡電橋電路的幾個分析方法［J］.中學物理，2013，31（5）：39-42.

［3］姚春賢.物理競賽中含有非平衡電橋的復雜電路問題研究［J］.物理教師，2019，40（1）：94-97.

（欄目編輯? ? 蔣小平）