巧用類比和對(duì)比，學(xué)好分式和分式方程

文／張偉俊

在生活和學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常采用“類比”和“對(duì)比”的思想方法來研究問題、探求新知，在分式和分式方程的學(xué)習(xí)中更是如此。

一、在類比中遷移運(yùn)用相同之處

所謂類比，就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或者相似的性質(zhì)，推斷出它們的其他性質(zhì)也有可能相同或相似的推理形式。

再如，在分式運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，我們同樣可以采用類比的方式展開。兩個(gè)分式之間如何進(jìn)行加減乘除運(yùn)算呢？我們可以類比分?jǐn)?shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成對(duì)分式運(yùn)算法則的推導(dǎo)過程，將分式的加減分成“同分母”和“異分母”兩種情形展開探究。由“異分母”聯(lián)想到利用“分式的基本性質(zhì)”進(jìn)行“通分”，從而轉(zhuǎn)化成“同分母”的情形進(jìn)行加減；將分式除法轉(zhuǎn)化成分式乘法，然后進(jìn)行“約分”等。這樣的探究過程，就是在類比中遷移運(yùn)用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，構(gòu)建起分式基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，突顯了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和類比思想方法的魅力。

當(dāng)然，我們?cè)诮柚惐忍骄啃轮倪^程中，在“求同”的同時(shí)，也要關(guān)注新知與原有知識(shí)之間的不同之處，更好把握新知的本質(zhì)特征。我們知道了分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和分式基本性質(zhì)的相同之處，那么它們之間又有什么不同之處呢？

二、在對(duì)比中剖析把握不同之處

所謂對(duì)比，就是把兩個(gè)對(duì)象的某些性質(zhì)進(jìn)行對(duì)照比較，發(fā)現(xiàn)它們具有的不同之處或明顯差異的思想方法。

在分式方程的學(xué)習(xí)中，如何來解分式方程呢？首先從形式上看，它和解含分母的一元一次方程類似。因此，類比解一元一次方程的步驟，我們能得到解分式方程的步驟，即去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1 等。它們解方程的步驟是一樣的，那么解分式方程與解含分母的一元一次方程有沒有不同之處呢？這就需要我們?nèi)ケ容^兩者每一步的變形及其依據(jù)有何不同。

通過比較，我們不難發(fā)現(xiàn)，在去分母時(shí)，方程兩邊同時(shí)乘各分母的最簡(jiǎn)公分母，其中一元一次方程的最簡(jiǎn)公分母是一個(gè)整數(shù)，而分式方程的最簡(jiǎn)公分母是一個(gè)整式。更重要的是，去分母后，分式方程轉(zhuǎn)化成了整式方程（比如一元一次方程），這樣我們就忽略了分式分母不為0 這種情況。如此一來，轉(zhuǎn)化后的整式方程的根，有可能使原分式方程中的分母為0，這便是產(chǎn)生增根的原因。因此，解分式方程必須增加驗(yàn)根的過程。

總的來說，類比是基于兩種不同事物或道理的類似，由此及彼，引發(fā)猜想，指引探究；對(duì)比是將兩種不同事物或者同一事物的不同方面放在一起進(jìn)行對(duì)照比較，辨別是非，把握本質(zhì)。綜合運(yùn)用類比和對(duì)比，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。