考慮區間疊加不確定間隙的空間可展機構動力學研究

孟凡斌，張渤洋，侯月婷，王震南

（1.天津大學 精密儀器與光電子工程學院，天津 300070；2.河北工業大學 機械工程學院，天津 300401；3.天津航天機電設備研究所 天津市微低重力環境模擬技術重點實驗室，天津 300301；4.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

空間展開機構［1-2］高精度展開是衛星天線［3］、太陽能列陣［4］等航天部組件穩定運行的前提。但是受設計公差、加工和裝配誤差，以及部組件運行過程中間隙接觸、擠壓、摩擦造成的關節變形等［5-6］因素影響，間隙大小呈現區間不確定現象，造成系統動力學特性難以精確預示的問題。在含區間不確定的多體系統動力學建模過程中，將不確定參數［7-9］認定為隨機變量與區間變量，是研究含不確定參數多體系統動力學常用方法。其中，將不確定參數認定為隨機變量常采用蒙特卡洛方法或者多項式混沌展開逼近方法［10］。由于航天機構場地與成本的限制，無法進行大量試驗來補充試驗數據庫，采用傳統的不確定性分析模型對空間展開機構整體進行可靠性分析難以實現。為解決小樣本航天機構中認知不確定分析問題，將航天機構中不確定參數進行處理。

針對區間不確定量化［11-12］方法，對代理模型［13］（包括多項式模型）、Kringing 模型以及神經網絡［14-17］等進行量化分析，其中通常選取多項式模型為代理模型。WU 等［18］利用泰勒多項式展開與子區間技術相結合的方法與切比雪夫區間方法研究了含區間參數多體系統的響應分析，從而有效避免區間誤差疊加導致長時間計算精度不準的問題，降低含區間參數求解中的“過度估計”。鄧漢卿［19］針對空間展開索網天線對機構自由度進行分析，通過運動螺旋系提出廣義機構的逆運動綜合方法，并給出展開天線的測地線索網生成方法。肖劍［20］基于極限狀態函數、有限元方法與反向傳播（Back Propagation，BP）神經網絡，提出針對空間展開繩系的高精度全局代理模型。XIANG 等［21］基于切比雪夫區間求解方法對考慮不確定間隙參數與旋轉關節摩擦系數的多體系統進行了靈敏度分析，彌補了預測與測量之間的偏差，提高了機構響應參數變化的靈敏度。MA 等［22］建立了基于實驗擬合參數的改進薄層單元（TLEs）方法來模擬界面上接頭的動態特性，并基于切比雪夫多項式分析了含區間參數轉子系統的時域響應。

然而，上述分析方法在進行不確定性分析時，由于區間參數取不同樣本點時，得到的動力學響應出現不同的頻率與相位差，且隨著時間的增大而逐步擴大，導致瞬時相位累積效應。由此，CUI 等［24］結合不確定分析方法與信號分解，將系統的時域響應分解為若干振動項與趨勢項的疊加，并在每一時刻下建立相應代理模型，解決了傳統不確定分析長時域信號瞬時相位累積效應。

本文通過對不確定間隙進行描述，結合傳統接觸模型提出含不確定區間間隙接觸模型，并將其嵌入系統動力學模型，通過切比雪夫擴張函數對含不確定區間系統動力學模型進行求解，提出一種相適應的局部均值分解方法、瞬時疊加方法與區間擴張方法進行區間疊加處理，揭示系統區間累加下動力學響應邊界分布規律。

1 不確定間隙描述

在傳統含間隙多體系統動力學分析過程中，普遍將間隙認定為旋轉關節孔半徑與軸半徑的相減，推導過程基于初始最大間隙所得。在展開機構運轉過程中，由于多間隙的耦合作用，針對旋轉關節間隙處發生接觸碰撞-碰撞分離-再次碰撞的運動過程中的碰撞分離過程，旋轉關節產生碰撞分離過程并不是每次都可以到達初始間隙最大值再次發生下次碰撞，如圖1 所示。每一次發生接觸碰撞的初始間隙是一個不確定量，其不確定長度可以表示為

圖1 旋轉關節軸心任意時刻位置Fig.1 Diagram of the position of the axis of the rotary joint at any moment

式中：ΔRx為旋轉關節初始間隙不確定量橫向投影距離；ΔRy為旋轉關節初始間隙不確定量縱向投影距離。

將旋轉關節間隙與相連接的連桿長度簡化為開環機械臂兩段，利用歐氏運動群上的卷積探究開環機械臂的運動傳播問題，給出兩端機械臂運動工作空間密度為ρ1(g)與ρ2(g)，g=(R，x)∈SE(n)，對這2 個工作空間密度進行卷積，得到整體機械臂運動范圍密度為

式中：SO(n)為機械臂橫向運動區域量，R為全域量。

在旋轉關節運轉空間環境中，假設間隙角θ在運轉角度[0，2π]內均勻分布：

間隙角θ在X方向累計分布函數可以表示為

同理，間隙角θ在Y方向累計分布函數可以表示為

對間隙角在X與Y方向上的累計分布函數分別求導，可得間隙角在X與Y方向上的概率密度函數ρx與ρy：

利用歐氏運動群上的卷積公式對式（6）與式（7）間隙角概率密度函數進行卷積積分，可得間隙角末端點在間隙圓內分布概率密度函數為

根據卷積在Rn的性質，可以得到

結合式（9）與式（10），間隙角末端點分布概率密度函數均值μ與σ可表示為

式中：Qn為n×n的單位矩陣。

對于運動范圍不受限制的旋轉關節，其間隙角末端點分布可能為間隙圓內任意一點，根據中心極限定理與迭代關系，利用高斯概率函數構建間隙角末端點在X方向與Y方向分布概率密度函數：

結合式（13）與式（14）間隙角末端點在X方向與Y方向分布概率密度函數，可得間隙角末端點全域聯合分布概率密度函數為

在不考慮嵌入量的情況下，間隙角末端點分布最大值為間隙圓邊界ΔR，因此在考慮機構運動行程與分布區間大小，給出間隙角末端點在間隙圓概率分布密度函數：

2 含不確定機構動力學建模

在考慮實際接觸過程中，隨著空間展開機構多單元的疊加特點，導致不同位置處的間隙為一未知量。通過對不同位置處間隙采用區間變量的形式進行統一描述，對空間展開機構進行高精度建模分析。

根據Winkler 彈性基礎模型［25］，接觸體在接觸位置產生一定變形，如圖2 所示，接觸區域徑向位移與最大法向穿透深度的關系滿足剛性接觸體的幾何邊界條件，其變形量可表示為

圖2 接觸體二維接觸模型Fig.2 Two-dimensional contact model for contact bodies

式中：R1、R2分別為接觸體半徑；ΔR為初始間隙；φ為半接觸角度。

軸孔接觸模型半接觸角度φ處的法向接觸應力為

式中：E為接觸體彈性模量；c為接觸區域彈性層厚度。

在接觸區域上任取一彈性微元，對式（18）在半接觸區域內進行積分，r由于軸孔初始間隙ΔR和軸孔嵌入量δ均遠小于軸半徑R1，接觸點與固定坐標系原點之間的距離近似于接觸體半徑R1。則接觸區域承受的接觸力為

將式（17）代入式（19），忽略高階項，接觸域單位接觸長度接觸力為

結合圖1 旋轉關節在發生三接觸狀態的過程中，其每一次碰撞點初始位置都不盡相同，導致接觸體瞬時接觸力產生差異。其考慮不確定區間間隙的接觸力模型可進一步表示為

式中：[ΔR]為不確定初始間隙值，結合式（16）可表示為[R]=R2-R1-|f(x)|。

采用拉格朗日方程對空間展開機構進行動力學建模，空間展開機構展開單元動力學方程可表示為

式中：L為拉格朗日函數，定義為空間展開單元動能與勢能的差值；φi為廣義坐標；Fi為廣義坐標對應的廣義力；[Fc]為接觸體的接觸力。

3 考慮不確定參數切比雪夫求解方法

切比雪夫區間分析方法作為應用最為廣泛的非嵌入式多體系統動力學解算分析方法，采用切比雪夫函數進行區間求解，不僅在計算含區間不確定的多體系統動力學方程時有較高的計算精度，而且其擴張函數對考慮不確定間隙導致系統動力學方程維度增加時，區間計算產生的累加效應能夠起到一定的抑制作用，可以用作較長時間分析含區間不確定的多體系統動力學響應特性。

3.1 切比雪夫擴張函數

基于Weierstrass 理論，在定義區間[a，b]上連續函數采用多項式的形式逼近，對于一維問題，在定義區間[a，b]上的p階切比雪夫級數為

式中：變量x∈[a，b]且θ∈[0，π]。

對于一維單變量連續函數f(x)∈[a，b]可用切比雪夫擴張函數近似表示為

式中：fi為多項式的系數。

將每一個一維多項式表示為張量積，從而給出n維切比雪夫多項式定義為

多元函數f(x1，x2，…，x n)用n次切比雪夫多項式近似可表示為

式中：fj1，j2，…，jk為n次多元函數的系數，基于Mehler 積分可知

式中：m為多項式插值點數，一般取m=p+1 可保證近似精度。

綜上所述，含區間不確定性的空間展開機構動力學方程，可通過切比雪夫多項式的形式，構建響應函數的代理模型，并采用區間計算的方法計算系統動力學方程的區間解。

3.2 切比雪夫擴張函數求解方法

本節針對多體系統動力學模型，提出切比雪夫擴張函數對動力學模型進行求解，通過切比雪夫正交多項式構建代理模型，完成對動力學模型求解，切比雪夫求解流程如圖3 所示。

圖3 切比雪夫求解動力學方程流程Fig.3 Flow chart of Chebyshev dynamic equation solving

在圖3 中，n為含區間間隙空間展開單元動力學方程維數，y0為動力學響應初始值，t0為初始時間，tend為結束時間；h為切比雪夫區間求解的迭代步長；k為切比雪夫多項式階數。

采用切比雪夫多項式構建含區間間隙空間展開單元動力學方程代理模型時，將具有含不確定區間參數的空間展開單元動力學方程，轉換為僅具有特定區間參數的動力學方程并進行求解，根據多個所求數值解構造切比雪夫代理模型，基于區間算法來計算含不確定區間參數的空間，展開機構動力學方程的區間解。其區間解可用如下形式表示：

式中：yj+1為tj+1時刻含不確定區間參數的空間展開單元動力學方程數值解；y(tj)為tj時刻插值點處含不確定區間參數的空間展開單元動力學方程數值解。

4 小區間疊加方法

針對區間求解方法中區間疊加誤差過大問題、分解的小區間整合成大區間的問題與啟動階段估計不準問題，提出局部均值分解方法、瞬時疊加方法與區間擴張方法，為提高切比雪夫求解精度大區間分解的小區間整合成大區間下的區間邊界，并再此基礎上降低啟動階段估計精度。通過小區間累加方法在切比雪夫求解方法上進行進一步處理，獲得較高精度區間邊界值。

4.1 局部均值分解方法

針對切比雪夫區間求解方法區間疊加導致誤差累積效應，在長時域內求解僅保持短時間有效的缺點，對切比雪夫求解獲得動力學響應邊界(ω，t)采用局部均值分解的方法，將響應邊界分解為若干個響應幅值與響應相位乘積之和的形式，對動力學響應邊界(ω，t)中響應幅值a(ω，t)與響應相位φ(ω，t)建立代理模型，解決傳切比雪夫區間求解方法相位累計效應問題。其中響應幅值通常是緩變甚至單調的信號，響應相位指幅值為1 的函數，代理模型指計算結果與原模型非常接近，并便于求解的模型。

具體步驟如下：取初始殘差函數ri(t)等于初始動力學響應邊界(ω，t)，提取初始動力學響應邊界中的極大值點ai與極小值點bi，對提取的所有極大值點ai進行局部均值擬合，得到上包絡線vi(t)；同理，得到下包絡線ui(t)，將上包絡線vi(t)與下包絡線ui(t)進行瞬時均值處理，得到動力學響應邊界瞬時均值ci(t)為

動力學響應瞬時幅值函數在時域內累加可表示為

動力學響應瞬時相位函數在時域內累加可表示為

對初始信號全部采樣點處理完成后，φi(t)在時域內累加構建為動力學區間響應相位ψi(t)，ci(t)時域內累加構建為動力學區間響應幅值Ci(t)，將動力學區間響應幅值函數與動力學區間響應相位函數相乘，可得第i階乘積函數動力學區間響應代理模型PFi(t)：

新的殘差函數ri(t)可表示為

綜上所述，通過局部均值分解方法，將動力學區間響應邊界分解為動力學響應幅值函數與動力學響應相位函數乘積之和的形式，具體表達形式為

4.2 瞬時疊加方法

基于上節提出的局部均值分解方法，結合傳統響應面分析方法，提出多體系統動力學瞬時疊加方法，對切比雪夫區間求解過程中大區間分解后的小區間進行疊加，獲得初始區間下系統動力學響應邊界，具體可分為以下步驟。

1）輸入動力學響應邊界、不確定間隙[r]，在不確定間隙[r]中選取n個樣本，記作：r1，r2，…，rn，n為樣本序號，n個不確定參數對各樣本對應的時域內響應分別為x(r1，t)，x(r2，t)，…，x(rn，t)。

2）采用4.1 節提到的局部均值分解方法，將時域內的不確定參數樣本響應分解為n個動力學響應幅值函數與動力學響應相位函數乘積之和與相對應的殘差函數。其中分解結果如下：

3）在每一時刻下，基于多項式函數擬合建立切比雪夫區間求解響應的瞬時響應幅值函數與瞬時響應相位函數，以及殘差函數的代理模型，得到相應代理模型，分別逼近真實解。

4）計算每一時刻下，動力學響應邊界分解的瞬時響應幅值函數代理模型與瞬時響應相位函數代理模型的耦合形式

5）在耦合形式代理模型中加入殘差函數代理模型，計算完成形式的代理模型，得到完全的諧波疊加形式的代理模型為

6）計算代理模型上邊界與下邊界。如圖4所示。

圖4 瞬時疊加方法流程Fig.4 Flow chart of the instantaneous superposition method

4.3 區間延拓方法

在切比雪夫區間求解過程中，在啟動階段出現區間求解誤差較大問題，啟動階段前沒有相對應的區間與啟動階段進行關聯，單一區間求解狀態下容易出現誤差較大的情況。啟動階段以前，區間通過余弦拓展方法進行擴張，在求解過程中啟動階段有2 個甚至多個區間聯合求解，解決啟動階段區間誤差較大問題。

通過切比雪夫區間求解獲得系統動力學響應邊界以后，可以根據零點附近動力學響應變化趨勢，在動力學響應零點以前區間增加相應的相位、幅值與頻率適當的余弦延拓函數，使動力學響應區間代理模型可以在零點處有更多區間與相應響應邊界函數，從而提高啟動階段所得上下包絡線精度，余弦延拓函數及參數定義如下：

式中：ci(t)為代理模型瞬時幅值函數；φi(t)為代理模型瞬時相位函數；ri為代理模型誤差；Ti為延拓周期數，在數值上等于延拓周期與相鄰極大值與極小值之前時間差的n倍。

通過上述余弦延拓方法，可保證代理模型在展開過程任意有效時域內都有相鄰區間關聯求解，從而降低啟動過程中單一區間求解帶來的動力學響應區間邊界誤差。

5 系統區間累加動力學響應邊界分析

以平板式合成孔徑雷達（Synthetic Aperture Radar，SAR）天線展開機構為研究對象，如圖5 所示，通過區間求解來分析區間間隙對空間展開天線展開過程的動力學特性影響，選取區間間隙大小為［0.01，0.1］ mm，連桿剛度系數為5×105N/m，動摩擦系數為0.1。

圖5 空間展開機構仿真Fig.5 Simulation schematic of the spatial unfolding mechanism

多體系統動力學特性邊界計算流程如圖6 所示。對多體系統旋轉關節間隙進行不確定參數量化取值，將所得區間值代入區間接觸模型進行計算并嵌入到含不確定間隙多體系統動力學模型，通過切比雪夫擴張函數進行求解，并對所得結果通過小區間疊加的區間處理方法進行處理，得到動力學特性邊界。

圖6 多體系統動力學特性邊界計算流程Fig.6 Flow chart of the dynamics boundary calculation for multi-body system

［0.06，0.1］ mm 區間間隙標記點小區間疊加區間結果與切比雪夫區間計算對比如圖7 所示。對區間計算結果進行區間劃分，并統計每個區間下概率密度，同時由區間計算給出該間隙下標記點誤差分布區間。采用小區間疊加方法可明顯降低區間邊界處由代理模型長時域區間迭代產生的誤差累計效應。將區間疊加計算平均結果與傳統擬合結果進行對比如圖8 所示，由圖8 可知在［0.06，0.1］ mm間隙下區間疊加計算平均結果與傳統擬合結果相比提高7.74%，［0.03，0.06］ mm 區間疊加計算平均結果與傳統擬合結果相比提高3.73%，可進一步提高空間可展機構展開預示精度。

圖7 ［0.06，0.1］ mm 區間間隙標記點區間結果與區間計算結果對比Fig.7 Comparison of the interval results of the marked gap points with interval calculation results in the［0.06，0.1］ mm interval

采用局部瞬時分解方法、瞬時疊加方法與區間擴張方法對不同區間間隙大小與數量下區間邊界進行處理，得到大區間下位移偏差區間分布狀況，如圖9 和圖10 所示。

圖9 不同間隙大小下疊加區間邊界Fig.9 Boundaries of the stacking intervals with different gap sizes

圖10 不同區間間隙數量下疊加區間邊界Fig.10 Boundaries of the stacking intervals with different gap numbers

由圖9 可知，隨著間隙區間的增大，系統位移偏差基準值出現逐漸增大的趨勢，但是區間范圍擴張并不明顯。由圖10 可知，小區間疊加方法可以有效解決小區間與大區間之間的轉換、區間累加效應與邊界估計不準的問題。隨著生效區間間隙數量的增多，系統位移偏差基準值趨于穩定，但是區間范圍產生明顯增大。說明間隙大小對系統運動精度產生較大影響，而間隙數量對系統運動穩定度影響較為嚴重，在對空間展開機構展開過程分析中間隙對系統的影響時，不僅要合理控制各旋轉關節間隙大小，同時還要關注由于多級機構疊加從而導致系統間隙數量倍增的狀況。

6 結束語

針對空間展開機構動力學響應預示不準問題，基于不確定區間間隙改進傳統共形接觸模型，并構建含區間不確定空間可展機構動力學模型，提出一種相適應的切比雪夫區間求解方法。得到主要結論如下：

1）針對區間求解過程中區間疊加誤差過大、區間整合困難與啟動階段估計不準等不足，分別提出局部均值分解方法、瞬時疊加方法與區間擴張方法。

2）區間間隙大小主要對系統運動精度產生較大影響，而區間間隙數量對系統運動穩定度影響較為嚴重。

3）區間疊加方法相比于傳統擬合方法可進一步提高空間可展機構預示精度，相較于傳統擬合結果可提高7.74%。