文化融匯：賦數(shù)學(xué)課堂以深度生長

☉李 倫

數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是數(shù)學(xué)文化的教育。對于課程編撰者而言，數(shù)學(xué)課程需要梳理數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生歷程的脈絡(luò)，合理取舍社會(huì)生活應(yīng)用、數(shù)學(xué)史、科學(xué)技術(shù)、數(shù)學(xué)美學(xué)等數(shù)學(xué)文化內(nèi)容。對于數(shù)學(xué)教育專家而言，數(shù)學(xué)教育需要彰顯數(shù)學(xué)文化價(jià)值，擴(kuò)大受教育者的數(shù)學(xué)視野，弘揚(yáng)人文精神，尋繹數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)通達(dá)教育形態(tài)的文化向度。對于數(shù)學(xué)教師而言，數(shù)學(xué)教學(xué)需要根植文化沃土，用數(shù)學(xué)文化的視角審視現(xiàn)實(shí)世界，助推學(xué)生理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，培育數(shù)學(xué)精神。

一、互鑒：以《大數(shù)的分級和分節(jié)》為例

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四（下）的《認(rèn)識多位數(shù)》和人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四（上）的《大數(shù)的認(rèn)識》兩個(gè)章節(jié)對《數(shù)的分節(jié)和分級》相關(guān)數(shù)學(xué)文化知識都進(jìn)行了介紹。

一般而論，數(shù)位的讀法因民族傳統(tǒng)文化不同而呈現(xiàn)差異樣態(tài)。基于漢語的漢藏語系數(shù)位基數(shù)為四，即“四位一級”。個(gè)、十、百、千（個(gè)級計(jì)數(shù)單位）；萬、十萬、百萬、千萬（萬級計(jì)數(shù)單位）；億、十億、百億、千億（億級計(jì)數(shù)單位）……由此可知，個(gè)、萬、億、兆相對應(yīng)的數(shù)位為第1、5、9、13，差值為4。其讀法為幾兆幾億幾萬幾。而基于拉丁語的印歐語系數(shù)位基數(shù)為三，即“三位一節(jié)”。個(gè)、十、百（第一節(jié)計(jì)數(shù)單位）；千、十千、百千（第二節(jié)計(jì)數(shù)單位）；百萬、十百萬、百百萬（第三節(jié)計(jì)數(shù)單位）……其中個(gè)、千、百萬、十億所代表的數(shù)位分別為第1、4、7、10，差值為3。其讀法為幾十億幾百萬幾千幾。兩種規(guī)則下的讀法不同，用符號寫數(shù)則一致。可見，利用數(shù)位符號的數(shù)字系統(tǒng)留存了語言符號系統(tǒng)的合理內(nèi)核。

蘇教版和人教版都將三位分級法編入教材，作為教學(xué)四位分級法的補(bǔ)充與參照。但是，以“千”“百萬”為基礎(chǔ)的國際單位，與中國以“萬”“億”為單位的固有文化傳統(tǒng)之間存在對應(yīng)沖突。教師在教學(xué)長度單位（千米與米）、質(zhì)量單位（千克與克）和容積單位（升與毫升）進(jìn)率時(shí)，能否關(guān)聯(lián)國際通用的數(shù)的三位分節(jié)與以“千”為單位的進(jìn)率進(jìn)行反思［1］？為消弭學(xué)生思維困惑，能否探尋出一條讓我國傳統(tǒng)文化與國際規(guī)則接軌、互鑒的路徑，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化更順暢的銜接和融合？

二、向度：由史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)

基于教材中《大數(shù)的分級和分節(jié)》個(gè)案分析，可見傳統(tǒng)文化中的度量衡制與國際公制接軌有其現(xiàn)實(shí)的必要性，亟須剖析數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)內(nèi)涵來觀照其表現(xiàn)形態(tài)。數(shù)學(xué)文化涵括學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化、課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化和學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化三種。要發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值，必須將數(shù)學(xué)家研究的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)教育專家編撰的課程形態(tài)和學(xué)生可以接納重組的學(xué)習(xí)形態(tài)［2］。

（一）學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化

在數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的原始記錄及歷史形態(tài)，稱為學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化。其研究主體為數(shù)學(xué)家，凸顯真實(shí)性。數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展形成的危機(jī)和社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐遭遇的難題往往是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉。學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化就表現(xiàn)在數(shù)學(xué)家創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程中對這些難題的具體破解和危機(jī)的逐步化解，以及從中映射出卓絕探索的精神品格。

學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化還兼具嚴(yán)謹(jǐn)性與客觀性特征。數(shù)學(xué)的發(fā)展，是遵循一定范式，在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行嚴(yán)格推理產(chǎn)生的。遵循范式就能演繹出相同的結(jié)論，不會(huì)因人而異，因時(shí)而變。而推理必須邏輯自洽、無懈可擊。邏輯自洽展示數(shù)學(xué)客觀性的一面，這就是數(shù)學(xué)確定性特質(zhì)。

（二）課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化

按邏輯體系陳述于教材上的數(shù)學(xué)知識，抑或發(fā)表在數(shù)學(xué)雜志上的研究成果，稱為課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化。其研究群體為課程專家，凸顯教育性。在課改進(jìn)入深水區(qū)的當(dāng)下，課程建設(shè)顯得格外重要。課程形態(tài)的數(shù)學(xué)文化需要重新定位課程目標(biāo)價(jià)值指歸，聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育，并依托數(shù)學(xué)課程來承載數(shù)學(xué)文化。

課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化還兼具接受性與理解性特征。需基于學(xué)生的知識背景和年齡特點(diǎn)，恰當(dāng)甄選教學(xué)內(nèi)容，思忖呈現(xiàn)方式，直觀形象地推介數(shù)學(xué)的思想方法、問題與觀念等。例如蘇教版教材中精選的65 處“你知道嗎”，就易于學(xué)生理解和接納，能有效激發(fā)其好奇心與學(xué)習(xí)興趣。

（三）學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化

基于師生理解學(xué)習(xí)的視角，在課堂及教室等特定教學(xué)時(shí)空內(nèi)發(fā)生的數(shù)學(xué)文化傳遞活動(dòng)，稱為學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化。其研究樣本為師生，凸顯動(dòng)態(tài)性。教師依托現(xiàn)實(shí)學(xué)情，通過深入解讀課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化開展教學(xué)設(shè)計(jì)，課程內(nèi)容的甄選靈活自主，內(nèi)容的設(shè)計(jì)亦可融入智慧再創(chuàng)造。

學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化還兼具開放性與情境性特征。教師需將課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化轉(zhuǎn)化為適合課堂教學(xué)的學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)受典型數(shù)學(xué)問題與特定問題情境影響，而創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境可以支撐學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題。學(xué)生對相同問題及情境的判斷或建構(gòu)迥異，源自知識背景和生活經(jīng)驗(yàn)的差異［3］。

數(shù)學(xué)文化的三種形態(tài)關(guān)系，其中學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化是根基，為課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化與學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化提供支撐，能夠幫助學(xué)生“感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)”。課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化是中間紐帶，聯(lián)結(jié)學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化與學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化的兩端，能夠“激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣”。而學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化則是終極目標(biāo)，是學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化和課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐指南，能夠促進(jìn)學(xué)生“欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美”，進(jìn)而“幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用”。

三、變式：數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)的螺旋之階

數(shù)學(xué)文化唯有滲透在課堂教學(xué)中，才能敞亮文化韻味，彰顯育人價(jià)值。我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育以“雙基”見長，而注重“變式”教學(xué)則是“雙基”教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵特征。《九章算術(shù)》流露出“問題解決”的現(xiàn)實(shí)主義數(shù)學(xué)文化特質(zhì)，根據(jù)問題“以類合類”進(jìn)行編排，強(qiáng)調(diào)不變元素（雙基）和變易元素（變式）的設(shè)計(jì)模型，滲透在文化上則可以追溯到《易經(jīng)》。簡易、變易和不易，詮釋了“易”的三種不同質(zhì)態(tài)或?qū)蛹墸N(yùn)含變與不變的哲學(xué)思辨。

（一）簡易——一題多解，變中求不變

大道至簡，簡易蘊(yùn)含問題本質(zhì)。在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需回歸原點(diǎn)設(shè)計(jì)最基本的數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)原型問題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系條件與問題，概括數(shù)量關(guān)系，聚焦題目中隱含的“不變量”（單位量），最終找尋出解決問題的不同策略。

【教學(xué)片段】

（1）教學(xué)例2。

學(xué)生自學(xué)例題，思考問題。

提問：這道題的已知條件與所求問題分別是什么，你能嘗試通過列表表示出來嗎？

引導(dǎo)：同學(xué)們，誰說一說表中的數(shù)量排列存在怎樣規(guī)律？

明確：每2 小時(shí)水位下降12厘米，即每小時(shí)水位下降6 厘米。水位下降的速度保持不變。

（2）歸納數(shù)量關(guān)系。

要求：小組合作，聯(lián)系條件與問題分析題意，概括數(shù)量關(guān)系，并列出算式。

分組匯報(bào)解題思路與算法：

從條件想起或從問題想起：12÷2 ＝6（厘米），120÷6 ＝20（小時(shí)）；

比較水位下降的關(guān)系：120÷12 ＝10，2×10 ＝20（小時(shí)）；

參照數(shù)據(jù)排列規(guī)律：按數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律列舉下去，可得水位下降120 厘米需20 小時(shí)。

列表整理信息凸顯了“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想。復(fù)雜問題簡單化，學(xué)生便能清晰地發(fā)現(xiàn)“每2 小時(shí)水位下降12 厘米”這一關(guān)鍵信息。伴隨“時(shí)間”變化，“水位下降”也相應(yīng)變化。在此過程中，學(xué)生能感知并探尋出“時(shí)間”與“水位下降”之間隱藏的不變規(guī)律，即緊緊把握住“水位下降的速度”不變這一本質(zhì)，并且圍繞“不變”達(dá)成“一題三解”的目標(biāo)。

（二）變易——一題多變，不變應(yīng)萬變

變易是“易”的核心，彰顯應(yīng)用的廣泛性。在原型問題上循序漸進(jìn)地變換非本質(zhì)特征，如問題或條件，使之形成新的數(shù)學(xué)問題，就是“變式”。變式教學(xué)是我國數(shù)學(xué)文化教學(xué)的傳統(tǒng)特質(zhì)，以“一題多變”促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，以簡馭繁，舉一反三，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知順向遷移的預(yù)期。立足原問題嘗試創(chuàng)設(shè)新問題，搭建“以舊引新”的去路；同時(shí)，將新問題歸結(jié)為已解決的原問題，連通“以新歸舊”的回路，實(shí)現(xiàn)問題解決的完整閉環(huán)。

【教學(xué)片段】

（1）完成“想一想”。

出示“想一想”問題。

啟發(fā)：求經(jīng)過12 小時(shí)水位一共下降多少厘米，很明顯這道題是例2 的變式，請聯(lián)系條件思考一下，如何解題？

學(xué)生列式計(jì)算。

討論：說一說式子中每一步分別表示什么？怎樣快速辨別數(shù)量之間的聯(lián)系？

小結(jié)：列表整理?xiàng)l件和問題，并將兩者對應(yīng)聯(lián)系進(jìn)行分析，數(shù)量關(guān)系便一目了然。結(jié)合所學(xué)例題，易知先求什么，再求什么。

（2）比較異同，感知聯(lián)系。

提問：回顧兩題的解答過程，誰來比較一下它們的異同？

問題由“水位下降120 厘米，一共要放水多少小時(shí)”變化為“經(jīng)過12 小時(shí)水位一共下降多少厘米”，實(shí)現(xiàn)了“變式”。學(xué)生在解決問題時(shí)，巧妙運(yùn)用類比推理與轉(zhuǎn)化策略，能從變的現(xiàn)象（所求問題變化）中，明晰不變的本質(zhì)（已知條件不變）；也能從不變的本質(zhì)（水位下降的速度）中，探究出變的規(guī)律（每2小時(shí)水位下降12 厘米），從而順利攻克新問題，做到“以不變應(yīng)萬變”。

（三）不易——多題一解，萬變不離其宗

不易，即恒常不變，它是萬物運(yùn)行的基本法則和公理。在教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生廣泛觸及各類問題，辨析、歸納出同類問題的共性特征，洞悉不變的本質(zhì)，形成問題解決模型，刪繁就簡，實(shí)現(xiàn)“多題一解”。這也是變式教學(xué)中的歸類，如將數(shù)學(xué)問題歸為植樹問題、行程問題等類別。

【教學(xué)片段】

（1）完成“練一練”第1題。

啟發(fā)：從問題想起，求小軍使用的元數(shù)與小麗購買的本數(shù)，需先明確什么信息？

學(xué)生按每人的本數(shù)和元數(shù)整理并交流。

提問：你覺得題目中哪個(gè)數(shù)量是不變量？

學(xué)生解答并板演：18÷3 ＝6（元），5×6 ＝30（元），42÷6＝7（本）。

交流解答過程與算法。

（2）完成“練一練”第2題。

學(xué)生讀圖并交流數(shù)量關(guān)系。

討論：這道題哪個(gè)數(shù)量是不變量？

利用除法先求出不變的“單位量”，再以此為標(biāo)準(zhǔn)考量其余條件求出結(jié)果。該類問題在數(shù)學(xué)上有固定模型，稱為“歸一問題”，而解決歸一問題的關(guān)鍵在于秉持“單位量”不變，視不變的“單位量”為“宗”，所謂千變?nèi)f化，九九歸一，萬變不離其宗。

在教學(xué)過程中，“什么變，什么不變”的哲問是永恒的問題主線。學(xué)生習(xí)得這些不變的特性，需踐行“變式”練習(xí)，規(guī)避死記硬背。通過“變化的問題”來體現(xiàn)“不變的特性”，從“一題多解”邁向“一題多變”的臺(tái)階，然后回歸到“多題一解”的平臺(tái)，周而復(fù)始，方可促使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知形成螺旋上升的通途。

綜上，變式教學(xué)脫胎于我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化教學(xué)實(shí)踐，“易”則根植于我國古典文化《易經(jīng)》，兩者貌似無關(guān)，在哲理上卻一脈相承。所謂世間萬物運(yùn)行，其道簡易，其形變易，其理不易。因此，只有堅(jiān)守“不變”的數(shù)學(xué)文化教學(xué)理念，才能凸顯“變”的文化自信與育人自覺，真正賦予課堂以深度生長的力量。