矩陣教學中觀察能力培養探析

陳思彤

摘要：矩陣理論的教學是線性代數教學中重要的組成部分，它幾乎貫穿線性代數教學的始終.矩陣概念、性質、法則、公式、定理等內容的學習離不開一種心理現象，即對矩陣知識的觀察與理解.觀察是認識矩陣的基礎，亦是矩陣學習過程中邏輯思維形成的觸角.在矩陣教學中，強調觀察矩陣和行列式的區別與聯系及二者不同的應用領域、觀察矩陣秩和逆的常見求法、觀察考研矩陣證明題的常見題型等意義重大.為此，矩陣教學中觀察能力的培養秉承五性，即秉承觀察的習慣性、目的性、方法性、全面性、深刻性尤為重要.

關鍵詞：矩陣；教學；大學數學

矩陣知識在線性代數中占有十分重要的地位，矩陣的概念、運算、逆矩陣、分塊矩陣、初等變換、矩陣秩及矩陣在實際中的應用等尤為重要.高校數學教師在傳授上述知識時，一方面要做到全面準確掌握這些知識，另一方面要運用高等教育學、心理學知識去發掘學生的潛能，開發智力與非智力因素.憑著筆者的教學經驗，矩陣知識的學習離不開一種重要的心理現象，即對矩陣特征的觀察.觀察是認識矩陣的基礎，只有充分觀察矩陣，才能更好地解答各類矩陣問題，下面從六個方面進行探討.

1觀察矩陣和行列式的區別與聯系

線性代數的第一章一般是行列式，第二章為矩陣.學生學完矩陣一章后一定要觀察歸納出矩陣與行列式的區別與聯系，只有這樣才能更好地學習后幾章知識.

1.1矩陣與行列式的區別

矩陣是一個數表，行列式是一個由數表給出的代數和式.矩陣的行數和列數可以不同，行列式的行數與列數必須相同，在教學過程中必須使學生理解以下幾個不同.

① 運算結果不同.矩陣是一個數表，只有方陣才可以定義它的行列式，而對于長方形矩陣不能定義它的行列式.兩個矩陣相等是指對應元素都相等；兩個行列式相等，不要求對應元素都相等，甚至階數也可以不一樣，只要運算的結果（代數和）一樣就行了.

② 運算性質不同.兩矩陣相加是將對應元素相加；兩行列式相加，是將運算結果相加.數乘矩陣是指某數乘以矩陣的每一個元素；而數乘行列式的某一行或列相當于此數乘以原行列式.

③ 變換后的結果不同.矩陣經初等變換，其秩不變；行列式經初等變換，其值可能會改變，它的改變可歸納為：換法變換要變號，倍法變換差倍數，消法變換不改變.

1.2矩陣與行列式的聯系行列式可看作一個行數與列數相等的矩陣（即方陣）的行列式，行列式是方陣的一種屬性.

2觀察矩陣與行列式不同的應用領域

矩陣是線性代數中最核心的理論，它常見于統計分析等應用數學學科中.例如：企業投入產出分析模型，人口遷移的動態分析，編制希爾密碼等.物理學中，矩陣在電路學、力學、光學和量子物理中都有很好的應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣理論.行列式可以看作是有向面積或體積的概念在歐幾里得空間中的推廣，或者說，在歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響［1］.

3觀察矩陣求秩常見的兩種方法

3.1找非零子式的最高階數

3.2初等變換化為行階梯形矩陣

4觀察理解求矩陣逆常見的三種方法

4.1待定系數法

4.2伴隨矩陣法

4.3初等變換法

5觀察考研矩陣證明題中常現的題型例

6矩陣教學中觀察能力的培養秉承五性

6.1激發學習興趣，培養觀察的習慣性

興趣是最活躍、最現實的心理成分，是一種帶趨向性的心理特征.托爾斯泰說過：“成功的教學所需要的不是強制，而是激發學生的興趣.當學生的某種事物發生興趣時，他們就會主動地、積極地去觀察、去探究.”［4］矩陣教學中，針對概念、性質、定理、公式、法則應用等均可精心備課，激發學生的興趣，促進教學質量的提升.矩陣教學中，偶然做到激發學生觀察的興趣不難，但要長期形成興趣與觀察習慣確實很不容易.貝費里奇說：“培養那種以積極的探究態度關注事物的習慣，有助于觀察力的發展.在研究工作中養成良好的觀察習慣比擁有大量的學術知識要重要，這樣說法并不過分.”［5］一個學生或教師有了持久的觀察興趣并養成習慣，他能觀察過程中所遇到的各種障礙和困難，把觀察進行到底.

6.2引導學生感知，培養觀察的目的性

觀察的效果取決于觀察目標的任務的明確程度.在矩陣教學中，教師引導學生觀察必須要確立明確的目標，使感知圍繞著目的任務.例如，在分塊矩陣學習中，首先要明確將矩陣分塊，然后運用性質求出結果.

6.3注重學習策略，培養觀察的方法性

矩陣教學前，首先要教育學生做好必要的知識準備.例如，矩陣與前面所學行列式有何區別與聯系.其次要指導學生有計劃、有步驟地進行觀察，在指導求逆矩陣和求矩陣的秩的各種方法步驟時，注重引導學生在觀察時善辨多思；在探究考研矩陣證明題的題型時，一定要注意搜索每一個細節，多角度剖析題目.最后還要指導學生做好觀察總結.

6.4講究觀察程序，培養觀察的全面性

矩陣教學中，針對某種問題，如能根據觀察的目標抓住對象的組成特點，遵循對象的內在規律來確定某種觀察程序，就能幫助我們全面揭示問題的本質.例如，伴隨矩陣法就要求有明確的觀察程序.

6.5發掘隱含條件，培養觀察的深刻性

在矩陣教學中，概念理解題、定理、公式、法則及應用題、矩陣的各種解答或證明題的題目本身存在隱含條件，教學中要不斷培養學生由表及里，綜合分析題目已知與未知的關聯，發掘問題本質等的能力.要做到這一點，最重要的是通過精選例題，認真講解，讓學生觀察總結，形成一種學習習慣和方法，經過有效訓練，學生解決問題定會變得更精準、更深刻.

綜上所述，培養學生良好的觀察品質應從上述五個方面入手，這五個方面是一個統一的整體，它們相互依存、相互促進、相互補充，在矩陣教學中要全面安排，統籌兼顧，全面培養.參考文獻：

［1］ （美）Lay D. C.著.劉深泉，等，譯.線性代數及其應用［M］.北京：機械工業出版社，2016.

［2］ 湖南工商大學高等數學教研室主編.線性代數［M］.武漢：華中師范大學出版社，2019.

［3］ 湯家鳳.2023考研數學接力題典1800［M］.北京：中國政法大學出版社，2021.

［4］ 黃超文.教育心理學［M］.北京：北京教育出版社，2019.

［5］ 曾軍良.高效學習方略［M］.北京：人民出版社，2014.