二階主共振下旋轉葉片振動抑制器穩定性研究

宋 洋, 張 博, 陳旭東, 丁 虎, 陳立群

(1. 上海大學 力學與工程科學學院,上海 200444; 2. 長安大學 理學院,西安 710064; 3.西安熱工研究院有限公司,西安 710054)

旋轉葉片是燃氣輪機的核心部件,其在工作過程中常常因為內共振而發生大幅的有害的振動,導致其損壞,進而令燃氣輪機無法正常使用。主動控制作為一種精準有效的減振措施,受到國內外學者的廣泛關注。

一直以來都有學者針對旋轉葉片的非線性動力學行為進行了研究,通常將旋轉葉片建模為梁、板或殼。Yao等[1]利用多尺度法獲得了1∶2內共振情形下的自治演化方程,并給出不同參數下數值模擬的相位圖、波形和功率譜,說明了旋轉葉片同時存在周期性與混沌運動。Karimi等[2]將葉片建模為Eular-Bernoulli梁,用攝動法研究了自由振動的旋轉葉片在三種不同內共振條件下的運動情況,揭示了不同模態之間的能量轉移現象。Zhang 等[3]用多尺度法得到了1∶2內共振條件下考慮預變形的旋轉葉片的演化方程,研究了參數變化對系統響應的影響,揭示了葉片運動過程中的跳躍現象和飽和現象。Zhang等[4]將亞音速氣流激勵下的旋轉預扭轉的復合材料葉片視作一個復合懸臂矩形板,利用三階剪切變形板理論von-Karman型非線性理論和Hamilton原理,推導出了葉片的控制方程。李紅影等[5]針對殼板凸肩葉片,應用Donnell’s簡化殼理論建立了其非線性振動微分方程,并用伽遼金法對方程離散化,又用平均法分析了模態方程組。Roy等[6]將旋轉葉片建模為Timoshenko梁,分析了系統參數對固有頻率和系統響應的影響。文獻 [7-12]用對葉片不同內共振情形進行了研究,探索出了葉片的非線性動力學行為。

有關旋轉葉片的振動控制也吸引著很多學者的關注。主動控制具有附加質量小的優點,適合用于旋轉葉片高溫高壓特殊的工作環境。智能材料常作為作動器用于主動控制當中。對主動控制的研究多是在對隔振系統的主動控制方法的開發和應用上[13],針對旋轉葉片主動控制方面的研究較少。駝海濤等[14]用試驗研究的方法,基于壓電纖維復合材料(macro fiber composite,MFC)設計了一款PID(proportional integral differential)自整定控制器,降低了太陽電池陣帆板在各種外激勵作用下的振動,并且加快了帆板趨于穩定的時間,使帆板的振動得以有效的控制。宋奎輝等[15]設計了一套旋轉力發生器原理樣機,用主動控制試驗驗證了其對旋翼槳轂的振動有著顯著的控制效果。楊理華等[16]提出了一種不需要外界參考信號的自適應控制策略,可以應用于復雜安裝環境下旋轉機械的振動主動控制。張仕明等[17]提出了一種迭代-二次規劃算法,進一步減小了控制信號的保守,提升了控制性能。張博等[18]將壓電纖維復合材料應用于旋轉葉片,用多尺度法分析了1∶2內共振條件下的一階主共振的情形下的主動控制,分析了控制器參數對葉片振動及其穩定性的影響。利用壓電纖維復合材料可以在幾乎沒有附加質量的條件下完成對旋轉葉片的振動控制。雖然主動控制方法適合用于在非線性結構中,但是在信號傳遞過程中,不可避免得會產生時滯。Xu等[19]研究了考慮時間延遲的van der Pol-Duffing振蕩器,研究了時間延遲對平衡點的穩定性和分岔的影響。Xu等[20]考慮了一類同時具有線性和非線性反饋的一階時滯微分方程,從定性和定量兩方面研究了對具有時滯反饋的非線性系統分岔引起的動力學問題。以上研究說明了時間延遲給系統的動力學行為帶來的影響是復雜的,如何利用時間延遲帶來的有利因素,也是重點研究的方向之一。

長期以來,對旋轉葉片的研究大多通過研究其不同條件下的振動特性,優化結構參數設計或調整轉速以降低葉片的振動,少有通過主動控制的方法來控制葉片振動的研究。故本文基于梯度環境下旋轉葉片動力學模型,引入MFC傳感器和作動器建立閉環受控系統。近期Lu等[21]利用MFC壓電纖維復合材料,設計了自適應控制系統,用試驗驗證了控制效果的有效性。本文采用PD(proportional differential)控制,控制效果明顯,控制過程簡單。采用多尺度的方法分析了受控葉片在二階主共振情形下穩態響應,揭示了葉片的響應隨控制參數演變的規律。

1 模型描述和控制系統運動方程

本文研究的基于MFC壓電纖維復合材料的旋轉葉片振動控制系統,如圖1所示。在葉片兩側對稱地布置MFC傳感器和作動器。控制器工作時,MFC傳感器測量葉片位移信號并傳輸給計算機,經過分析運算后得到控制信號,并將控制力信號輸出給MFC作動器,通過作動器的響應實現對旋轉葉片的振動控制。

圖1 包含MFC傳感器和作動器的旋轉葉片示意圖Fig.1 Schematic of a rotating blade containing an MFC sensor and actuator

葉片模型如圖2所示。本文采用2016年Zhang等研究中的利用Lagrange原理結合假設模態法再通過模態變換得到的葉片旋轉時的動力學方程。控制過程如圖3所示。在2019年Zhang等和顧偉等的研究中,立方非線性項對系統響應的影響很小,所以本文不計立方非線性項,運動微分方程為

圖2 模型坐標選取與受力示意圖Fig.2 Schematic diagram of model coordinate selection and force

圖3 控制過程方框圖Fig.3 Control process block diagram

(1)

(2)

式中:q1,q2分別為弦向和翼向模態坐標;cd為無量綱阻尼系數;ω1,ω2為葉片前兩階無量綱固有頻率;u(t)具體表達式為

(3)

式中:kp為位移反饋增益;kd為速度反饋增益;τ為信號采集、傳輸、運算、響應等環節產生的時間延遲,通常是一個小量;其他參數的意義可以參考張博等的研究。

2 多尺度法的攝動分析

對方程進行重刻度,并引入兩個時間尺度

q1,2?εq1,2,cd?εcd,f1,2?ε2f1,2,
kp?εkp,kd?εkd,T0=t,T1=εt

(4)

式中,ε為無量綱小參數。采用多尺度法,假設式(1)和式(2)的解分別為

q1(t)=q10(T0,T1)+εq11(T0,T1),
q2(t)=q20(T0,T1)+εq21(T0,T1)

(5)

后文會利用數值積分驗證近似解的合理性。

則考慮延遲效應下,采集到的弦向位移信號

q1(t-τ)=q10(T0-τ,T1-ετ)+

εq11(T0-τ,T1-ετ)=

q10τ(T0,T1)+εq11τ(T0,T1)

(6)

將式(5)、式(6)代入式(1)、式(2)并對比同冪次系數

ε項

(7)

ε2項

(8)

式(7)的通解為

q10=A1(T1)eiω1T0+cc,
q20=A2(T1)eiω2T0+cc

(9)

式中:cc為前面各項的共軛復數;A1,A2為T1的復函數,寫成極坐標形式

(10)

由式(6)和式(9)得

q10τ(T0,T1)=A1(T1-ετ)eiω1(T0-τ)+cc=

A1τeiω1(T0-τ)+cc

(11)

根據假設τ為小量,Taylor展開,因為

A1τ(T1)=A1(T1-ετ)=

A1(T1)-ετD1A1+o(ε2)

(12)

本文討論1∶2內共振條件下的二階主共振,引入解諧參數

ω2=2ω1+εσ1,ω=ω2+εσ2

(13)

將式(9)～式(13)代入式(8)得

kpA1eiω1(T0-τ)-kdD0A1eiω1(T0-τ)+cc

(14)

避免久期項的出現,需滿足

kpA1e-iω1τ-kdiω1A1e-iω1τ=0,

(15)

分離實部和虛部,得到受控系統自治演化方程

(16)

(17)

(18)

(19)

式中,φ1=σ1T1-2β1+β2,φ2=σ2T1-β2為了研究該受控系統的穩態響應,可令受控系統演化方程等號左側為0。本文采用Mathematica研究受控系統的動力學行為。

用李雅普諾夫穩定性理論研究演化方程的穩定性。

3 受控系統響應演化規律

采用張仕明等研究中的參數,如表1所示。

表1 算例系統計算參數Tab.1 Parameters of example toroidal drive system

與一階主共振不同的是,二階主共振時的解析解分為單模態解和雙模態解。

為求出穩態響應時振幅的解析解,令式(16)～式(19)的左側等于0,解出a1,a2的解析解。

單模態解:

對于式(16),a1=0顯然是式(16)的一個解。故將a1=0代入式(18)和式(19),得

(20)

根據式(20)解得

(21)

進而可得到關于a2的響應方程

由式(22)可解得穩態響應的單模態解

a1=0

(23)

(24)

非線性方程通常伴隨著多解,當a1≠0時,可以得到方程的雙模態解。

雙模態解:

根據式(16)～式(19),解得

再令式(25)左側φ1與φ2對應的正余弦平方和等于1,可消去φ1與φ2,得到響應方程

(26)

其中,

(27)

解得

(28)

(29)

當穩定在雙模態解時,前兩階模態都有響應。用a1,a2穩態時,的解析解分析旋轉葉片發生1∶2內共振時,受控旋轉預變形葉片的穩態動力學響應,圖中穩定部分用粗線畫出,不穩定部分用細線畫出。

如圖4所示,在關于σ2=0對稱的激勵頻率范圍出現兩次跳變現象,兩個峰向相反的方向彎曲,這被稱為雙跳躍現象。從圖4中可以看到,當速度增益kd增加時,能使方程達到雙模態解的激勵頻率范圍變窄,系統更容易收斂到單模態解,并且雙模態解的最值也隨著kd的增大而減小,這說明速度增益可以有效地抑制兩階模態的振幅,這相當于增加了系統的阻尼。

圖4 不同速度增益kd下受控系統頻響應曲線(τ=0)Fig.4 Frequency response curve of the controlled system for different speed gains kd(τ=0)

如圖5所示,曲線不再以σ2=0為對稱軸對稱,說明引入位移增益相當于破壞了系統1∶2內共振的條件,峰值出現在V形曲線的最左端。隨著位移增益kp增大,雙模態解的最低點逐漸向右偏移。從圖5中發現,在一定的頻率范圍增大kp反而會使振幅增大。這說明位移增益需要適當選取。此外,從圖5(a)還可以看出,當σ2=0時,V形曲線都交于一點,說明此時位移增益對葉片沒有控制效果。

圖5 不同位移增益kp下受控系統頻響應曲線(τ=0)Fig.5 Frequency response curves of controlled systems for different displacement gains kp(τ=0)

如圖6所示,第一階模態響應隨kp變化的曲線朝左側彎曲,出現多值現象,且峰值隨著時間延遲τ增大而減小,曲線的峰值到0值中間出現一段不穩定區域,且隨著τ增大,不穩定區間逐漸減小。但是當τ增大到0.03時,系統在一定kp范圍內出現所有的解都不穩定的情況。不穩定時系統可能會是發散的,這種情況應該被避免。第二階模態隨kp變化的曲線也在一段區間內出現多值情況,并且峰值隨著τ增大而減小。

圖6 不同時間延遲τ下a1,a2隨kp的變化曲線(kd=0)Fig.6 The curve of a1,a2 with kp for different time delay τ(kd=0)

如圖7所示,當kd為在一段取值為負數的區間內,會令系統不穩定,隨著時滯量增加,系統的穩定部分逐漸向右側偏移。當取值達到穩定后,kd增大,會降低第一階模態的響應,第二階模態響應先減小后增大,繼續增大kd,兩階模態都將穩定至單模態解。

圖7 不同時間延遲τ下a1,a2隨kd的變化曲線(kp=2)Fig.7 The curve of a1,a2 with kd for different time delay τ(kp=2)

如圖8所示,適當選取kp的值,可以有效降低在kd變化過程中的峰值。

圖8 不同位移增益kp下a1,a2隨kd的變化曲線(τ=0)Fig.8 The curve of a1,a2 with kd for different displacement gains kp(τ=0)

4 時滯量對控制器穩定性的影響

圖9繪制了不同時滯量下受控系統在速度-位移增益平面內的穩定區域與不穩定區域圖,其中:區域A為不穩定區域;區域B為單模態解穩定但是雙模態解不穩定的區域;區域C為雙模態解穩定但是單模態解不穩定的區域;區域D為單模態解和雙模態解都穩定的區域。 從圖9中可見,隨著時滯量增大,不穩定區域的邊界逐漸傾斜。

圖9 不同時滯量下受控系統增益穩定性區域Fig.9 Area of gain stability of the controlled system for different time delays

如圖10所示,在圖9(c)中穩定區域與不穩定區域的交界處取一點kd=0.216 4,kp=3.322, (在圖9(c)中用黑色的點標出)繪制了穩態響應隨時時滯量的變化曲線。發現在不同頻率下的臨界時滯相差較小。

圖10 穩態響應隨時滯量的變化曲線(kd=0.216 4,kp=3.322)Fig.10 The curve of the steady-state response with time delay(kd=0.216 4,kp=3.322)

5 數值積分

如圖11所示,為驗證多尺度法的正確性,用龍格庫塔法對式(1)、式(2)進行數值積分。時滯量τ接近0.1的過程中控制效果逐漸減弱;當時滯量τ達到0.1時,失去控制效果;當時滯量τ超過0.1時,將時間延長5倍,發現系統變得不再穩定,系統的振幅急劇增加。

圖11 不同時滯量下受控系統響應的時間歷程Fig.11 The time history of the controlled system for different time delay

如圖12所示,用龍格庫塔法對式(1)、式(2)進行數值積分,并把時間選取得足夠長讓系統進入穩態,對原系統進行正反掃頻,其中:圓圈代表正向掃頻時的數值積分點;方塊代表反向掃頻時的數值積分點;曲線代表多尺度法求出的解析解。 發現正反掃頻時發生跳躍現象的跳躍點不同,在跳躍點處響應發生突變。數值積分與解析解吻合良好,驗證了多尺度法的正確性。

圖12 正反向掃頻數值積分結果與解析解的對比(kd=0.1, kp=0.2, τ=0.05, cd=0.05)Fig.12 Comparison between the integral result of forward and reverse sweep frequency values and the analytical solution (kd=0.1, kp=0.2, τ=0.05, cd=0.05)

6 結 論

本文研究了旋轉葉片的閉環控制系統,采用多尺度法得到了1∶2內共振的二階主共振時受控系統的自治演化方程,通過演化方程得到了系統穩態響應的一階近似振幅的解析解,用解析解進行后續的參數分析,分析了系統的動力學行為,研究了時滯對系統穩定性的影響。通過數值驗證,一階近似振幅與原系統響應振幅吻合較好,也證明了多尺度法的準確性。得到如下結論:

(1)1∶2內共振的二階主共振的演化方程具有兩對平衡點,響應曲線會出現多值現象。

(2)位移增益使頻響曲線的峰值偏移,因為位移增益可以近似看作是改變了ω2的值,這相當于破壞了系統1∶2內共振的條件。

(3)在接近臨界時滯的過程中控制效果逐漸減弱,超過臨界時滯后系統發散。

(4)數值積分驗證了多尺度法的正確性,正反向掃頻的跳躍點不同。

(5)展望:葉片在特定轉速下,前兩階固有頻率會出現公度關系,此時前兩階模態會存在能量交換,形成內共振。本文針對1∶2情形的內共振,分析了考慮時滯效應的PD反饋控制對葉片控制效果,驗證其可在幾乎不影響葉片質量的前提下對葉片的振動進行控制,可以有效地避免葉片振動帶來的危害,具有工程應用價值。日后將會對1∶3內共振,諧波共振等不同共振情況的主動控制進行研究。