鍋爐熱效率加權平均及其不確定度評定的方法

齊國利 張松松 笪耀東

（1.國家市場監管重點實驗室（特種設備安全與節能)，中國特種設備檢測研究院 北京 100029）

（2.中特檢驗集團有限公司 北京 100029）

對于鍋爐熱效率的測量，實際上需要測量溫度、壓力、質量和質量流率等參數，按照能量平衡原理（鍋爐熱工性能試驗，也稱作熱平衡原理），實際上就是把整個熱力系統作為一個平衡系統，不用考慮進出口阻力損失等，只考慮熱量平衡[1]。鍋爐產品驗收或鑒定試驗時，熱效率測試可以進行2 個或多個工況，在用定期能效測試時一般可以是1 個工況，無論是1 個或多個工況的試驗，熱效率計算所用的溫度、壓力、流量等參數都要進行若干次的測量，以減少測量不確定的影響[2-3]。對于鍋爐產品能效測試，其熱效率應進行2 個工況（或2 組）的測試，鍋爐熱效率取2 個工況熱效率的算數平均值[4]。ASME PTC 4：2013《鍋爐性能試驗規程》規定，為了減少試驗不確定度，可進行多組試驗，滿足重復性標準的多組試驗結果取平均值得到平均試驗結果，沒有給出平均試驗結果的不確定度計算方法。EN 12952-15：2003《水管鍋爐和輔助設備 第15 部分：性能驗收》規定，熱效率試驗結果乘以熱效率的相對不確定度獲得熱效率的絕對不確定度，測量效率加上熱效率的絕對不確定度應當大于保證或者設計效率[5-6]。但遺憾的是，ASME PTC 4：2013和EN 12952-15：2003 都沒有能夠給出熱效率平均值的計算方法及其熱效率平均值的不確定度。

如果鍋爐熱效率測試結果進行了不確定度的評定，則不能使用算數平均值作為熱效率測試結果，因為2個工況的熱效率測試不確定度不同[7]，因此需要用更為科學的不確定度評定方法對熱效率平均值進行不確定度的評定。

鍋爐熱效率測試中溫度、壓力、熱值、質量和質量流率等參數的測量[8-9]，都是基于高斯（正態）分布，比如給水質量流量通過大量測量，給水質量流量分布應符合高斯分布，但由于時間等成本問題，質量流量測量不可能是無限次的測量，一定是有限次的測量，各類測量標準一般都給出最小的測量次數，可以通過平均值的標準偏差判斷測量結果的質量[10]。

本文基于試驗結果應符合高斯分布的基本原理，推導了鍋爐熱效率及其不確定度加權公式，獲得了鍋爐性能試驗結果及其不確定度的表征方法。

1 熱效率的加權平均值

如果2 組熱效率測試結果都服從高斯分布[11]，第1 組熱效率試驗得到的熱效率值ηA的概率見式（1）。

式中：

Pη（ηA)——第1 組試驗獲得的熱效率值ηA的概率；

η——熱效率的未知真值；

σA——第1 組試驗獲得的熱效率標準差。

第2 組熱效率試驗得到的熱效率值ηB的概率見式（2）。

假設同樣條件下，進行一次完整的試驗，包括第1 組熱效率試驗獲得ηA的概率與第2 組試驗獲得ηB的概率，2 次概率相乘，可以寫成式（3）。

式中：

從最大似然原理可以看出，對未知真值η的最佳估計是實際測量熱效率ηA和ηB的最可能的值。即η的最佳估計值是使式（3）的概率取得最大的那個值[12-13]。利用最小二乘法原理，把式（4）對η求導，導數等于0，見式（5）。

用第1 組和第2 組試驗的熱效率標準不確定度進行表示，見式（6）。

式中：

uA——第1 組試驗獲得的熱效率標準不確定度；

uB——第2 組試驗獲得的熱效率標準不確定度；

N——試驗次數。

式（6）進一步整理得式（7）。

式（7）進一步整理得式（8）。

定義權見式（9）。

式（8）可以進一步寫為式（10）。

如果2 組試驗的熱效率不確定度相等，那么熱效率最佳估計值就是算術平均值，若2 組試驗的熱效率不確定度不一致，則不能使用算數平均值進行平均。從式（9）和式（10）可知，標準不確定度越小，權值越大，熱效率測試結果越接近熱效率的最佳估計值。

當然，式（10）也可以推廣到多組試驗情況，見式（11）。

2 熱效率平均值的不確定度

式（9）可以推廣到多組試驗的情況，見式（12）。

式（12）變形整理，見式（13）。

平均值的標準偏差見式（14）。

則熱效率平均值的標準偏差見式（15）。

進一步整理得式（16）。

這是由于加權平均值ηwav是原測得值η1，η2，……，ηn的函數，因此ηwav的不確定度可以通過誤差傳播的方法計算出來[13]。

3 熱效率不確定度的典型計算示例

以NB／T 47066—2018《冷凝鍋爐熱工性能試驗方法》的附錄中F.10 的冷凝鍋爐反平衡熱效率相關數據作為第1 組數據，假設該臺鍋爐的另一組數據進行計算和比較，具體見表1。

表1 鍋爐熱效率平均值的計算

從表1 可以看出，熱效率的算數平均值為99.28%，熱效率的加權平均值為99.21%，由于第2 組的權重更高，因此熱效率的加權平均值更接近第2 組熱效率。由于2 組熱效率的權重差異不是特別大，因此熱效率的加權平均值雖然更接近第2 組，但仍然有第1 組的影響存在。如果做另外一個假設，第1 組測試的標準不確定度是第2 組的4 倍，具體數值見表2。

表2 鍋爐熱效率平均值的計算（假設）

從表2 可以看出，當第1 組測試的標準不確定度是第2 組的4 倍時，第2 組的權重幾乎是第1 組權重的16 倍，即平方關系。2 組熱效率的加權平均值為99.13%，與第2 組熱效率基本一致，也就是說，當2組測試的標準不確定度相差3 倍以上時，可以不考慮不確定較大的測試組，熱效率的加權平均值就是熱效率測試不確定度權重較高的實測熱效率。

較高的標準不確定度是較低的標準不確定度的倍數關系符合什么條件才可以考慮較高組的測量數值，或者忽略較高組的測量數值。把不同組的標準不確定度與熱效率加權值的標準不確定度的關系作成圖1。從圖1中可以看出，當兩者的倍數關系符合3倍以上時，可以考慮忽略較高組的數值影響。從2 組熱效率測量質量方面考慮，2 組數據的標準不確定度越接近越好，當其相等時，2 組熱效率可以取算數平均值，這是一種極端情況，GB／T 10180—2017《工業鍋爐熱工性能試驗規程》的2 組熱效率取算數平均值就是假設這種極端情況，顯然，這是不合理的，因此在進行2 組熱效率取平均值時，應采用加權平均值。

圖1 標準不確定度的倍數與熱效率加權值的不確定度的關系

4 結論

鍋爐熱效率測試是評價鍋爐能效狀況的主要手段，因此TSG 91—2021《鍋爐節能環保技術規程》規定了鍋爐熱效率限定值的要求。從常用的測試標準可知，鍋爐產品熱效率測試數據取2 次熱效率測試的算數平均值，如果從不確定度的角度分析這是不科學的。因此，本文從理論上分析了熱效率測試結果應是2 組測量的加權平均的可行性，并提出了2 組測量加權平均的計算方法和加權平均值的不確定度計算方法。另外，通過示例分析了2 組測量標準不確定度差異對加權平均值不確定度的影響規律，提出一般2 組標準不確定度的倍數超過3 倍，則可以忽略較高不確定度的測量熱效率，在測量中應盡量減少2 組測量標準不確定度的差值。