融入MATLAB 軟件的機械振動混合教學(xué)模式探索*

牛燕 姚明輝 吳啟亮

天津工業(yè)大學(xué)人工智能學(xué)院 天津 300387

0 引言

近年來，隨著科技的進(jìn)步以及工業(yè)的發(fā)展，對工程結(jié)構(gòu)性能的需求也逐漸提升，既要實現(xiàn)高性能，又要滿足高可靠性，而振動問題也必然成為亟須解決的關(guān)鍵問題。機械振動是機械、力學(xué)等專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是一門理論基礎(chǔ)要求高且綜合性強的課程。掌握振動的基本理論，合理地利用或避免振動，為學(xué)生提供基本的技能知識，是該課程的主要目標(biāo)。本課程主要學(xué)習(xí)線性振動相關(guān)知識，從單自由度系統(tǒng)進(jìn)行介紹，逐步擴展到多自由度系統(tǒng)，最后介紹連續(xù)體系統(tǒng)，講述不同系統(tǒng)相關(guān)的基本理論以及在工程中的應(yīng)用。此課程可以滿足機械或結(jié)構(gòu)振動相關(guān)崗位的需求，對于有興趣在振動方面進(jìn)行深入研究的學(xué)生，可以繼續(xù)學(xué)習(xí)后續(xù)振動相關(guān)知識，例如非線性振動、隨機振動以及瞬態(tài)振動等。機械振動課程需要扎實的數(shù)學(xué)知識和大量的計算過程，內(nèi)容抽象晦澀，學(xué)生反映課程枯燥無趣，難以理解，所以傳統(tǒng)的機械振動教學(xué)模式效果不佳，迫切需要探索新的教學(xué)模式。

機械振動課程中涉及大量的公式推導(dǎo)，如果純粹是教師和學(xué)生自己推導(dǎo)，會浪費大量的時間，也打擊學(xué)生的積極性和主動性。以求解固有頻率和主振型為例，主要是利用線性代數(shù)中的求解特征值和特征向量知識。此時，MATLAB 軟件因其強大的計算功能，可用于輔助計算。此種融合MATLAB 軟件的混合教學(xué)模式既可以將學(xué)生從枯燥乏味的公式推導(dǎo)中解脫出來，還可以提高計算的準(zhǔn)確性，激發(fā)學(xué)生的科研興趣。學(xué)生熟練掌握MATLAB 軟件后，只需要掌握基本原理和求解方法，耗時耗力的求解過程通過輔助軟件進(jìn)行，學(xué)生可以對知識進(jìn)行靈活運用并拓展思維，有更多的精力和興趣放在重點、難點知識上，在實踐中理解理論知識，在融匯理論知識的基礎(chǔ)上再進(jìn)行實踐應(yīng)用，實現(xiàn)“實踐—理論—實踐”的飛躍[1]，將理論和實踐融會貫通，做到學(xué)以致用。楊帆[2]利用MATLAB 軟件對簡諧波進(jìn)行合成，利用軟件的可視化功能將抽象復(fù)雜的振動知識呈現(xiàn)出來。呂書峰等[3]利用MATLAB 軟件分別求解單自由度系統(tǒng)線性振動和非線性振動的幅頻特性曲線。

常年的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生理論知識水平掌握很扎實，但是也僅限于理論學(xué)習(xí)，在面對工程應(yīng)用時往往會力不從心、無從下手，這不僅打擊他們學(xué)習(xí)的積極性，也會讓他們產(chǎn)生迷茫感。適當(dāng)?shù)鼗旌辖虒W(xué)模式可以充分調(diào)動學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，寓教于樂，使學(xué)生主動探索書本上的知識，而不是被動接受教師的灌輸。

1 MATLAB 軟件的功能介紹

MATLAB 軟件是1982 年美國MathWorks 公司開發(fā)的一款高性能數(shù)值計算和可視化軟件，MATLAB軟件編程計算與人類進(jìn)行計算的思路完全一致，無需專業(yè)的編程語言基礎(chǔ)，比其他高級語言更容易掌握，在工科專業(yè)中廣泛使用。以下是MATLAB 軟件一些常用的功能。

1.1 推導(dǎo)計算

MATLAB 軟件中函數(shù)非常全面，還有專門的Toolbox 工具箱，可以快速準(zhǔn)確地解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，常見的案例為MATLAB 軟件在線性代數(shù)以及高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，例如快速求解矩陣的秩、行列式、特征值以及特征向量等。針對計算量非常大的情況，MATLAB 計算機輔助軟件的優(yōu)勢就顯而易見，對于龐大的矩陣運算，計算機幾秒就可以準(zhǔn)確計算出結(jié)果。

1.2 繪圖

MATLAB 軟件的一個重要優(yōu)勢在于數(shù)據(jù)可視化[4]，工科專業(yè)中經(jīng)常會遇到函數(shù)，有些函數(shù)過于抽象，難以直觀想象。通過MATLAB 軟件的繪圖功能，簡單的語句就可以將抽象函數(shù)具體化，因此在教學(xué)、科研中廣泛應(yīng)用，例如最常用的二維圖形、三維圖形以及隱函數(shù)圖形的繪制。應(yīng)用最為廣泛的二維曲線繪圖函數(shù)為plot 函數(shù)。將二維曲線繪圖函數(shù)plot 擴展到三維空間，可以利用plot3 函數(shù)繪制三維曲線。空間曲面是高等數(shù)學(xué)課程中常見的內(nèi)容，也是比較抽象的內(nèi)容，很難想象出來，此處可以利用MATLAB 軟件進(jìn)行繪制。常用的繪制三維曲面的函數(shù)為surf 函數(shù)和mesh 函數(shù)，其中surf 函數(shù)用來繪制三維曲面圖，mesh函數(shù)用來繪制三維網(wǎng)格圖。此外還有很多繪制三維圖的函數(shù)，例如waterfall函數(shù)、contour3 函數(shù)、stem3 函數(shù)、bar3 函數(shù)等。

1.3 建模仿真

利用MATLAB 軟件進(jìn)行建模或仿真十分便利，例如Simulink 系統(tǒng)，可以用來對各種動態(tài)系統(tǒng)的交互環(huán)境進(jìn)行建模和仿真。此外，MATLAB 軟件的應(yīng)用使得之前需要進(jìn)行簡化假設(shè)的隨機因素、非線性因素等可以考慮在內(nèi)，因此求解范圍更廣，準(zhǔn)確性更高。在MATLAB 軟件中直接進(jìn)行簡單編程也可以對方程進(jìn)行數(shù)值仿真，例如高維非線性常微分方程的解基本難以求得，此時可以利用不同的算法進(jìn)行數(shù)值仿真，通過仿真分析可以得出系統(tǒng)的響應(yīng)曲線等等，從而對工程實踐進(jìn)行指導(dǎo)，將數(shù)學(xué)知識與工程應(yīng)用進(jìn)行有效結(jié)合。

2 融入MATLAB 軟件的機械振動教學(xué)實踐

按照自由度進(jìn)行分類，振動系統(tǒng)可以分為單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體系統(tǒng)（無限自由度系統(tǒng)）。首先以多自由度系統(tǒng)—彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)為例，其次以連續(xù)體系統(tǒng)—薄板結(jié)構(gòu)為例，引入MATLAB 輔助教學(xué)軟件，分別求解固有振動特性，用實例來探索混合教學(xué)模式的便利和優(yōu)勢。

2.1 彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)的固有振動特性求解實例

以一個三自由度的彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)為例[5]，如圖1 所示，其中k1=3k，k2=2k，k3=k，m1=2m，m2=1.5m，m3=m，假設(shè)k=m=1，求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。求解過程如下：

圖1 彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)示意圖

首先取x1，x2和x3為廣義坐標(biāo)，則三自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以求解為：

系統(tǒng)自由振動的微分方程表示如下：

采用MATLAB 軟件進(jìn)行求解，求解結(jié)果如圖2

圖2 MATLAB 軟件運行結(jié)果

所示，具體求解程序如下：

clear；

M = [2 0 0; 0 1.5 0; 0 0 1]; % 質(zhì)量矩陣

K = [5 -2 0; -2 3 -1; 0 -1 1]; % 剛度矩陣

[PPP,lamuda] = eig(K,M); % 求解特征值和特征向量

np = sort(diag(lamuda)); % 求解出的特征值從小到大進(jìn)行排序

frequency = sqrt(np) % 開根號得出固有頻率

for i = 1:1:3

Modeshape(:,i) = PPP(:,i); % 前三階振型

end

% 規(guī)定每一階主振型中最大的一個坐標(biāo)幅值為1

f1 = 1/Modeshape(3,1);

Mode1 = f1 * Modeshape(:,1) % 第一階主振型

f2 = 1/Modeshape(3,2);

Mode2 = f2 * Modeshape(:,2) % 第二階主振型

f3 = 1/Modeshape(3,3);

Mode3 = f3 * Modeshape(:,3) % 第三階主振型

其中%后面內(nèi)容是為方便理解添加的注釋，此部分內(nèi)容在運行程序時不執(zhí)行。首先求解三自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，利用eig函數(shù)求解特征值和特征向量，利用diag 函數(shù)得到對角線上的廣義特征值，再利用sort 函數(shù)進(jìn)行排序，最后通過sqrt 函數(shù)開平方得到固有頻率。前面程序可以求解出相應(yīng)的特征向量，假設(shè)每一階主振型中第三個元素為1，需要同時對前面的特征向量進(jìn)行同比放大或縮小，也就需要引入系數(shù)f1、f2、f3，從而得到每一階主振型Mode1、Mode2 和Mode3。

運行結(jié)果如圖2 所示。

運用上述MATLAB 軟件進(jìn)行求解，只需要寫出多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，即可簡單求解出固有頻率和主振型。課程教學(xué)中，要求學(xué)生掌握基本的MATLAB 編程技能，使用此計算機輔助軟件對機械振動課程進(jìn)行計算，還可以增加系統(tǒng)難度，鍛煉學(xué)生舉一反三的能力以及提升編程能力。此處只是一個簡單的三自由度系統(tǒng)，所以質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是三階方陣，學(xué)生自己進(jìn)行手動計算也可以很快得出結(jié)果。但是對于實際工程需求或者科研需求，系統(tǒng)的自由度往往很多，那么K和M就是高階方陣，計算過程很復(fù)雜，計算結(jié)果也容易出現(xiàn)錯誤，對于學(xué)生而言，手動推導(dǎo)是很頭疼的一件事，此時MATLAB 軟件的優(yōu)勢顯而易見，學(xué)生只需要掌握計算方法和簡單的編程原理就可以準(zhǔn)確求解，這對于解決學(xué)生面臨的實際工況或者激發(fā)學(xué)生科研興趣均有極大的幫助，也是探索混合教學(xué)模式的目的所在。針對手動難以求解的問題進(jìn)行案例介紹，下面以一個連續(xù)體系統(tǒng)為例，探索MATLAB輔助計算機軟件的優(yōu)勢，并采用繪圖功能生動形象地向?qū)W生展示理論基礎(chǔ)對應(yīng)的工程應(yīng)用。

2.2 薄板結(jié)構(gòu)的固有振動特性求解實例

工程中常見的結(jié)構(gòu)為連續(xù)體結(jié)構(gòu)，例如梁、板、殼等結(jié)構(gòu)，其固有頻率和模態(tài)振型也備受關(guān)注。求解過程比多自由度系統(tǒng)復(fù)雜很多，沒法直接列出質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。以板結(jié)構(gòu)為例，簡單介紹一種求解方法，需要利用一階剪切變形理論對其進(jìn)行動力學(xué)建模，分別推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的動能和勢能表達(dá)式，利用瑞利—里茨法求解固有頻率和模態(tài)振型。連續(xù)體系統(tǒng)考慮為無限自由度系統(tǒng)，實際求解過程中可以發(fā)現(xiàn)考慮前五階或六階模態(tài)就可以收斂，一階剪切變形理論中有五個變量，再考慮前五階模態(tài)，計算量十分龐大，此過程如果手動推導(dǎo)難以實現(xiàn)，學(xué)生不僅耗時耗力，還很難保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。此時采用MATLAB 軟件進(jìn)行計算非常便利，既可以保證計算推導(dǎo)的準(zhǔn)確性，又能顯著提高效率，是科研工作中經(jīng)常采用的方法。

以一塊長度為a=300 mm，寬度為b=300 mm，厚度為h=3 mm 的平板為例，如圖3 所示，板的邊界條件是懸臂邊界條件。假設(shè)材料屬性如下：楊氏模量為，密度為，泊松比為μ=3.0，利用MATLAB 軟件求解平板結(jié)構(gòu)前五階無量綱固有頻率，與Gu 等[6]結(jié)果進(jìn)行對比，如表1 所示，本文采用MATLAB 軟件求解得到的結(jié)果與參考文獻(xiàn)吻合得很好。

表1 平板結(jié)構(gòu)前五階無量綱固有頻率對比

圖3 平板結(jié)構(gòu)示意圖

工程中除了常用的固有頻率，模態(tài)也十分關(guān)鍵。通過模態(tài)分析可以了解結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的主要特性，進(jìn)而預(yù)測結(jié)構(gòu)的實際振動響應(yīng)。因此，模態(tài)分析是進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計和故障診斷所采用的重要方法之一。利用MATLAB軟件求解上述平板結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型圖，如表2 所示。利用軟件的繪圖功能和可視化功能向?qū)W生生動地展示平板的振動形式。傳統(tǒng)的課程教學(xué)中教師的講解很枯燥，學(xué)生也難以直觀想象平板究竟會出現(xiàn)何種振動形式，甚至于很難理解何為模態(tài)。但是采用混合教學(xué)模式，可以清晰地向?qū)W生展示出各階模態(tài)圖，由表中可以看出第一階模態(tài)振型為一階彎曲模態(tài)（First Bending mode，1B），第二階模態(tài)振型為一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)（First Torsional mode，1T），第三階模態(tài)振型為一階邊緣彎曲模態(tài)（First Edgewise Bending mode，1EB），第四階模態(tài)振型為一階弦向彎曲模態(tài)（First Chordwise Bending mode，1CB），第五階模態(tài)振型為二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)（Second Torsional mode，2T）[7]。單純聽教師在課堂上對固有振動特性相關(guān)知識進(jìn)行講解，對于沒有工程背景或立體感比較差的學(xué)生來說很難理解，也會導(dǎo)致對本課程逐漸產(chǎn)生抵觸和厭學(xué)心理。然而對照表2，學(xué)生可以清晰地看出平板結(jié)構(gòu)在懸臂邊界條件下的各階模態(tài)形式，也會形成一個立體的認(rèn)識，甚至可以舉一反三，自己動手對不同邊界條件或者結(jié)構(gòu)尺寸下平板結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型進(jìn)行求解，極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和探索心理，這也是大學(xué)或者研究生期間課堂教學(xué)的主要目的。

3 結(jié)束語

以求解多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體系統(tǒng)的固有振動特性為案例，將MATLAB 輔助軟件融入機械振動課堂，探索混合教學(xué)模式的實用性和便捷性。在引導(dǎo)學(xué)生掌握固有振動特性含義的過程中，通過計算機仿真軟件生動直觀地向?qū)W生進(jìn)行展示，這對于學(xué)生的理解和領(lǐng)悟有著極大的幫助。熟練掌握解決振動相關(guān)知識，對于很多工科專業(yè)學(xué)生來說至關(guān)重要，是學(xué)生解決工程實際所需的基本技能，也是后續(xù)進(jìn)行科研工作的基礎(chǔ)。此外，將MATLAB 軟件融入實踐教學(xué)中，有助于緩解學(xué)生對于枯燥公式推導(dǎo)的抵觸心理，調(diào)動學(xué)生的課堂參與度并激發(fā)學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的編程興趣。在機械振動課程教學(xué)中，教師多鼓勵學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行MATLAB 編程，培養(yǎng)學(xué)生的編程能力，并鍛煉學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，利用軟件編程來輔助解決機械振動相關(guān)知識，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生實踐能力和科研興趣的目的。