重視數學探究活動 發展學生核心素養*
——以“探究函數的圖象與性質”為例

姜尚鵬

數學探究是指圍繞某個具體的數學問題的活動，學生開展自主探究、合作研究并最終解決問題，具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論。數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容。

一、教學過程

1.創設情境，抽象函數

我校科技館要制作一個占地32m2的圍欄保護孔子像。如下頁圖1 所示，設圍欄的邊長AD為xm，因場地限制要求AD不超過3m，圍欄總長為ym。你能幫忙設計圍欄的長和寬，使圍欄用料最省嗎？

（圖1）

學生自主構建函數模型，尋找求解最值的方法，教師引導學生進一步研究函數的單調性，并引導學生將函數一般化，擴充研究范圍，拋出研究函數的圖象與性質。

【設計意圖】借助實際生活情境，讓學生構建相應函數模型，發展學生的數學抽象和數學建模核心素養。由于基本不等式解決不了問題，產生思維沖突，激發學生思考需要進一步研究一個新函數的圖象與性質。

2.復習舊知，回憶經驗

3.研制策略，優化方案

問題1：類比以往研究函數的經驗，你認為應該按照怎樣的思路研究函數（a≠0，b≠0）的圖象與性質？

生：先對a，b進行討論，可以分成（a＞0，b＞0）、（a＞0，b＜0）、（a＜0，b＜0）、（a＜0，b＞0）四類函數。

師：需要對這四類函數一一進行討論嗎？

生：第三類和第四類函數的圖象可以通過將第一類和第二類函數的圖象關于x軸對稱得到，所以只需要研究第一類和第二類函數的圖象與性質即可。

【設計意圖】教師讓學生自主分析函數y=的圖象與性質的研究思路，體現了先整體架構研究框架，再逐個擊破的研究方法，能夠培養學生邏輯推理等核心素養。

4.小組合作，感悟路徑

問題2：每個小組選擇一類函數，你們能給出幾種研究函數的圖象與性質的路徑？

小組代表1：我們小組探究的是函數y=ax+，研究路徑是從圖象到性質。不妨令a=1，研究b對函數圖象的影響。借助GeoGebra 軟件，可以發現b影響了函數在x∈（0，+∞）上圖象的最低點和x∈（-∞，0）上圖象的最高點。（見圖2）同理可以得到a影響了函數圖象的開口，也就是漸近線，最后我們可以觀察函數的圖象得到它的性質。（見圖3）

（圖2）

（圖3）

師：你能用總結的性質解決“圍欄”問題嗎？

師：還有其他的研究路徑嗎？

小組代表2：我們小組探究的是函數y=ax+，研究路徑是從性質到圖象。首先研究函數的定義域，易得。接 下 來研究奇偶性，由奇偶性的定義易證這是一個奇函數。再研究它的單調性，我們借助基本不等式可以得到這個函數的單調增區間為，單調減區間為并可得函數的值域為。接下來研究漸近線，當x→0 時ax→0，函數趨向于，所以一條漸近線是y軸，當x→+∞時，函數趨向于y=ax，所以另一條漸近線為y=ax。最后通過性質畫出函數的圖象，并借助GeoGebra軟件作圖驗證。

小組代表3：我們小組探究的是函數y=ax+，研究路徑是從圖象到性質。我們發現它是由我們熟悉的函數y=ax和相加得到的，所以我們先借助GeoGebra 軟件作出y=x和的圖象，在x軸上取一點，過這點作垂直于x軸的直線，與y=x和的圖象分別交于一點，再通過軟件的平移功能，得到剛才兩個交點縱坐標和對應的點，移動垂線，得到該點的軌跡就是所求函數圖象。通過觀察容易發現，它的定義域，在（-∞，0），（0，+∞）上分別單調遞增，關于原點對稱是奇函數，值域為R。下面我們固定a=1，改變b的值，發現圖象對應的性質未發生改變。我們又固定b=-1，改變a的值，發現漸近線一直隨著變化，也就是說a影響了函數圖象的漸近線。

小組代表4：我們小組探究的是函數y=ax+，研究路徑是從性質到圖象：先研究兩個熟悉函數y=ax和的性質，合成y=的性質。比如，y=ax是奇函數，是奇函數，所以是奇函數，其他性質也可以同理推出，最后再畫出函數的圖象，并通過GeoGebra軟件作圖驗證。

師：這樣我們就得到了兩類函數的圖象與性質，他們分別叫“對號函數”和“飄帶函數”。（見圖4，圖5）同時我們還得到多種研究路徑：一是把函數看成一個整體，然后既可以從“形”出發，由圖象研究性質，也可以從“數”出發，由性質研究圖象。二是分解函數，把函數看成兩個函數經過運算得到的，同樣既可以從“形”出發，由兩個函數的圖象合成研究一個函數的圖象，進而通過圖象研究性質，也可以從“數”出發，由兩個函數的性質合成研究一個函數的性質，進而通過性質研究圖象。

（圖4）

（圖5）

【設計意圖】通過讓學生分組研究，避免了同時研究兩類相似的函數而浪費時間。此外，小組合作還培養了學生的交流合作能力。教師收集每個小組的研究路徑，進行匯總和結構化梳理，引導學生梳理研究函數的圖象與性質的方法，有利于學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養的發展。

5.獨立思考，內化路徑

問題3：通過今天的學習，你認為還能研究哪些函數的圖象與性質？給出函數并嘗試研究它的圖象與性質。（開放題）

學生先獨立思考，之后通過小組合作，討論交流選擇函數，并借助GeoGebra 軟件研究它的圖象與性質。筆者收集學生研究的函數類型有（a≠0，b≠0），y=a｜x｜+ax2（a＞0），y=2x2sinx等。

對于函數y=a∣x∣+ax2（a＞0）的圖象與性質，展示小組是先從整體研究性質再畫圖象的路徑進行的研究，因為學生發現從代數角度很容易研究這個解析式的性質，并且由于兩個部分有同一個參數a，不適合分解研究。

對于函數y=2x2sinx的圖象與性質，教師引導學生不僅可以研究由基本初等函數加減得到的函數，也可以是乘除得到的函數。當然，學生還給出了很多其他的函數類型，由于時間關系，課堂上沒有一一展示。

【設計意圖】對于本節課研究的函數y=ax+的圖象與性質知識層面的鞏固放到課后，研究路徑的鞏固放到課上。通過開放式問題激發學生思考，讓學生自己構造研究的函數。借助小組代表展示，教師了解學生構造的函數以及研究思路，并及時進行挑選和梳理，與學生一起分析如何根據函數解析式的特征挑選合適的研究路徑，并將研究的函數的類型的范圍進行推廣，可以是含有兩個參數的函數，也可以是含有同一個參數兩次的函數，還可以是沒有參數但變成兩個基本初等函數乘除的函數。這樣，學生既鞏固了新知，又在新知學習的基礎上拓寬了思維與視野，數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養得到培養。

二、教學思考

1.數學探究活動內容選擇要恰當

2.數學探究活動應合理使用信息技術

教材中信息技術與數學內容的融合情況既影響教師的教也影響學生的學。［1］描點作圖法適合學生剛學習某個函數時應用。當學生有了一定的知識儲備后，要對函數進行深度探究時，GeoGebra 軟件是非常方便的。一是GeoGebra軟件具有呈現作圖的功能。可以迅速作出函數的圖象，方便學生根據圖象猜測性質，進而通過代數方法說明。二是GeoGebra 軟件具有呈現動態軌跡的功能。學生描點作出的函數圖象畢竟是有限的且靜止的，但是通過GeoGebra 軟件調動參數的變化，跟蹤函數圖象軌跡可以讓學生看到若干函數圖象的變化趨勢，從而總結性質，加深對知識的理解。三是GeoGebra 軟件操作與數學知識的融合功能。學生在研究y=ax+的圖象與性質時，分解成y=ax（a＞0）和的圖象，之后借助GeoGebra 軟件作圖的平移功能，通過跟蹤軌跡得到（a＞0，b＜0）的圖象，這樣的作圖需要學生深刻理解數學知識才能畫出函數的圖象。這樣得到的函數圖象比直接輸入函數解析式得到圖象更加形象，也更能鍛煉學生的數學實踐能力。

3.數學探究活動要“收放有度”