構(gòu)造法解決“等差數(shù)列前n項和”問題

袁琰　蘇建偉　喬雅童

摘要：構(gòu)造法的靈活運用，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.本文通過構(gòu)造的方法把“等差數(shù)列求前n項和”的四題轉(zhuǎn)化成求圖形面積的問題，并引用特殊的案例整理出一般等差數(shù)列的求和的思路與方法，以形助數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力.

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列前n項和；等差數(shù)列；構(gòu)造法；圖形面積

數(shù)列指按照確定的順序排列的一列數(shù)，常以“找規(guī)律”的形式出現(xiàn)在小學(xué)與初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，更是高中知識體系的重要組成部分.高中階段主要運用函數(shù)的思想方法研究數(shù)列，通過把數(shù)列看成一類特殊的函數(shù)來探索它們的規(guī)律.大家對于10歲的高斯巧妙求1＋2＋3＋…＋100的故事耳熟能詳，這也引發(fā)人們對等差數(shù)列求前n項和問題的思考，高斯與現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教材采用的都是倒序相加法求等差數(shù)列前n項和.本文采用“構(gòu)造法”給出等差數(shù)列求和的新思路，即從數(shù)形結(jié)合的思想出發(fā)，以形助數(shù)，通過構(gòu)造圖形求面積的方法來解決等差數(shù)列求和的問題［1］，將等差數(shù)列求和的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系.

構(gòu)造法的靈活運用，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，進一步提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析和解決問題的能力.利用構(gòu)造圖形的方法解決等差數(shù)列求和問題，化抽象為具體，提高學(xué)生在數(shù)感和幾何直觀方面的能力.同時學(xué)生通過多種思路去解決實際應(yīng)用問題，提高學(xué)生的抽象思維能力.

1等差數(shù)列求和的特殊案例

本文根據(jù)等差數(shù)列首項與公差的正負情況將其求和問題用以下6個案例來進行構(gòu)造法思想的展示.

1.1首項與公差都等于1的情況

“1+2+3+4+5”，此例的首項與公差都為1.對該例采用構(gòu)造法：“1”表示一個邊長為1的單位正方形的面積、“2”表示兩個單位正方形面積、“3”表示三個單位正方形面積……以此類推［2］；并將所有的單位正方形由首項到末項進行自上而下的擺放：第一層1個、第二層2個、第三層3個、第四層4個、第五層5個，如圖1所示.

此時等差數(shù)列求和的問題化成了求圖1圖形面積的問題，不妨令首項a1=c+d，其中d表示公差，末項為a_n，正方形排列的總層高為h.將圖1中的圖形劃分為如圖2所示的大三角形與小三角形兩個主要部分，其中陰影部分大三角形的面積設(shè)為S₁，剩余所有的小三角形的總面積設(shè)為S₂，整個圖形的面積設(shè)為S.

1.2首項與公差都大于0，且首項為1而公差不為1的情況

“1+3+5+7+9+11+13”，此例首項為1，公差為2.同樣變?yōu)樾≌叫蔚慕M合，令第一層放置1個單位正方形，第二層放置3個單位正方形，第三層放置5個單位正方形……以此類推［2］，可構(gòu)造如圖3所示的圖形.

同理，令首項a₁=c+d，其中d表示公差，末項為an，正方形排列的總層高為h，構(gòu)造圖形的層高與底層長度不一致，對圖3中圖形進行改造得圖4.因為a₁=1，d=2，所以c=-1，因此對圖3先補上一個寬為|c|，長為h的矩形，使陰影部分的正方形與空白部分的正方形各自構(gòu)成新的圖形，最后陰影部分與空白部分的正方形的總面積再減去這個補上的矩形得到構(gòu)造圖形的面積.

1.3首項和公差都大于0，且首項不為1而公差為1的情況

“5+6+7+8+9+10”，此例首項不為1，公差為1.根據(jù)上述思想構(gòu)造圖形如圖5所示.令首項a₁=c+d，其中d表示公差，末項為an，正方形排列的總層高為h，矩形的面積為S₀，大三角形的面積為S₁，剩余所有的小三角形的總面積為S₂，整個圖形的面積為S.因為a₁=5，d=1，所以c=4，對圖5做規(guī)劃如圖6所示.

1.4首項與公差都大于0，且首項與公差都不為1的情況

1.5首項小于0，但公差為1的情況

1.6首項小于0，但公差大于0且不為1的情況

2構(gòu)造法求等差數(shù)列和的一般思路

本文根據(jù)上述特殊案例的圖形構(gòu)造過程，將等差數(shù)列求和按照首項和公差的正負分成以下四種情況，對構(gòu)造圖形求數(shù)列和的思路進行總結(jié)，并結(jié)合等差數(shù)列求和的公式來說明該構(gòu)造法的可行性與真實性.

2.1首項、公差都大于0的情況

2.2首項、公差都小于0的情況

2.3首項小于0，但公差大于0的情況

2.4首項大于0，但公差小于0的情況

3結(jié)語

本文通過構(gòu)造法，將等差數(shù)列求和的代數(shù)問題賦予幾何意義，使數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系.以數(shù)形結(jié)合的方式將四種不同情況下構(gòu)造的圖形的面積來解釋等差數(shù)列求和問題，且每種情況的思路都萬變不離其宗，即求矩形、大三角形和小三角形的面積.雖然這種構(gòu)造方式放在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中并不簡便，但卻給學(xué)生提供一種更加直觀的解題方式，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維與幾何直觀能力.

幾何直觀是將抽象的模型具體化，通過分析問題將題中條件利用圖形進行描述，從而把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，打開解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果［3］，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要能力.“構(gòu)造法”是用一類問題的性質(zhì)去探究另一類問題性質(zhì)的解題方法［4］.學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)是個漫長的過程，需要融入到具體的知識內(nèi)容中，使抽象化的問題具體化，激發(fā)學(xué)生的探究意識，鼓勵學(xué)生從不同的角度去思考數(shù)學(xué)問題；而構(gòu)造法解題的關(guān)鍵是構(gòu)造，其基本思想是轉(zhuǎn)化，也是鼓勵學(xué)生多角度地思考數(shù)學(xué)問題［5］.因此，教師在教授過程中要注意幾何直觀的滲透，通過幾何直觀能力的培養(yǎng)來鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維，讓學(xué)生從特殊的案例中歸納出一般的求解思路，從代數(shù)的抽象知識中感受到幾何的直觀性，建立清晰的邏輯體系，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).參考文獻：

［1］ 戚洪祥.構(gòu)造法解決數(shù)列求和問題［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2021（10）：2123.

［2］ 王彬，吳謙，侯曉婷，李春蘭.基于數(shù)形結(jié)合思想的“等差數(shù)列的前n項和”教學(xué)設(shè)計［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（6）：1723.

［3］ 蘇建偉，李鵬.國內(nèi)幾何直觀研究綜述［J］.海南廣播電視大學(xué)學(xué)報，2017，18（1）：144150.

［4］ 潘光明，高秀軍.構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1992（3）：1820.

［5］ 李紅春.轉(zhuǎn)換視角多聯(lián)想構(gòu)造引出妙法來［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013，32（9）：4446+50.