基于SIQR的新冠肺炎疫情動態傳播模型研究

鈔寅康, 龔立雄, 雷彬文

(湖北工業大學機械工程學院,湖北 武漢 430068)

新型冠狀病毒肺炎是一種傳染性很強通過呼吸道傳染的疾病,基于新冠疫情的發展趨勢,目前主要從兩方面進行專業領域的研究,一種從疫情的控制角度,主要針對病毒的平均潛伏期以及基本再生數[1-3];另一種則是基于SIR模型以疫情傳播的建模和預測為主[4-5]。其中,阿曼多等利用SIR模型預測新冠肺炎疫情的演變,預測的數據與具體病例數據有很好的擬合。任中貴提出了基于SIR模型的COVID-19疫情數據分析,其中感染率和移除率這兩個重要參數的擬合結果說明及時采取封城等防疫措施對醫療救助能力的提升十分重要。或者采用SEIR模型進行數據擬合[6-7],然后進行適當的假設來推測疫情后期發展趨勢,為疫情防控提供參考。SEIR模型相當于在SIR模型的基礎上增加了傳染病的潛伏期。趙成珍[8]在文章中對SEIR模型改進為三階段模型然后對現實數據進行擬合;丁振華[9]提出了一種新的新冠肺炎傳播非線性動力學模型;劉建國[10]在基于空間交互模型的基礎上同時構建SEIR模型;董章功[11]提出了一種基于傳統的傳染病動力模型SEIR和差分整合移動平均自回歸模型ARIMA構建的SEIR-ARIMA混合模型;以上模型都在SEIR模型基礎上有所改進。但是SIR模型和SEIR模型二者均不能完全適用于湖北武漢的疫情發展的實際情況,考慮到2020年1月23日采取封城措施,對感染者進行隔離,在模型中增加隔離者提高模型的仿真水平,提高仿真結果與實際疫情的擬合度,給疫情防控提供更有價值的參考。

在上述背景下,本文基于系統動力學分析,構建了新冠肺炎疫情擴散的SIR模型,并在傳統的SIR模型上進行改進和優化,改進為SIQR模型。最后,以武漢疫情為數據樣本,使用改進后的SIQR模型進行仿真建模實驗,并通過實驗尋求預防和控制新冠疫情傳播的方法。結果表明:該模型能有效地復現新冠病毒傳播演化過程,為重大公共疫情的預測與防控提供指導依據。

1 SIQR模型與方法

1.1 SIQR模型構建

本次疫情傳播迅速與傳染病研究中SIR模型的特點相類似,但SIR模型在此次疫情中并不完全適用。以往的疫情沒有如此果斷且迅速的采取大規模隔離措施,因此本文在SIR模型的基礎上增加隔離人群進行改進,使用SIQR模型進行有限區域內的疫情傳播演化仿真。

改進后的SIQR模型中,治愈的傳染個體擁有免疫抗體,設傳染率(感染系數)為β,恢復率(恢復系數)為γ,SIQR模型狀態轉換圖如圖1所示。

圖1 SIQR模型狀態轉換圖

SIQR模型將有限區域內的人口分為以下四類:1)染病者i(t),t時刻已被感染且具有傳染力的人數;2)易感者s(t),t時刻還未染病但可能被傳染的人數;3)隔離者q(t),t時刻已被進行隔離措施的人數;4)恢復者r(t),t時刻已從染病者中移出的人數。設總人口為N(t),則有N(t)=s(t)+i(t)+q(t)+r(t)。

1.2 SIQR模型假設

SIQR模型基于以下四個假設:

1)假設感染者的傳染能力較強,但凡與易感染者接觸就有被感染的風險。假設易感染總數為s(t),在t時刻單位時間內,被病人感染的比例系數為β,那么βs(t)i(t)就表示在t時刻內被病人傳染的人數。

2)假設人口基數不變,忽略人口的流動、死亡和出生等種群動力因素。即N(t)≡K。

3)假設易感者和感染者分別按一定概率Ψ進行隔離,在t時刻進行隔離的人數為φ1s(t)+φ2i(t)。

4)假設病人數量與從染病者中移出的人數在t單位時間內成正相關,且相關系數為γ,則單位時間內移出者的數量為γi(t)+ωq2(t)。

基于以上四個假設條件,感染機制如

(1)

由以上所有假設可知:若對感染者和易感者采取一定的隔離措施,感染者的恢復率增長為γi(t),易感個體的下降率為βi(t)s(t),感染者的增長率達到β1i(t)s(t)+β2i(t)q(t)-γi(t)。易感者從患病到移出的過程可用微分方程表示,如

(2)

1.3 SIQR模型參數設定及應用

1.3.1模型參數設定本案例基于系統動力學進行SIQR新冠疫情傳播演化仿真,時間以離散數據的形式表示,分別使用易感者、感染者、隔離者和治愈者來區分個體的不同狀態。隔離者又分為在家隔離者和醫院收治隔離者兩類群體。移出者分為感染死亡/隔離死亡/治愈者。感染者區分為入院治療和重癥隔離兩種情況,兩者將不同程度地影響死亡人數和治愈人數。模型公式及參數設定如表1。

表1 SIQR新冠疫情傳播演化模型的相關計算公式

1.3.2SIQR模型的驗證本文數據來源于中國湖北省衛生健康委員會官網(http:∥wiw.hubei.gov.cn)公布的湖北省2019年12月31日—2020年5月的疫情數據進行實驗。然后基于SIQR模型對新冠疫情傳播演化機理進行仿真和推演,可以得到封城前后的數據參數如表2所示。

表2 封城前后數據

相比于傳統SIR模型,增加了潛伏期、規避系數、隔離率等參數。經仿真求解,得出封城前和封城后治愈人數、感染人數和死亡人數三者的曲線,如圖2、圖3所示。

圖2 封城前曲線

通過圖2、圖3的分析,可以將我國新冠疫情累計確診數量的擬合情況大致分為三個階段:

1)第一階段為 12月 31 日～1 月 23 日,疫情初期防控力度小,傳染途徑廣,感染人數呈指數增長,并產生了大量的二、三代感染者,但此時醫院資源供給相對充足,感染者治愈率較高。

2)第二階段1月 23 日～2 月 6 日,隨著防護意識及政府管控力度增加,聚集感染事件減少,治愈系數已經大于感染系數,感染人數達到峰值后迅速下降,但由于前期大量感染者的涌入造成醫療資源陷入匱乏,導致治愈者人率并未達到峰值,且死亡人數還在增長。

3)第三階段 2 月 6 日后,封城物理阻斷了傳播途徑,治愈人數呈指數增長,感染者人數逐漸趨近于零,死亡人數曲線已趨于平緩。

本文模型中考慮到武漢及時的“封城”行為,以及政府在多方面實施強有力措施,使新冠肺炎傳播在時間、空間上具有明顯的異質性,而本次仿真中得到的指數增長,可以推論是因為病毒平均潛伏期較長,在有限區域內對特定人群(中老年人等免疫力較差的群體)的感染性強,導致疫情爆發速度快,醫療體系在短時間內不堪重負、癱瘓所造成的。

2 多因素的影響研究與討論

為了更加貼近武漢疫情傳播真實現狀,進行有效模型的構建,本文在模型構建過程中基于政府以及群眾不同的角度在疫情發展的不同階段,采取的不同措施進行分析。通過添加規避系數以及隔離率兩大因素,主要體現政府采取措施的力度以及群眾防疫意識的強弱;通過添加病毒潛伏期和疫苗覆蓋率兩大因素,主要從病毒分析,體現病毒對醫療以及社會經濟的影響。

2.1 規避系數對疫情傳播演化的影響

規避系數的定義是將該地區各方面防疫措施對新冠肺炎疫情擴散程度的影響引入模型,是對該地區的政府是否采取措施,措施力度是否嚴厲,以及醫療資源,人口素養等多方面因素的綜合。

武漢封城舉措,影響規避系數,圖4中規避系數越大,感染者人數越少。其中分為三個小階段:

圖4 封城后規避系數不同對感染人數的影響

1)0.1-0.4:視為該地區沒有采取防疫風險等級制度的相關措施,區域內人群活動自由,頻繁發生交叉感染,隔離點缺乏,患者無法及時得到治療和隔離。疫情管控呈現出失控的態勢。

2)0.5-0.7:該地區采取了對應防疫風險等級制度的相關措施,內防擴散、外防輸入,在疫情爆發過程中及時隔離了二、三代感染者以及其密切接觸者,并及時保障了足夠的醫療資源。

3)0.8-1:該地區在發現疫情時及時進行了嚴格的隔離措施,人口都有較高的防控素養,并配有足夠的醫療資源保障,疫情在該地區幾乎很難爆發。

2.2 隔離率對疫情傳播演化的影響

本模型中,隔離率不同時對感染者數量的影響如圖5所示。

圖5 隔離率不同時對感染者數量的影響

由圖5可知,隔離率對疫情擴散程度的影響至關重要,隔離率越高,感染者人數越少,隔離率的提高能有效遏制疫情傳播,但會給醫療體系帶來巨大負擔,從而造成較晚的峰點到來和較長的疫情防控時間,給社會經濟發展和人們健康造成沉重打擊。

2.3 平均潛伏期對疫情傳播演化的影響

本模型在計算感染者人數的參數時,將本次疫情備受關注的新冠肺炎潛伏期引入模型,發現當病毒在區域內人群當中平均潛伏期不同時,會造成不同的疫情擴散情況,如圖6所示。

圖6 潛伏期不同時對感染人數的影響

由圖6分析可知,當其他參數相同時,病毒潛伏期越短,感染者數量峰值越低,但峰點到來較慢,疫情持續時間更長,對地區影響更持久;當病毒潛伏期越長,感染者數量峰值越高,但峰點到來較快,疫情持續時間更短,對地區造成短時間內較大的沖擊性影響。

2.4 新冠疫苗接種對疫情傳播演化的影響

研究疫苗覆蓋率因素過程中,將已經接種疫苗設定為免疫人群,SIQR模型中易感染者人數會除去已經接種疫苗人數。例如,當接種疫苗率為20%時,易感染者人數在原先的值=總人口-感染者人數基礎上除去接種疫苗的人數即20%的總人口。易感染者人數=((總人口-感染者人數)-20%總人口),規避系數變為0.3。

當疫苗覆蓋率為0%、20%、40%、60%、80%時,感染者,易感染者、治愈者的人數變化曲線如圖7-9。

圖7 易感者趨勢

圖8 感染者趨勢

圖9 治愈者趨勢

基本傳染數在流行病學上是指在沒有外力介入并且所有人都沒有免疫的情況下,某種傳染病的感染者會把疾病傳染給他人數量的平均數。

若β<1,傳染病會逐漸消失;

若β>1,傳染病會以指數方式散布成為流行病;

若β=1,傳染病會成為地方性流行病。

在疫苗覆蓋率的基礎上基本傳染數公式改進為:即當<1時傳染病會逐漸消失,其中新冠的基本傳染數=3.28,則當P>0.7時傳染病會逐漸消失結束疫情。

從國藥集團公布的數據來看疫苗的保護效力為79%,疫苗覆蓋率P是在疫苗保護效力為100%的情況下得出的,因此要達到90%的疫苗覆蓋率才可以形成人群免疫屏障阻斷疫情再次發生。

2.5 模型對比

為進一步驗證本模型的優越性,本文以疫情期間一、二月部分數據為數據集,分別使用SIR、SEIR以及本文的SIQR分別進行仿真預測,實驗結果如表3、圖10所示。

表3 誤差對比 %

圖10 模型擬合效果對比

通過對圖10、表3的觀察,可以發現三種模型的擬合趨勢都與疫情發展趨勢相同,但本文模型擬合效果明顯更好。并且通過數據對比可知,本文模型相較于初始SIR模型,MAPE值縮小了2.49%,RMSE值縮小了159;相較于SEIR模型,本文模型的MAPE值縮小了5.53%,RMSE縮小了640,進一步體現了本文模型的優越性。

3 結論

本案例在SIR 模型基礎上增加潛伏期、感染率、規避系數、隔離率、治愈率等參數進行改進和擴展,并以武漢疫情數據為例,對有限區域內新冠肺炎疫情擴散機理及感染者、治愈者、死亡數量進行了仿真。最后通過與其他模型的對比,證明了本文模型的優越性,得出結論如下:

疾病的傳播機制在現有感染者死亡或康復的數量與新感染者數量相等的時間點發生變化。當感染者恢復正常的數量大于新感染個體數目時,疫情規模將減小;當規避系數大于等于0.5時對疫情擴散有明顯的遏制作用;當病毒潛伏期大于等于4 d時,會造成疫情劇烈增長;高隔離率可以降低感染者數量,但是對醫療系統有較大負擔;接種新冠疫苗是阻斷病毒的最佳方式,疫苗覆蓋率要達到90%才能形成人群免疫屏障阻斷疫情。