變式教學：讓思維更活躍、更創新
——以“圓的外切三角形”復習課為例

■朱建良

變式教學指變換問題的結論與條件，抓住原問題的核心，對原題型進行改編，在條件、問題多樣變化的情形下，對一個數學知識進行探究，揭示數學本質的不變性，從而引導學生全面深刻地理解問題。變式教學通過遷移問題情境，幫助學生避免僵化、膚淺地看待問題，更好地實現深度學習，讓學生的思維更活躍、更創新，發展核心素養。現以“圓的外切三角形”復習課為例，筆者對變式教學的設計與思考。

一、提出問題，認識模型

筆者以“探究△ABC的內切圓⊙O的半徑與△ABC面積之間的數量關系”為切入口，提出問題。

問題如圖1，△ABC的內切圓分別與AB、AC、BC相切于點D、E、F，若⊙O的半徑為r，記AB=c，BC=a，AC=b，試用a、b、c、r表示S△ABC。

圖1

這樣的問題起點低，易上手，探究思路也清晰。在問題解決過程中，教師可以多角度、多層次地引導學生展開數學聯想，弄明白結論是從哪里來的，進而理解模型的結論特征，為后續引用這個結論去解決問題奠定基礎。變式教學設計的問題要具有典型性，易于學生發現新問題并做進一步的探究與推廣。

變式1如圖2，△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC的內切圓⊙O分別與AB、AC、BC相切于點D、E、F，若AD=3，BD=4，求SRt△ABC。

圖2

變式2 如圖3，△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC的內切圓⊙O分別與AB、AC、BC相切于點D、E、F，若AD=m，BD=n，請用m、n表示SRt△ABC。

圖3

變式1 中，S△ABC為12；變式2 中，S△ABC=mn。解析略。由問題到變式1 和變式2，相同的問題情境，不同的研究視角。合理運用三角形內切圓的性質、勾股定理，揭示出求解直角三角形面積的一般方法。深入挖掘，把簡單刻板的解題教學融合在多姿多彩的新問題情境中，能有效提高學生的學習積極性，化抽象為具體，化乏味為興趣，使學生深度思考，加強對問題的理解。

二、遷移方法，巧妙構造

教師要引導學生讀懂直角三角形面積求解的幾何模型，在理解直角三角形面積公式S△ABC=mn的基礎上，理解直角三角形內切圓半徑與此三角形三邊之間的內在聯系，隨后遷移方法至新問題中，以促進學生思維的深度發展，培養學生深度學習的能力。

變式3如圖4，△ABC的內切圓⊙O分別與AB、AC、BC相切于點D、E、F，若AD=m，BD=n，AC·BC=2mn，求證：∠C=90°。

圖4

變式4如圖5，△ABC中，∠C=60°，△ABC的內切圓⊙O分別與AB、AC、BC相切于點D、E、F，若AD=m，BD=n，試用m、n表示S△ABC。

圖5

從變式3 的直角三角形，到變式4 的銳角三角形，深度探究利用勾股定理構造Rt△ABC的一般方法，引導學生體驗數學理解是一個動態過程。添加垂線段AG是認知結構和知識意義的建構過程，運用演繹推理，探究研究內容與基本方法之間存在的內在關系，從而幫助學生全面深刻理解基本模型的本質特征以及各知識之間的聯系。

三、方法貫通，拓展思維

變式問題把呈現的知識與方法融會貫通，通過變換問題情境，設計二維空間中的動態問題，引發學生多角度思考。這是數學深度學習的一個表征，也可直接作用于批判性思維的經驗闡釋。循序漸進的思維爬坡將升華為學生進一步的分析、評價、推論和解釋。

變式5如圖6，△AOB中，∠AOB=90°，Rt△AOB的內切圓⊙I分別與OA、OB、AB相切于點E、F、P，AB=10，點A在Oy上滑動，點B隨線段AB在射線Ox上滑動（A、B與O不重合）。

圖6

（1）Rt△AOB周長、⊙I半徑、△AOB的外接圓半徑，這幾個量中不會發生變化的量是哪個？

（2）當AE=4時，求⊙I的半徑；

（3）若Rt△AOB面積為S，AE=x，求S與x之間的函數關系，并求出S最大時，OA的長。

變式5在平面直角坐標系中生成問題，有效整合了三角形周長、面積與它的內切圓半徑之間的內在聯系。通過位置的變化，探究這幾個變量之間的數量，學生的數學思維在知識的交匯處碰撞，進一步拓寬了分析空間問題的能力，提升了思維水平和思維層次。

綜上，本節課教學從一個最基本的幾何模型出發，引導學生在變式中認識數學知識的本質和規律，最終指向學生的思維方式和思維品質。教學變式中的“變”始終以學生的深入思考為主體，模型研究促進了學生深度學習，成就了精致的教學設計，有效地提升了數學思維的靈活性、發散性和深刻性，培養了學生的探索能力和創新意識。