變式教學(xué)：讓思維更活躍、更創(chuàng)新
——以“圓的外切三角形”復(fù)習(xí)課為例

■朱建良

變式教學(xué)指變換問題的結(jié)論與條件，抓住原問題的核心，對原題型進(jìn)行改編，在條件、問題多樣變化的情形下，對一個(gè)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探究，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的不變性，從而引導(dǎo)學(xué)生全面深刻地理解問題。變式教學(xué)通過遷移問題情境，幫助學(xué)生避免僵化、膚淺地看待問題，更好地實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的思維更活躍、更創(chuàng)新，發(fā)展核心素養(yǎng)?，F(xiàn)以“圓的外切三角形”復(fù)習(xí)課為例，筆者對變式教學(xué)的設(shè)計(jì)與思考。

一、提出問題，認(rèn)識模型

筆者以“探究△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑與△ABC面積之間的數(shù)量關(guān)系”為切入口，提出問題。

問題如圖1，△ABC的內(nèi)切圓分別與AB、AC、BC相切于點(diǎn)D、E、F，若⊙O的半徑為r，記AB=c，BC=a，AC=b，試用a、b、c、r表示S△ABC。

圖1

這樣的問題起點(diǎn)低，易上手，探究思路也清晰。在問題解決過程中，教師可以多角度、多層次地引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)聯(lián)想，弄明白結(jié)論是從哪里來的，進(jìn)而理解模型的結(jié)論特征，為后續(xù)引用這個(gè)結(jié)論去解決問題奠定基礎(chǔ)。變式教學(xué)設(shè)計(jì)的問題要具有典型性，易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題并做進(jìn)一步的探究與推廣。

變式1如圖2，△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB、AC、BC相切于點(diǎn)D、E、F，若AD=3，BD=4，求SRt△ABC。

圖2

變式2 如圖3，△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB、AC、BC相切于點(diǎn)D、E、F，若AD=m，BD=n，請用m、n表示SRt△ABC。

圖3

變式1 中，S△ABC為12；變式2 中，S△ABC=mn。解析略。由問題到變式1 和變式2，相同的問題情境，不同的研究視角。合理運(yùn)用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、勾股定理，揭示出求解直角三角形面積的一般方法。深入挖掘，把簡單刻板的解題教學(xué)融合在多姿多彩的新問題情境中，能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，化抽象為具體，化乏味為興趣，使學(xué)生深度思考，加強(qiáng)對問題的理解。

二、遷移方法，巧妙構(gòu)造

教師要引導(dǎo)學(xué)生讀懂直角三角形面積求解的幾何模型，在理解直角三角形面積公式S△ABC=mn的基礎(chǔ)上，理解直角三角形內(nèi)切圓半徑與此三角形三邊之間的內(nèi)在聯(lián)系，隨后遷移方法至新問題中，以促進(jìn)學(xué)生思維的深度發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力。

變式3如圖4，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB、AC、BC相切于點(diǎn)D、E、F，若AD=m，BD=n，AC·BC=2mn，求證：∠C=90°。

圖4

變式4如圖5，△ABC中，∠C=60°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB、AC、BC相切于點(diǎn)D、E、F，若AD=m，BD=n，試用m、n表示S△ABC。

圖5

從變式3 的直角三角形，到變式4 的銳角三角形，深度探究利用勾股定理構(gòu)造Rt△ABC的一般方法，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)理解是一個(gè)動態(tài)過程。添加垂線段AG是認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識意義的建構(gòu)過程，運(yùn)用演繹推理，探究研究內(nèi)容與基本方法之間存在的內(nèi)在關(guān)系，從而幫助學(xué)生全面深刻理解基本模型的本質(zhì)特征以及各知識之間的聯(lián)系。

三、方法貫通，拓展思維

變式問題把呈現(xiàn)的知識與方法融會貫通，通過變換問題情境，設(shè)計(jì)二維空間中的動態(tài)問題，引發(fā)學(xué)生多角度思考。這是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的一個(gè)表征，也可直接作用于批判性思維的經(jīng)驗(yàn)闡釋。循序漸進(jìn)的思維爬坡將升華為學(xué)生進(jìn)一步的分析、評價(jià)、推論和解釋。

變式5如圖6，△AOB中，∠AOB=90°，Rt△AOB的內(nèi)切圓⊙I分別與OA、OB、AB相切于點(diǎn)E、F、P，AB=10，點(diǎn)A在Oy上滑動，點(diǎn)B隨線段AB在射線Ox上滑動（A、B與O不重合）。

圖6

（1）Rt△AOB周長、⊙I半徑、△AOB的外接圓半徑，這幾個(gè)量中不會發(fā)生變化的量是哪個(gè)？

（2）當(dāng)AE=4時(shí)，求⊙I的半徑；

（3）若Rt△AOB面積為S，AE=x，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出S最大時(shí)，OA的長。

變式5在平面直角坐標(biāo)系中生成問題，有效整合了三角形周長、面積與它的內(nèi)切圓半徑之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過位置的變化，探究這幾個(gè)變量之間的數(shù)量，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在知識的交匯處碰撞，進(jìn)一步拓寬了分析空間問題的能力，提升了思維水平和思維層次。

綜上，本節(jié)課教學(xué)從一個(gè)最基本的幾何模型出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在變式中認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和規(guī)律，最終指向?qū)W生的思維方式和思維品質(zhì)。教學(xué)變式中的“變”始終以學(xué)生的深入思考為主體，模型研究促進(jìn)了學(xué)生深度學(xué)習(xí)，成就了精致的教學(xué)設(shè)計(jì)，有效地提升了數(shù)學(xué)思維的靈活性、發(fā)散性和深刻性，培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新意識。