一次函數與方程聯袂演繹行程問題

張賀

例題呈現

例1 甲、乙兩人分別從A，B兩地相向而行，勻速行進，甲先出發且先到達B地，他們之間的距離s（km）與甲出發的時間t（h）的關系如圖1所示，則乙由B到A用了? ? ? ?h.

分析：首先分析題意中的變量含義，明確s表示甲、乙之間的距離，t表示甲出發的時間. 結合圖象分析，A，B兩地的距離為36 km，甲先出發2小時，4.5小時相遇時乙行進2.5小時，6小時甲到達B地. 根據以上條件，可設出甲、乙兩人的速度，然后建立方程組解決問題，還可以用算術法求解.

解：方法1：設甲的速度為x km/h，乙的速度為y km/h，列方程組得[4.5x+2.5y=36，6x=36，]

解得[x=6，y=3.6，]所以乙行進的時間為36 ÷ 3.6 = 10（h）. 故應填10.

方法2：甲行進的速度為36 ÷ 6 = 6（km/h），乙行進的速度為[36-4.5×64.5-2? ][ =3.6] （km/h），

所以36 ÷ 3.6 = 10（h）. 故應填10.

例2 甲、乙兩人沿筆直公路勻速由A地到B地，甲先出發30分鐘，到達B地后原路原速返回與乙在C地相遇. 甲的速度比乙的速度快35 km/h，甲、乙兩人與A地的距離y（km）和乙行駛的時間x（h）之間的函數關系如圖2所示，則B，C兩地的距離為__________km（結果精確到1 km）.

分析：根據題意結合圖象可得甲行駛的速度及A，B兩地之間的距離，進而得出乙行駛的速度，然后求出兩人相遇的時間，即可求出B，C兩地的距離. 也可借助畫線段圖（圖3）解決問題，如此更加直觀.

解：方法1：設乙行駛的時間為x h，根據題意得25 + 50 × 2 = 15x + 50（x - 2），

解得[x=4513]，[則BC=50×4513-2≈73]（km）. 故應填73.

方法2：設甲返回的時間為y h，根據題意得15（y + 2） + 50y = 25 + 50 × 2，

解得[y=1913]，則[BC=50×1913≈73]（km）. 故應填73.

反思：數形結合思想在分析問題時至關重要，同學們不僅要理解特殊點、變量的實際意義，還要畫線段圖，把函數問題轉化為直觀圖形，再利用方程解決問題.

真題演練

例3（2022·遼寧·阜新）快遞員經常駕車往返于公司和客戶之間. 在快遞員完成某次投遞業務時，他與客戶的距離 s （km）與行駛時間 t （h）之間的函數關系如圖4所示（因其他業務，曾在途中有一次折返，且快遞員始終勻速行駛），那么快遞員的行駛速度是__________km/h .

分析：在實際問題中，要明確客戶是靜止的，這是求解的前提. 找到快遞員直接到達的時間是求解的關鍵，t = 0.2 - 0.15 + 0.2 = 0.25（h），則快遞員的速度為8.75 ÷ 0.25 = 35（km/h）. 還可以利用線段圖（圖5）直觀地體現折返路程，建立方程求解.

解：設快遞員的行駛速度是x km/h，

根據題意得0.2x - 0.15x + 0.2 x = 8.75，解得x = 35. 故應填35.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：15分鐘

1. 育紅學校七年級學生步行到郊外旅行. 七（1）班出發1 h后，七（2）班才出發，同時七（2）班派一名聯絡員騎自行車在兩班隊伍之間進行聯絡，聯絡員和七（1）班的距離s（km）與七（2）班行進時間t（h）的函數關系圖象如圖6所示. 若已知聯絡員用了[23] h第一次返回到自己班級，則七（2）班需要__________h才能追上七（1）班.

2. A，B兩地相距的路程為240千米，甲、乙兩車沿同一線路從A地出發到B地，分別以一定的速度勻速行駛，甲車先出發40分鐘后，乙車才出發. 乙車追上甲車時恰好發生故障，修車耗時20分鐘，隨后，乙車仍以原速前行. 甲、乙兩車相距的路程（千米）與甲車行駛時間（小時）之間的關系如圖7所示，乙車修好后再次追上甲車時，兩車距B地還有千米.

（作者單位：阜新市第一中學）

答案

1. 2 2. 60