多邊形的內角和與外角和的應用

郭健 劉丹丹

例題呈現

例1 如圖1，一張三角形ABC紙片，點D，E分別是△ABC兩邊上的點.

研究（1）：如果沿直線DE折疊，使點A落在CE上的點A'處，則∠BDA'與∠A的數量關系為___________.

研究（2）：折成如圖2所示的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數量關系.

研究（3）：折成如圖3所示的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數量關系是什么，并說明理由.

解析：研究（1）：解翻折問題，要從圖形中找相等的量. DE為折痕，則∠A = ∠DA′A，利用三角形的外角定理可得∠BDA′ = 2∠A，故填∠BDA' = 2∠A.

研究（2）：如圖2，∠A與∠A′是相等的，結合四邊形ADA′E的內角和為360°，∠BDA′ + ∠ADA′ = 180°，∠CEA′ + ∠A′EA = 180°，可得∠BDA′ + ∠CEA′ = 2∠A.

研究（3）：如圖3，由折疊可知∠A與∠A′相等，設DA′交AC于點F，運用三角形外角定理可得∠BDA′ = ∠A + ∠DFA，∠DFA = ∠A′ + ∠CEA′，可得∠BDA′ - ∠CEA′ =? ? 2∠A.

規律：折疊中有對應角相等. 同學們在解決折疊問題時要運用一些技巧，如“將已知角放在相應三角形中”，“順逆推、反復用”三角形內角和定理及外角定理.

例2 如圖4，線段AB，CD相交于點O，連接AD，CB，我們把形如圖4的圖形稱為“8字形”. 如圖5，在圖4的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD，AB分別相交于M，N. 試解答下列問題：（1）在圖4中，請直接寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數量關系：___________；（2）仔細觀察，在圖5中“8字形”的個數：___________個；（3）在圖5中，當∠D = 50°，∠B = 40°時，求∠P的度數；（4）在圖5中，∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試求∠P與∠D，∠B之間存在著怎樣的數量關系. （直接寫出結果，不必證明. ）

解析：（1）∠A + ∠D = ∠C + ∠B. （2）6. （3）易得∠DAP + ∠D = ∠P + ∠DCP①，∠PCB + ∠B = ∠PAB + ∠P②，根據角平分線的定義，可得∠DAP = ∠PAB，∠DCP = ∠PCB，① + ②，可得2∠P = ∠D + ∠B，則∠P = 45°. （4）同（3）易得2∠P = ∠D + ∠B.

規律：遇到“兩條直線相交”，常可構造或轉化為“8字形”. 在圖4中必有∠A + ∠D = ∠C + ∠B，在圖5中必有∠P = [1/2] （∠D + ∠B）.

拓展變式

例3 探究與發現：

（1）如圖6①，在△ADC中，DP，CP分別平分∠ADC和∠ACD. 若∠A = 70°，則∠P =___________. 若∠A = α，用含有α的式子表示∠P為___________.

（2）如圖6②，在四邊形ABCD中，DP，CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A + ∠B的數量關系，并說明理由.

（3）如圖6③，在六邊形ABCDEF中，DP，CP分別平分∠EDC和∠BCD，請直接寫出∠P與∠A + ∠B + ∠E + ∠F的數量關系：___________.

解析：（1）由∠A = 70°，可得∠ADC + ∠ACD = 110°，則∠P = 180° - （∠PDC + ∠PCD） = 180° - 1/2×110°?= 125°；同理，當∠A = α時，∠P = 90° + [1/2]α. （2）由∠PDC = [1/2]∠ADC，∠PCD = [12]∠BCD，∠ADC + ∠BCD = 360° - ∠A - ∠B，易得∠P = [1/2]（∠A + ∠B）.（3）∠P = [1/2]（∠A + ∠B + ∠E + ∠F） - 180°.

規律：求解多邊形問題，可類比三角形問題的探究方法.

分層作業

難度系數：★★★★解題時間：15分鐘

如圖7，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F =___________°. 如果把圖7稱為二環三角形，它的內角和為∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F；圖8稱為二環四邊形，它的內角和為∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G + ∠H，則二環四邊形的內角和為___________°；二環五邊形的內角和為___________°；二環n邊形的內角和為___________°.

〔作者單位：遼寧省實驗中學（初中部）〕

答案

360 720 1080 [360（n - 2）]