基于深度學習的高三數學復習教學研究

黃文芳

［摘 要］文章著重分析高考數學“比較大小”的真題和模擬題的考查形式和命題理念。通過試題研究發現，高三數學復習教學應以培養學生的學科核心素養為出發點和歸宿，并引導學生進行深度學習。

［關鍵詞］深度學習；高三數學；復習教學；比較大小

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0008-05

一、研究背景

《普通高中數學課程標準（2017年版2022年修訂）》中的“基本理念”強調：優化課程結構，突出主線，精選內容；把握數學本質，啟發思考，改進教學。深度學習是素質教育背景下轉變學習淺層化和表面化的需要，同時也是提升學生學科素養的必要路徑。近幾年來，高考對學生的數學學科核心素養提出了更高的要求，最直接的表現就是試題難度加大，更加注重考查學生的解決問題的能力。通過分析近十年全國高考數學“比較大小”的真題和模擬題的考查形式和命題理念發現，高三數學復習教學應以培養學生的學科核心素養為出發點和歸宿，并引導學生進行深度學習。表1所示是2012—2022年高考數學真題中的“比較大小”方法匯總。

通過表1，我們發現“比較大小”問題幾乎年年出現在高考選擇題中，近幾年有偏向壓軸題的趨勢。在高考模擬卷和高考卷中，此類問題的“精度”要求變得越來越高，意味著難度也越來越大。有些問題需借助泰勒展開式來處理，這無形之中增加了學生的學習負擔。

筆者以近十年全國各地高考數學“比較大小”真題和各地模擬題為研究藍本，分析了相應的高考考查形式和命題理念，并以此優化復習教學，收到了良好的效果。

二、教學案例

（一）利用指數函數、對數函數和冪函數的性質比較大小

利用指數函數、對數函數和冪函數的性質比較大小類問題是最基礎的“比較大小”題型，它適用于同類型函數比較大小，即指數函數和對數函數通過討論指數、對數的底數是大于1或者是小于1，利用單調性比較大小，而冪函數則通過冪指數的正負性判斷函數值的大小。它們涉及底數、冪、真數，如果三者之一都不同，需要進行換底、換冪和換真數。

1.辨清指數函數、冪函數，提高分辨能力

［例1］設[a=0.60.6]，[b=0.61.5]，[c=1.50.6]，則[a]、[b]、[c]的大小關系是 ? ? ? ? ? ? 。

分析：本題中[a]和[b]同底，[a]和[c]同冪，因此可以按照同底和同冪的性質分別比較大小，利用指數函數和冪函數的單調性比較大小。

解：先比較[a]和[b]，由于[y=0.6x]是減函數，因此[0.60.6>0.61.5]，從而[a>b]；再比較[a]和[c]，由于[y=x0.6]是增函數，因此[0.60.6<1.50.6]，從而[a

歸納：遇到同底或同冪類型的大小比較，要先分清是指數函數還是冪函數，然后再利用單調性進行大小比較。

2.靈活處理細節，提高解題能力

［例2］（1）比較[a]、[b]、[c]的大小：[a=log1312]，[b=log1323]，[c=log343]。

（2）比較[a]、[b]、[c]的大小：[a=log36]，[b=log1516]，[c=log46]。

（3）比較[a]、[b]、[c]的大小：[a=40.9]，[b=80.48]，[c=12-1.5]。

分析：指數、對數大小比較，先研究底數，若同底，則直接利用它們的單調性比較；若不同底，先用換底公式換成同底，再結合單調性比較。但對數還有一種情形，就是底數不同，但真數相同，這便再分真數大于1和真數小于1的情況得到結果。

解：（1）首先比較[a]和[b]，由于[y=log13x]是減函數，因此[log1312>log1323]，從而[a>b]；再比較[a]和[c]，由于[y=log3x]是增函數，因此借助換底公式得[log1312=log32>log343]，從而[a>c]；然后比較[b]和[c]，借助換底公式得[log1323=log332>log343]，從而[b>c]；最后得到[c

（2）[a]和[c]的真數相同，[b]的真數[16]與6有關系，通過對數的換底公式得[b=log1516=log56]，從而[a，b，c]真數均相同；根據真數6大于1，底數[3<4<5]，底數越小，函數值越大，從而有[a>c>b]。

（3）底數不同，可以換底，采用[axy=（ax）y=（ay）x]，可得[a=（2）20.9=22×0.9=21.8]，[b=（2）30.48=23×0.48=21.44]，[c=（2）-1-1.5=2（-1）×（-1.5）=21.5]，進而利用指數函數的單調性得[a>c>b]。

歸納：如果底數不同，可借助換底公式然后利用單調性比較大小。常用的換底公式為[logambn=nmlogab]，[axy=（ax）y=（ay）x]。底數不同，真數相同，真數大于1，底數越小，函數值越大；真數大于0且小于1，底數越小，函數值越小。

3.挖掘深意，提高思維能力

［例3］設[a=log23]，[b=log46]，[c=log69]，則（）。

A. [c>b>a]B. [b>c>a]

C. [a>c>b] D. [a>b>c]

分析：對數大小比較，先觀察底數和真數，如果它們均不同，但是底數和真數之間存在相同的比例關系，則可以采用“換真數”的方法進行判斷。

解：[32=64=96]，當真數與底數都不相同，但是真數與底數的比例相同時，可以用“換真數”的方法（用底數表示真數）：[logaxy=logax+logay]，從而[a=log22×32=log22+log232=1+log232]，[b=log44×64=log44+log464=1+log432]，[c=log66×96=log66+log696=1+log632 ]，最終比較[log232]、[log432]、[log632]三個數的大小。由于真數相同，底數不同，根據對數的圖象和單調性，以及“真數相同時當底數大于1時，底數越小，函數值越大”，可得出[a>b>c]。

歸納：當真數與底數都不相同，但是真數與底數的比例相同時，可以用“換真數”的方法進行判斷。

總結：在解決同類型函數“比較大小”問題時，無論是指數函數、對數函數還是冪函數，關鍵抓的就是底數、真數和冪，盡量通過變形化簡運算使它們有一者相同，進而利用函數的單調性判斷大小。

（二）與具體數字比較大小

1.借助具體數字比較

［例4］（1）已知[a=log0.53]，[b=log52]，[c=20.5]，則（）。

A. [c

C. [a

（2）已知[a=log27]，[b=log38]，[c=0.30.2]，則（）。

A. [c

C. [b

分析：同時出現了指數、對數兩種類型的函數，如果底數、真數、冪不同，就要與具體數字來比較。首先借助特殊值“0”“1”來比較，但如果無法用“0”“1”時，就要借助其他數，如“2”“3”“[12]”等。

解：（1）[log0.5320=1]，[a

（2）[log27>log22=1]，[log38>log33=1]，[0.30.2<0.30=1]，此時[a]和[b]均是比1大的數，只能采取其他數。而[log27>log24=2]，[log38

歸納：當出現不同類型的函數時，首先借助特殊值“0”“1”來比較大小。如果達不到目的，需要再去找其他數，如“2”“3”“[12]”等。

2.與特殊值比較

熟記以下三個數：[ln2≈0.7]，[ln3≈1.1]，[ln5≈1.6]，當題目出現與之有關的式子時，可通過其對應的值或者對數運算法則進行大小比較。

［例5］設[a=log2e，b=ln3，c=e-23]，則（）。

A.[a

C. [c

分析：題目出現[ln2]，[ln3]，[ln5]中的一個或多個時，可以快速利用它們的特殊值進行計算比較大小。

解：[a=log2e=1ln2=10.7≈1.4]，[b=ln3≈1.1]，[c=e-23=1e23<1]，所以[a>b>c]。答案選D。

歸納：當0，1之間無法區分函數值的大小，需要更加精確的值；當出現對數時，借助幾個特殊的對數值，能讓答案顯而易見。

3.與“[ba]”比較

［例6］設[a=log32]，[b=log53]，[c=23]，則（）。

A. [a

C. [b

分析：若題目沒有出現[ln2]，[ln3]，[ln5]，可以通過換底公式用[ln2]，[ln3]，[ln5]表示，比較出[a、b、c]的大?。坏侨绻请S意給出的一個對數或者較復雜的對數，除了可以通過換底轉化成特殊值計算，還可以用[ba]估算。由于[logab]的值與[ba]的值幾乎接近，因此可用此方法比較大小。

解：[a=log32=ln2ln3≈0.64]，[b=ln3ln5≈0.69]，[c=23≈0.67]，所以[a

總結：與具體數字比較大小是選擇一些滿足題意的特殊值，通過與特殊值比較，從而比較出指數、對數函數式的大小的一種方式，其能將運算過程化繁為簡，提高運算的速度和正確率。

（三）構造函數

利用函數單調性原理，如果一個函數是增函數且有[f（x1）

1.構造特殊函數比較大小

對形如[f（x）=lnxx]的結構，利用求導可得在[（0，e）]上遞增，（e，+∞）上遞減，其適用范圍有以下兩種情況：①[ab]與[ba]；②[logab]與[ba]。

［例7］已知[a=3ln2π]，[b=2ln3π]，[c=3lnπ2]。則下列選項正確的是（）。

A. [a>b>c]B. [c>a>b]

C. [c>b>a]D. [b>c>a]

解：[a=3ln2π=3πln2]，[b=2πln3]，[c=6lnπ]，三個數同時除以[6π]，即可以轉化為[a=ln22]，[b=ln33]，[c=lnππ]，因此可以構造函數[f（x）=lnxx]，[f（x）=lnxx]在[（0，e）]上遞增，（e，+∞）上遞減，[b、c]在同一個單調區間內，[a]不在，務必將[a]變形為[a=ln22=2ln24=ln44]，此時[a、b、c]都在（e，+∞）上且遞減，綜上可得[ln44c>a]，答案選D。

歸納：對于結構類似，底數、真數或者指數反復出現的題目，可以構造函數[f（x）=lnxx]來解答，有些題目不顯而易見，需要進行化簡變形，注意自變量的取值范圍要在對應的單調區間上方可比較大小，如果不在，則無法比較。

2.構造一般函數比較大小

構造函數難度比較大，最關鍵的是先分離變量再構造函數。以變量為主，進行構造。

［例8］若[2x-2y<3-x-3-y]，則（）。

A. [ln（y-x+1）>0] B. [n（y-x+1）<0]

C. [lnx-y>0]D. [lnx-y<0]

分析：該題的算式結構很類似，且變量也相對單一，就可以用構造函數的方法比較大小。先分離變量，再構造，最后利用單調性比較大小。

解：先分離變量：[2x-3-x<2y-3-y]，再構造函數[F（x）=2x-3-x]，[F（y）=2y-3-y]，即原不等式轉化已知[F（x）0]，[y-x+1>1]，所以[ln（y-x+1）>0]。答案選A。

三、結語

與指數式、對數式、冪函數式相關的比較大小的試題，集指數函數、對數函數、冪函數、導數、不等式等眾多知識于一體，綜合性強，解題方法靈活多樣，體現了對數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算以及直觀想象等學科核心素養的考查。除本文介紹的方法外，還有作差作商、基本不等式等方法。在實際的解題過程中，可根據題目的條件選擇恰當的方法，以使解題效果最優化。

總之，對高三數學復習課來說，課堂教學是基礎，深度學習是過程，發展學科核心素養是目標，三者邏輯相關，有機統一。開展基于深度學習的高三數學復習教學，有助于培養學生的數學學科核心素養，為學生高效地復習提供保障。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?劉曉玫.深度學習：走向核心素養［M］.北京：教育科學出版社，2019.

［3］ ?白軍祥.比較大小問題的題型歸納與教學啟示：從一道“八省聯考”試題談起［J］.中學數學教學參考， 2022（9）：25-27.

［4］ ?郭學博.“冪指對”大小的比較解析［J］.中學生數學，2021（9）：7-8.

（責任編輯 黃桂堅）