基于學生能力發展的數學教學設計與思考

何益慧

［摘 要］文章探討基于學生能力發展的數學教學設計，對培養學生的數學學科核心素養，提高數學教學效率有參考意義。

［關鍵詞］圓周角；教學；能力

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0026-03

一、內容分析

“圓周角”是在學習“圓心角”的基礎上進行深入探索，為圓有關角的計算，角、弧、弦相等問題的證明提供簡便的方法，在有關說理、作圖、計算中有著廣泛的應用。“圓周角”既是圓心角、弧、弦之間關系的延續，又是下一節“圓周角定理推論”的學習依據，對研究圓內接四邊形、判定相似三角形等幾何問題有重要作用，為高中階段學習圓和立體幾何奠定基礎。

二、學情分析

學生在八年級上冊已學習了三角形的外角定理以及圓的基本概念，會判斷圓心角，基本掌握了圓心角的相關性質，在知識儲備上是足夠的。通過類比，學生能較快地掌握圓周角的概念，已具備一定的邏輯推理能力、獨立思考和探索能力，但對分類討論、化歸與轉化等數學思想方法及“由特殊到一般”的認知能力有待加強。

三、教學目標

（1）讓學生理解圓周角的概念，能識別圓周角并畫出圓周角；（2）讓學生掌握圓周角定理，會求圓周角的度數；（3）讓學生會會用符號語言表述圓周角定理；（4）讓學生會運用圓周角定理解決簡單問題。

四、教學過程

（一）引入新課

教師先播放福建土樓的相關視頻，然后提問：為了更好地保護世界文化遺產，某土樓公司正在為圓形土樓安裝監控攝像頭，每臺攝像頭的監控角度是[65°]，如圖1所示，請思考以下問題。

問題1：若按圖2所示，把攝像頭安裝在土樓中央的矮屋頂上，至少要安裝幾個攝像頭才能監控整個土樓？

問題2：若按圖3所示，把攝像頭安裝在土樓走廊的欄桿上，至少需要安裝幾個攝像頭才能監控整個土樓？

追問：[∠DCE]是圓心角嗎？

設計意圖：以身邊的現實問題為情境，回顧圓心角的概念，引出圓周角，激發學生學習的興趣和欲望。

（二）類比概念

問題3：請同學們觀察圖2中的[∠AOB]與圖3中的[∠DCE]，它們有何異同？

問題4：你能類比圓心角的概念并給圓周角下定義嗎？圓周角的定義要滿足哪些條件？

追問：為什么圓心角的概念中可不強調“兩邊都與圓相交”？

設計意圖：通過圖形的比對以及概念的類比，讓學生經歷對圓心角和圓周角的感知、分析、比較、抽象和歸納過程。

（三）應用概念

問題5：如下五個圖形中，哪些角是圓周角？為什么？

設計意圖：通過具體案例，從正反兩個方面加深學生對圓周角本質屬性的理解。

問題6：如圖5所示，四邊形[ABCD]是正方形，你能否找出圖中的圓心角及其同一條弧所對的圓周角？

設計意圖：讓學生在更為復雜的組合圖形中辨認圓心角和圓周角。

（四）定理探究

探究1：同一條弧所對的圓周角和圓心角在大小上有關系嗎？

設計意圖：用[90°]圓心角和[180°]圓心角的特殊性，引導學生觀察、猜想。

探究2：利用幾何畫板，驗證猜想。

操作1：用幾何畫板畫出圓周角[∠ABC]，量它的度數，再畫[AC]所對的圓心角[∠AOC]并量出它的度數，驗證猜想。

操作2：拉動頂點[B]，觀察[∠ABC]的角度值是否會改變。

操作3：拉動圓心[O]，改變圓[O]半徑， 觀察[∠ABC]與[∠AOC]的角度值。

操作4：移動點[A]或點[C]，觀察[∠ABC]與[∠AOC]的角度值是否同時改變，[∠ABC]與[∠AOC]的大小關系怎樣？

設計意圖：用幾何畫板進行展示，讓學生進一步驗證猜想，為定理證明做鋪墊。

（五）合作提升

活動1：學生討論圓心與圓周角的位置關系。

活動2：教師用投影儀展示各個小組的學習成果。

經過大家討論和補充，最終得出圓心與圓周角的三種位置關系，如圖6所示。

設計意圖：讓學生主動參與學習，在合作學習中培養學生的概括能力、空間觀念、符號意識、分類討論思想和數形結合思想。

活動3：分類證明。

當圓心在圓周角的一邊上時，學生討論證明方法和思路；各組派代表分享解題思路和推理過程。

教師總結：把圓心角與圓周角的關系問題轉化為等腰三角形外角與內角的關系問題，如圖7所示。

設計意圖：通過說理活動，讓學生在合作與交流中體會轉化思想。

當圓心在圓周角的內部時，學生嘗試解決相關問題（估計有一定的困難）。教師提示：能否把它轉化為第一種情況？（引導學生作輔助線）教師展示正確的解答過程，并補充說明，如圖8所示。

當圓心在圓周角的外部時：

小組成員共同完成證明過程，請小組代表上臺講解，教師點評，如圖9所示。

設計意圖：讓學生在構造基本圖形的過程中培養空間觀念、推理能力和轉化思想。

教師引導學生總結歸納上述證明過程，如圖10所示。

通過圓心在圓周角的一邊上、圓周角的內部、圓周角的外部三種情況的證明，得出圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。

設計意圖：通過動畫演示，引導學生一起歸納，厘清學生的解題思路，鍛煉學生的概括能力。

（六）引導發展

若按圖3所示，把攝像頭安裝在土樓走廊的欄桿上，至少需要安裝幾個攝像頭才能監控整個土樓？

設計意圖：與課堂引入問題相呼應，提高學生解決實際問題的能力。

（七）當堂檢測

1.下列說法正確的是（ ? ? ? ?）。

A.頂點在圓上的角是圓周角

B.兩邊都和圓相交的角是圓周角

C.圓心角是圓周角的 2 倍

D.圓周角度數等于它所對圓心角度數的一半

2.如圖11所示，[A、B、C、D]是圓[Ο]上的點，若[∠1=80°]，則[∠C=] ? ? ? ? ? ? ，[∠D=] ? ? ? ? ? ? 。

設計意圖：通過解答本題，讓學生加深對圓周角定理的理解，也為證明圓內接四邊形對角互補埋下伏筆。

3.我校是省足球特色校及示范校，七年級的甲、乙兩名新球員在足球場進行無人防守的射門訓練，他們分別站在球門前的圓上Ａ、Ｂ位置上（如圖12所示）。他們都說自己的位置射門好，對球門CD的張角大。

（1）甲、乙兩名足球運動員誰說得對？

（2）我校足球運動員在一次比賽中正在向對方球門進攻，當后衛李明帶球沖到Ｅ點時，兩名隊友也到達了Ａ、Ｂ點的位置（如圖13所示），單從射門角度的大小考慮，李明應把球傳給誰？

設計意圖：檢測學生課堂學習效果，便于改進教學。

（八）課后作業

1.必做題：（1）寫一篇關于本節課的學習體會（300字以上）；（2）課本習題24.1第5、第14題。

2.選做題：課本第91頁“拓廣探索”第17題。

設計意圖：分層布置作業，調動學生的學習積極性，讓不同的學生有不同的收獲。

五、設計思考

（一）創設情境是設計的切入點

學生數學能力的發展和素養的形成與情境密不可分。本節課通過世界文化遺產福建土樓的視頻引入新課，在當堂檢測中借助足球射門訓練的問題，創設了真實的問題情境，讓數學問題的生成更加自然，學生學習數學的熱情倍增，感受數學的真實有用。圍繞圓心角、圓周角等重要概念、原理和解決問題的思維方式，落實學科育人，引導學生學會用數學的眼光去觀察現象、發現問題，學會用恰當的數學語言、模型描述問題，學會用數學的思想、方法解決問題。情境和情境活動的設計，可以關注學生與未來學習的關聯和對數學學科的深度探索，也可以關注學生與社會實踐的關聯，體現分析問題、解決問題的全過程，提升學生的思考能力。

（二）基于問題導向是設計的著眼點

問題是學生數學學習的起點，精準的問題為學生提供了更多表現機會。關鍵教學點的設計要以問題為導向，通過設計有層次的問題，引導學生深入開展學習活動，讓學生感悟數學知識的發生與發展，經歷解決問題的全過程，將轉變學生的學習方式落在實處，實現知識向能力的轉化。本節課自始至終都以問題為教學主線，為學生提供了基于發現的學習活動，在圓周角概念的引入中提高觀察能力和抽象素養，在定理的探究中通過幾何畫板的動態演示，提升學生發現、歸納、猜想的能力，在概念及定理的應用中增強合作探究、邏輯推理、交流表達、解決實際問題等能力，有效突破了教學難點。

（三）滲透數學思想是設計的著力點

數學思想方法是數學的靈魂，是夯實“四基”、發展“四能”的突破口，關鍵教學點的設計要重視數學思想方法的滲透。教師多引導學生用數學眼光去審視問題，才能促進學生創新思維和實踐能力的發展。本節課在圓周角概念的引入中，運用類比推理的方法，根據圓心角的特征去推測圓周角的特征。在圓周角定理的證明中，由于圓心與圓周角位置關系具有不確定性，教師可通過分類與整合思想引導學生加以討論，全面而具體，做到不重不漏，培養了學生思維的嚴謹性和靈活性，還滲透著“數形結合”“化歸與轉化”“特殊與一般”等數學思想，這對學生今后的數學學習將產生深遠的影響。

（責任編輯 黃桂堅）