基于斷齒故障下的斜齒輪副動態性能研究

閆春愛，劉明勇，鄧恩喜，韓新光

基于斷齒故障下的斜齒輪副動態性能研究

閆春愛1，劉明勇*,2，鄧恩喜2，韓新光2

（1.武昌工學院 智能制造學院，湖北 武漢 430065； 2.湖北工業大學 湖北省農機裝備智能化工程技術研究中心，湖北 武漢 430068）

為了探究斷齒故障因素對齒輪傳動系統的動態特性，通過勢能法，考慮赫茲、彎曲、剪切及軸向壓縮，結合切片法，研究齒輪時變嚙合剛度的影響規律。綜合考慮齒輪時變嚙合剛度、時變嚙合阻尼、靜態傳遞誤差及摩擦激勵等因素，基于斜齒輪動力學模型，采用Runge-Kutta法求解，研究了故障參數對系統動力學特性的影響。結果表明，含斷齒故障的齒輪綜合有效嚙合剛度有較大幅度的減小，系統中的動態傳遞誤差、振動速度及振動加速度出現周期性沖擊現象，頻域響應出現了以嚙合頻率為中心的邊頻信號，研究結果可有效實現斷齒齒輪傳動故障的識別。

斷齒故障；嚙合剛度；動力學模型；周期性

齒輪系統常在高轉速、高溫度、承載惡劣等復雜使役環境下運行。在封閉的齒輪箱中，斷齒故障是齒輪傳動中最常見的故障之一，不易被發現，斷齒故障的發生會嚴重影響機械傳動系統的可靠運行和安全性，造成齒輪的疲勞壽命降低，影響設備的性能和使用，甚至會造成嚴重的機械事故。齒輪副時變嚙合剛度是進行齒輪系統動力學分析的重要參數，可較好地反映斷齒故障下齒輪系統的振動特征情況。因此，研究斷齒故障下齒輪動態特性規律是保障設備安全的重要手段之一。

時變嚙合剛度常常作為齒輪傳動系統動力學分析的輸入條件，國內外學者對時變嚙合剛度開展系列研究。林騰蛟等[1]對斜齒輪進行了研究，使用有限元法分析各種裂紋參數對其嚙合的影響，結果表明，齒輪嚙合剛度隨裂紋的增大而減小；馬銳等[2]建立了單對齒輪的理論模型，分析其裂紋形成因素和振動特性，得到了含裂紋齒輪的動力學特性；朱麗莎等[3]提出了基于切片思想及切片耦合理論的斜齒輪嚙合剛度計算方法，并分析了斜齒輪時變嚙合剛度；萬國志等[4]提出一種考慮齒根圓與基圓不重合時的嚙合剛度修正方法，并采用勢能法求解齒輪時變嚙合剛度；Saxena等[5]采用勢能法求得直齒輪副的嚙合剛度，研究了不同裂紋長度對齒輪轉子系統模態特性頻率響應特性的影響；劉文等[6]依據切片法和積分思想，提出齒輪基圓與齒根圓大小不一致的情況下的齒輪時變嚙合剛度修正算法；Wang等[7]提出斜齒輪時變嚙合剛度還應考慮齒輪的軸向彎曲剛度、軸向扭轉剛度與軸向基體剛度；肖正明[8]針對含有裂紋的行星齒輪進行了分析，建立了系統的動力學模型并進行了仿真分析，結果表明，建立的模型精度較高。王彥剛等[9]分析了不同故障下齒輪的非線性特性，建立了齒輪系統的動力學模型并進行分析，可以有效地區分故障信號的大小。在齒輪斷齒故障方面，強仕杰等[10]基于ISO剛度計算準則對任意斷齒角度下斜齒輪副嚙合剛度的求解；嚴作堂等[11]通過斷齒信號分析，提取了斷齒故障特征并確定斷齒的嚴重性和數量；陳寶慶等[12]分析了嚙合力的幅值隨著斷齒程度的增加而明顯增加。

現有研究對齒輪的時變嚙合剛度進行了很好的評價，但若能在封閉齒輪箱中綜合考慮故障因素對系統的振動動態響應規律，將更有助于斜齒輪傳動系統的振動特性研究。因此，本文在建立斜齒輪斷齒三維模型下，研究斷齒故障下齒輪副時變嚙合剛度規律，基于Runge- Kutta法求解，分析斷齒故障下不同動力學參數對傳動系統動態特性的影響規律，對齒輪副嚙合狀態的故障預測具有重要的工程研究意義。

1 斷齒故障下的斜齒輪建模及嚙合剛度計算

考慮小齒輪上其中一個輪齒發生斷裂，利用SolidWorks軟件的參數化建模如圖1所示。

圖1 斜齒輪斷齒三維模型

準確有效的時變嚙合剛度計算方法是進行動力學分析的關鍵，考慮計算時變嚙合剛度的關鍵是求出輪齒嚙合時的彈性變形量。如圖2所示，本文基于r＞r情況，考慮小齒輪其中一個輪齒斷裂，將輪齒嚙合等效為變截面梁，運用勢能法得到齒輪的有效綜合嚙合剛度。圖2中：x為齒根圓與基圓在齒高方向的距離；為截面的齒曲線上的點與基圓在齒高方向的距離；為嚙合點與基圓在齒高方向的距離；0為基圓與齒根圓接觸齒面上的圓弧半徑；h為截面的齒曲線上的點與齒輪中心線之間的距離；為合點與齒輪中心線之間的距離；0為齒面上齒根圓與基圓之間的夾角；2為壓力角；α為嚙合點在齒根方向的切線與齒輪中心線之間的夾角；為截面的齒曲線上的點在齒根方向上的切點與齒根圓之間的夾角；F為嚙合點中配合齒的剪切力；F為嚙合點中配合齒的彎曲力；為嚙合點中配合齒的作用合力。

圖2 接觸齒對力學模型圖

根據文獻[13]中的彈性勢能法，考慮齒輪嚙合過程中的赫茲接觸能、彎曲勢能、剪切勢能、軸向壓縮能，計算斷齒故障的綜合嚙合剛度。

根據能量法計算嚙合齒輪儲存的勢能為：

根據勢能與剛度的關系可以得到：

式中：U為赫茲剛度；U為彎曲勢能；U為剪切能；U為軸向壓縮能；k為赫茲剛度；k為彎曲剛度；k為剪切剛度；k為軸向剛度；I為有效面積慣性矩；A為有效橫截面面積，；扭矩為F的彎曲效應。

得出齒輪的赫茲接觸剛度為：

式中：為楊氏模量；為接觸線長度；為泊松比。

齒輪的彎曲剛度如式（9）所示，剪切剛度如式（10）所示，壓縮剛度如式（11）所示。

式中：1為嚙合點在齒根方向上的切點與齒根圓之間的夾角。

根據式（8）～（11）得出綜合嚙合剛度為：

式中：下標1、2分別代表小齒輪和大齒輪。

如圖1所示，小齒輪上其中一個輪齒發生斷裂。若該輪齒未斷裂，當它旋轉到嚙合區域時，它會與配合齒輪的大齒輪進行嚙合。在雙齒嚙合區，斷裂齒未發生接觸，依舊為單齒嚙合。因此，綜合有效嚙合剛度等價于單齒嚙合剛度，綜合有效嚙合剛度為：

本文采用齒輪的參數如表1所示。

表1 齒輪幾何模型基本參數

2 斷齒對齒輪時變嚙合剛度的影響

假設小齒輪為斷齒故障齒輪，雙齒嚙合區發生單齒嚙合，其綜合嚙合剛度如圖3所示，可以得到，參與嚙合的一對齒輪中其故障齒的嚙合剛度比理想齒輪有較大幅度的降低。

齒輪進行周期性連續傳動，采用切片法研究周期性時變嚙合剛度對揭示齒輪運行規律有意義。圖4為理想與斷齒故障下的斜齒輪時變嚙合剛度變化。對比可知，斷齒故障下齒輪副綜合嚙合剛度在故障接觸區域中低于相應理想下齒輪副綜合嚙合剛度。斷齒故障嚙合區下的綜合嚙合剛度大幅度降低，但由于斜齒輪交叉嚙合，其斷齒故障綜合嚙合剛度不會為零。

圖3 斷齒條件下綜合嚙合剛度變化

圖4 斷齒條件下斜齒輪綜合剛度變化

3 斜齒輪扭轉振動動力學模型

以單級斷齒故障斜齒輪傳動系統為研究對象，采用集中質量法建立了齒輪時變嚙合剛度、時變嚙合阻尼、靜態傳遞誤差及摩擦激勵的斜齒輪副單自由度動力學模型。模型如圖5所示。

由牛頓第二定律可得扭轉振動的動力學方程為：

式中：Ip、Ig分別為小齒輪和大齒輪轉動慣量；Tp、Tg分別為小齒輪和大齒輪施加恒定扭矩；M1、M2分別為小齒輪和大齒輪上時變摩擦力矩；θp、θg分別為小齒輪和大齒輪轉角；β為分度圓螺旋角；rb1、rb2分別為小齒輪和大齒輪基圓半徑；k (t)為時變嚙合剛度；cm為嚙合阻尼；e(t)為輪齒綜合誤差。

針對本文中給出的傳動系統參數及模型，運用2012版本的fortran仿真軟件，采用變階Runge-Kutta法求解得到斷齒故障斜齒輪傳動系統的振動響應。

4 斜齒輪扭轉振動動力學特性分析

4.1 轉速對斜齒輪扭轉振動動力學特性的影響

圖6～8給出了扭矩50000 N·m、轉速分別為3785 r/min和5785 r/min時的動力學特性。

圖6 不同轉速條件下動態傳遞誤差變化

圖7 不同轉速條件下振動速度變化

圖8 不同轉速條件下振動加速度變化

如圖6所示，斷齒故障的輪齒在不同轉速下的動態傳遞誤差存在周期性沖擊響應間隔、振動響應強烈，分別為0.016 s和0.01 s，轉速小的沖擊間隔是轉速大的沖擊間隔的1.6倍。如圖7所示，斷齒故障的輪齒在不同轉速下的振動速度存在周期性沖擊響應間隔、振動響應強烈，最大分別為0.194 mm/s和0.2604 mm/s，轉速較大時振動速度較平穩劇烈。如圖8所示，斷齒故障的輪齒在不同轉速下的振動加速度存在周期性沖擊響應間隔、振動響應強烈，最大分別為4009 mm/s2和5017 mm/s2，轉速較大時振動加速度較平穩劇烈。

4.2 扭矩對斜齒輪扭轉振動動力學特性的影響

圖9～11給出了轉速3785 r/min、扭矩分別為500 N·m和50000 N·m時的動力學特性。可以看出，含有斷齒故障的小齒輪在不同扭矩條件下呈現明顯的周期性，振動響應強烈。

圖9 不同扭矩條件下動態傳遞誤差變化

如圖9所示，扭矩為50000 N·m的動態傳遞誤差高于扭矩為500 N·m的動態傳遞誤差。如圖10所示，振動速度分別為1.406 mm/s和2.735 mm/s，扭矩較大時振動速度響應較平穩劇烈。如圖11所示，振動加速度最大分別為6716 mm/s2和56500 mm/s2，扭矩較大時振動加速度振動響應越平穩強烈。

4.3 斷齒故障對斜齒輪扭轉振動動力學特性的影響

轉速3785 r/min時輪齒轉頻63 Hz、嚙合頻率1198 Hz。圖12～14給出無故障條件下與扭矩500 N·m、轉速3785 r/min時斷齒故障條件下的動力學時域響應變化與相應頻域變化。

圖10 不同扭矩條件下振動速度變化

圖11 不同扭矩條件下振動加速度變化

圖12 動態傳遞誤差時域振動響應變化與相應頻域變化圖

圖13 振動速度時域振動響應變化與相應頻域變化圖

如圖12（a）所示，斷齒故障下的動態傳遞誤差時域響應存在周期性沖擊響應間隔，高于無故障下的時域響應。如圖13（a）所示，斷齒故障下的振動速度時域響應存在周期性沖擊響應間隔，高于無故障下的時域響應。如圖14（a）所示，斷齒故障下的振動加速度時域響應存在周期性沖擊響應間隔、最高6748 mm/s2，無斷齒故障下的時域響應為4124 mm/s2，斷齒故障下的時域響應高于無故障下的時域響應。

圖14 振動加速度時域振動響應變化與相應頻域變化圖

如圖12（b）、圖13（b）、圖14（b）所示，在無故障條件下與在扭矩500 N·m、轉速3785 r/min時的斷齒故障條件下的動態傳遞誤差、振動速度、振動加速度時域對應的頻域響應譜中出現以嚙合頻率為中心的調頻邊帶，斷齒故障下的動態傳遞誤差、振動速度、振動加速度頻域響應譜中出現明顯的變頻振動效應，斷齒故障下輪齒的邊頻效應和振動幅頻高于無斷齒故障下的邊頻效應和振動幅頻、動態傳遞誤差響應譜中其中相鄰兩個邊頻效應頻率間隔為64 Hz、嚙合頻率為1198 Hz。振動速度響應譜中其中相鄰兩個邊頻效應頻率間隔為63 Hz、嚙合頻率為1198 Hz。振動加速度響應譜中其中相鄰兩個邊頻效應頻率間隔為65 Hz、嚙合頻率為1198 Hz，斷齒故障的存在導致邊頻效應的轉頻不一致，振動加速度響應譜中邊頻效應高于動態傳遞誤差和振動速度邊頻效應。輪齒的轉頻與嚙合頻率相對應于斷齒故障齒輪的轉頻與嚙合頻率。該變化下的動力學特性可用于分析傳動系統的斷齒故障的存在。

5 結論

利用建立的斷齒故障下的三維模型及動力學模型，總結一對單級傳動系統斜齒輪斷齒故障因素的時變嚙合剛度變化及傳動系統動態特性規律，得出如下結論：

（1）斷齒故障的存在影響了輪齒的嚙合時變剛度，進而影響了系統的動力學響應。

（2）斷齒故障對齒輪副嚙合剛度的影響較大，出現斷齒區域部分的齒輪，綜合嚙合剛度會有較大幅度的減小。

（3）建立了含斷齒故障的傳動系統動力學模型，通過動力學仿真得出，存在斷齒時系統動態傳遞誤差，振動速度和振動加速度出現了周期性的沖擊響應現象，轉速越大時系統的動態傳遞誤差振動響應越快，振動速度和振動加速度越大，振動響應越平穩強烈。扭矩大的動態傳遞誤差高于扭矩小的動態傳遞誤差，振動速度和振動加速度越大，振動響應越平穩強烈。系統的相鄰兩個沖擊間隔時間為斷齒故障齒輪傳動周期，頻域響應中出現了以嚙合頻率及其倍頻為中心的調頻邊帶，邊頻間隔為斷齒故障嚙合齒輪轉頻。

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Research on Dynamic Performance of Helical Gear Pair Based on Tooth Breakage

YAN Chun’ai1，LIU Mingyong2，DENG Enxi2，HAN Xinguang2

(1.College of Intelligent Manufacturing, Wuchang Institute of Technology, Wuhan 430065, China; 2.Hubei Province Agricultural Equipment Intelligent Engineering Technology Center, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China )

In order to explore the dynamic characteristics of gear transmission system caused by tooth breakage, considering the factors of Hertz, bending, shearing and axial compression, the time-varying meshing stiffness of the gear is studied through the potential energy method combined with the slicing method. Considering the time-varying meshing stiffness, time-varying meshing damping, static transmission error, friction excitation and other factors, on the basis of the helical gear dynamic model, the Runge-Kutta method is used to study the influence of the fault parameters on the system dynamic characteristics. The results show that the comprehensive and effective meshing stiffness of the gear with tooth breakage is greatly reduced, the periodic shock occurs in the dynamic transmission error, vibration velocity and vibration acceleration in the system, and the side frequency signal centered on the meshing frequency appears in the frequency domain response. The research results can effectively realize the transmission failure identification of the gears with tooth breakage.

tooth breakage；meshing stiffness；dynamic model；periodicity

TH132.41

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2023.07.009

1006-0316 (2023) 07-0058-08

2022-10-18

武昌工學院校級科學研究項目（2022KY03）；現代制造質量工程湖北省重點實驗室開放課題（KFJJ-2022013）

閆春愛（1985－），女，河北唐山人，碩士，講師，主要研究方向為齒輪設計，E-mail：664874648@qq.com。*通訊作者：劉明勇（1985－），男，江西九江人，副教授，博士，主要研究方向為機械動力學，E-mail：lmy8508@qq.com。