以動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題為載體助力學(xué)生核心素養(yǎng)提升

楊連軍

摘要：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題屬于綜合性較高的一類幾何問(wèn)題，此類問(wèn)題往往包含很多顯性和隱性的信息，即學(xué)生要通過(guò)問(wèn)題情境的分析，從中發(fā)掘圖形的基本特點(diǎn)并研究隱藏于其中的數(shù)量關(guān)系，這需要學(xué)生具備相應(yīng)的信息分析能力和數(shù)據(jù)處理能力.本文從初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐出發(fā)，探討了以動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題為載體，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的相關(guān)思考.

關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)幾何；課堂教學(xué)；初中數(shù)學(xué)；素養(yǎng)提升在近些年的各地中考試卷中，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題往往會(huì)以壓軸題的形式出現(xiàn).解決此類問(wèn)題需要學(xué)生從動(dòng)態(tài)場(chǎng)景中探明相關(guān)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而明確運(yùn)動(dòng)造成的本質(zhì)影響，對(duì)學(xué)生的能力要求較高.初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)過(guò)程中要站在學(xué)生發(fā)展的角度研究動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)施更有針對(duì)性的探索.

1動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題與學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展

就學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展現(xiàn)狀而言，他們?cè)谔幚韯?dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)感到頗為棘手的原因在于：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題不但要求學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)的幾何知識(shí)和相關(guān)處理技能有較為嫻熟的掌握，更要求學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)思想對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行富有策略性的研究.

實(shí)際教學(xué)中，教師的教學(xué)操作往往是“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”，在基礎(chǔ)知識(shí)或基本技能教學(xué)時(shí)過(guò)分側(cè)重基礎(chǔ)，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想滲透時(shí)，教師又習(xí)慣性地以練代學(xué)，妄圖讓學(xué)生在大量習(xí)題訓(xùn)練中達(dá)成對(duì)相關(guān)思想的理解和感悟，這樣的處理無(wú)異于緣木求魚.唯有將核心素養(yǎng)的種子播撒在課堂上，才能讓核心素養(yǎng)的花朵綻放在學(xué)生的內(nèi)心.在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)體系中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等六個(gè)方面的素養(yǎng)都能在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的研究過(guò)程中得到體現(xiàn).動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題本身就是很好的教學(xué)素材，因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂上，教師要有意識(shí)地將此類問(wèn)題展示給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行分析，不但有助于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本概念和知識(shí)的理解，也能充分訓(xùn)練學(xué)生的思維，推動(dòng)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的發(fā)展.

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的題型比較多樣，可以是選擇題，也可以是填空題，更可以是解答題，且在問(wèn)題設(shè)計(jì)中，由于信息的隱蔽程度的不同或是問(wèn)題的綜合程度不同，題目的難度有可能存在較大差異［1］.因此，教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，讓學(xué)生能夠循序漸進(jìn)地掌握此類問(wèn)題的常規(guī)分析方法.

2動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的特點(diǎn)分析

結(jié)合近些年的各地中考試題分析，筆者發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)幾何主要分為點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、圖形運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，且雖然出題類型沒(méi)有定式，但基本內(nèi)核還是相同的，都需要學(xué)生通過(guò)深入理解題意來(lái)完成信息提取，在動(dòng)態(tài)場(chǎng)景中探索問(wèn)題分析的思路，進(jìn)而把握問(wèn)題的本質(zhì)，在逐級(jí)研究中完成問(wèn)題的解決.

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的首要特點(diǎn)是其問(wèn)題背景往往是特殊化的幾何圖形，問(wèn)題也大多是圍繞圖形的特殊性來(lái)設(shè)計(jì)［2］.因此，在實(shí)際的問(wèn)題解決中，學(xué)生要區(qū)分一般與特殊之間的關(guān)系，進(jìn)而在分析時(shí)能有效把握幾何圖形的特殊性，即特殊的角、特殊的位置、特殊的關(guān)系等等，尤其是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的特殊圖形，比如等腰三角形、直角三角形、全等三角形、線段或面積最值等等.

根據(jù)運(yùn)動(dòng)主體的差異，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題可以分成點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和面動(dòng)等類別，這些問(wèn)題有著這樣的共性：其一，要大量使用數(shù)形結(jié)合思想，是幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)的高度融合，同時(shí)它也能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行探索，并驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)較為核心的數(shù)學(xué)知識(shí)形成理解和掌握，除了數(shù)形結(jié)合之外，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想也頻繁地出現(xiàn)在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的分析中；其二，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題大多以圖形為載體，學(xué)生在分析這些問(wèn)題時(shí)會(huì)有效訓(xùn)練其幾何直觀的能力，在此基礎(chǔ)上學(xué)生將探明隱含在其中的數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)設(shè)定、表述、列式等步驟建立函數(shù)，并且結(jié)合對(duì)函數(shù)的研究分析更深層次的規(guī)律，或者建立方程實(shí)現(xiàn)對(duì)特殊數(shù)量關(guān)系的解析.比如下面一道典型的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.

例如，如圖1所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PC的垂線交AD于E，以PE為邊作正方形PEFG，頂點(diǎn)G在線段PC上，對(duì)角線EG，PF相交于點(diǎn)O.

（1） 若AP＝1，則AE＝_________.

（2） ① 求證：點(diǎn)O一定在△APE的外接圓上；

② 當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)O也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

（3） 在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APE的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到AB邊的距離的最大值.

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)典型的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，問(wèn)題分析的關(guān)鍵信息分別以文字、圖形的方式予以呈現(xiàn).學(xué)生在分析過(guò)程中要有效提取相關(guān)信息，并結(jié)合自己對(duì)相似三角形、圓等基本幾何知識(shí)的認(rèn)識(shí)，有效展開(kāi)探索，最終完成對(duì)問(wèn)題的解決.此外，解題過(guò)程中，學(xué)生需要結(jié)合圖形實(shí)際構(gòu)建輔助線，這顯然也是創(chuàng)造性思維的一種體現(xiàn).

3初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何部分教學(xué)建議

3.1提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種簡(jiǎn)練且抽象的語(yǔ)言，很多問(wèn)題文字不多，卻蘊(yùn)含著大量的信息，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題恰恰如此，學(xué)生在此類問(wèn)題分析過(guò)程中要善于閱讀題中的文字、表達(dá)式、圖形等等，并從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題研究和解決的一系列信息.而學(xué)生的實(shí)際閱讀能力是相對(duì)缺失的，他們?cè)趩?wèn)題分析時(shí)會(huì)將注意力集中到問(wèn)題本身，很難在閱讀過(guò)程中深層次解析隱含在其中的內(nèi)容，這就需要教師在引導(dǎo)學(xué)生分析動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)，要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行閱讀訓(xùn)練，借此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，促進(jìn)他們對(duì)動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的分析效率.

3.2促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟

在以往的教學(xué)中，教師往往會(huì)將教學(xué)的重點(diǎn)落實(shí)在學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握上，隱藏在知識(shí)形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題基本研究思想經(jīng)常被教師所忽視，這在一定程度上也弱化了課堂教學(xué)的效率，制約了學(xué)生的發(fā)展.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題非常強(qiáng)調(diào)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想來(lái)分析和解決問(wèn)題，只有相關(guān)思想運(yùn)用恰當(dāng)，問(wèn)題研究才能切中要害.［3］

比如分類討論的思想，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題經(jīng)常涉及點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同位置時(shí)所出現(xiàn)的不同問(wèn)題場(chǎng)景，如果將這些問(wèn)題混為一談，學(xué)生的思維將徹底被搞混，問(wèn)題解決的進(jìn)程將徹底陷入僵局.在日常教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生在交流中獲得不同角度的分析，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地進(jìn)行分類研究.因此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思想應(yīng)該與學(xué)生主動(dòng)探究的意識(shí)融合在一起，這有助于學(xué)生形成科學(xué)的研究習(xí)慣.

3.3著力培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力

作圖是幾何問(wèn)題研究中的基本處理技能，尤其是在動(dòng)態(tài)幾何的問(wèn)題探索過(guò)程中，很多突破口的發(fā)現(xiàn)都是建立在有效作圖上.恰當(dāng)?shù)刈鲌D可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，化動(dòng)為靜，讓抽象幾何問(wèn)題變得更直觀.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師要提醒學(xué)生不能讓學(xué)習(xí)止步于作圖，還要能寫出畫法，且能用規(guī)范而科學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表述作圖的基本思路，這些操作可以促使學(xué)生深層次思考，且能幫助他們完成對(duì)相關(guān)技能的總結(jié).

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)課堂上，教師要立足學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，有效轉(zhuǎn)變觀念，尤其是在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，要著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).參考文獻(xiàn)：

［1］ 王濱.從實(shí)踐中感悟 從定性到定量——“中考動(dòng)態(tài)幾何專題復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（10）：8283.

［2］ 吳華，周玉霄.變易理論驅(qū)動(dòng)下的動(dòng)態(tài)幾何“變中不變”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（6）：2629.

［3］ 高思遠(yuǎn).關(guān)注動(dòng)態(tài)過(guò)程，數(shù)形分類轉(zhuǎn)化——對(duì)一道動(dòng)態(tài)幾何題的探究與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（4）：5253.