軌道交通超高順坡率變化的緩和曲線盾心平面坐標計算及盾心曲線擬合方法

朱禮佳

(上海市政工程設計研究總院(集團)有限公司,200092,上海∥工程師)

軌道交通車輛經過曲線段時會產生離心力。為了平衡離心力,提升乘坐舒適度,曲線段軌道需設置超高。曲線段軌道超高值(以下簡稱“超高值”)一般在緩和曲線內遞減,其超高順坡率不宜大于2‰。由于存在軌道超高,車輛會產生傾角,在盾構區間內,車輛中心線就會偏離盾構中心線,這種偏移即為盾心偏移。在設計過程中,可將該偏移量提前計入盾心坐標中,使盾構中心線與車輛中心線重合,從而提高盾構掘進準確度,降低后期調線調坡難度。

超高順坡率恒定的緩和曲線盾心坐標計算方法已相對成熟。然而,在實際設計過程中,受城市建設條件的限制,常會遇到緩和曲線侵入站臺的情況。對此,設計規范明確要求:在車站站臺有效長度范圍內,超高值不應大于15 mm[1-2]。由此可知,當站臺端處超高值超過15 mm時,進站前后的緩和曲線超高順坡率不同。對于超高順坡率變化的緩和曲線,常規的三次拋物線擬合曲線往往難以滿足設計精度要求。對此類緩和曲線的盾心坐標計算及曲線的擬合分析也尚未有相關研究。本文利用構建等效模型的方法得到超高順坡率變化的緩和曲線任意點盾心偏移平面坐標的計算方法,通過優化擬合模型提升盾心曲線擬合精度,得到軌道交通盾心曲線擬合優度的判斷方法,以期為各類軌道交通設計及盾構施工提供理論支撐。

1 順坡率固定的緩和曲線坐標計算

一般情況下,緩和曲線上的超高順坡率是固定值,在求得緩和曲線線路平面坐標后,結合盾心偏移量,即可求出緩和曲線盾心平面坐標。

1.1 盾心平面偏移量的計算

單圓盾構盾心偏移斷面如圖1所示。由幾何關系可以求得盾心橫向偏移量e為:

圖1 單圓盾構盾心偏移斷面示意圖

e=Hh/S

(1)

式中:

H——軌面至盾心距離;

h——軌道超高量;

S——軌距。

1.2 線路平面坐標計算

為方便計算,以直緩點為原點,建立絕對坐標系。則絕對坐標系下的緩和曲線盾心偏移如圖2所示。設曲線半徑為R,緩和曲線總長度為L,緩和曲線上任意點λ的平面坐標為(x,y),λ與直緩點間的緩和曲線長度為l。

圖2 絕對坐標系下緩和曲線盾心偏移示意圖

利用泰勒級數展開,并根據軌道交通設計精度要求取其前兩項后,得到點λ的線路平面坐標(x,y)為[3]:

(2)

1.3 盾心平面坐標計算

對于點λ對應的橫向偏移量δ可由超高引起的橫向偏移量求得:

δ=el/L=Hhl/(SL)

(3)

設點λ處緩和曲線切線與X軸夾角為α,其中α=l2/(2RL)。將sinα及cosα進行泰勒級數展開并取其前兩位為有效精度值。那么超高順坡率固定情況下緩和曲線盾心平面坐標(xa,ya)可以表示為:

(4)

2 順坡率變化的緩和曲線盾心計算

2.1 緩和曲線上任意點的超高

對于超高順坡率變化的緩和曲線,其平面線路坐標與超高順坡率無關,故線路平面坐標計算方法與一般情況相同。

由式(1)可知,緩和曲線進站前后超高不同,e也不同,故盾心坐標會隨e的變化而變化。為便于計算,本文以直緩點為原點,以l為自變量,超高為因變量,即可得到超高順坡率固定和超高順坡率變化時的緩和曲線h-l關系如圖3所示,其中ρ0為固定超高順坡率,ρ1為超高順坡率有效站臺外順坡率,ρ2為有效站臺內順坡率,lx為有效站臺邊緣與直緩點間的緩和曲線長度,hm為最大軌道超高值,h0為有效站臺邊緣處的軌道超高值,且有0≤h0≤15 mm。

圖3 緩和曲線h-l關系圖

2.2 構建等效緩和曲線

本文采用構建等效緩和曲線的方法計算lx—L段原緩和曲線的偏移盾心坐標。考慮到原緩和曲線平面上各點對應曲率不同,等效緩和曲線需保證原緩和曲線的平面參數不變。由于超高順坡率變化點位于站臺邊緣,不在直緩點上,其對應的緩和曲線曲率非零,故不可將該段緩和曲線簡單等效為順坡率為ρ1、緩長為(L-lx)的緩和曲線。

將該段緩和曲線等效超高為hm+hb,緩長為L,超高順坡率為ρ1的緩和曲線。等效緩和曲線的h-L關系如圖4所示。此時該段緩和曲線的盾心坐標即為該等效模型中等效緩和曲線盾心坐標減去由虛擬超高hb產生的偏移量在x和y軸上的分量。

圖4 等效緩和曲線h-L關系圖

由圖4可求得,等效緩和曲線與橫軸的交點橫坐標xb=(hmlx-h0L)/(hm-h0),則虛擬超高hb=h0xb/(lx-xb),由hb產生的偏移量eb=Hhb/S,由(hm+hb)而產生的偏移量ec=H(hm+hb)/S。由此,對于等效緩和曲線上任意點λc,其對應的橫向偏移量δc可以表示為:

δc=lec/L=Hl(hm+hb)/(LS),lx≤l≤L

(5)

由此可知,lx—L段緩和曲線上任意處的盾心平面坐標(xc,yc)為:

(6)

3 超高順坡率變化的緩和曲線盾心擬合

對于超高順坡率固定的緩和曲線,通常采用三次拋物線來擬合盾心曲線;對于超高順坡率變化的緩和曲線,采用三次拋物線擬合一般會導致盾心擬合結果誤差較大。

3.1 盾心擬合曲線優度評價

本文對盾心坐標離散點進行線性回歸擬合,并引入統計學決定系數R2來評價回歸模型的擬合優度。R2可表示為[4]:

R2=sSR/sST=1-sSE/sST

(7)

式中:

sSR——回歸平方和;

sSE——殘差平方和;

sST——離差平方和。

一般情況下,R2越接近1,緩和曲線擬合的效果越好。但隨著離散點樣本量的增加,盾心擬合方程的R2必然隨之增加,另一方面,個別離散點產生的較大誤差不一定能夠準確反饋至R2,兩者并不是正相關的。故利用R2無法真正定量說明擬合方程的準確程度,只能大概對擬合的好壞進行定性分析。

(8)

若設計過程中的精度要求為擬合曲線與實際盾心坐標的絕對誤差不大于Ea,那么由于四舍五入的關系,實際各點盾心坐標與擬合曲線間的絕對誤差應控制在Ea/2內。假設對于任意滿足擬合誤差精度要求的緩和曲線,以Δl為步長取得的所有離散點盾心坐標與擬合曲線間的絕對誤差為ε,并分別取Ea/2、3Ea/8、Ea/4、Ea/8作為特征點,建立誤差絕對值域權重集合φ={a,b,c,d},其中a、b、c和d分別為誤差絕對值于[3Ea/8,Ea/2)、[Ea/4,3Ea/8)、[Ea/8,Ea/4)和(0,Ea/8]內的離散點占比,且有a+b+c+d=1。

對《地鐵設計規范》[1]和《市域(郊)鐵路設計規范》[2]中的各標準緩和曲線進行擬合以分析誤差,其中地鐵以設計最高速度為80 km h的標準計算,市域鐵路以設計最高速度為160 km/h的標準計算,暫不考慮欠超高及過超高影響。設最大允許擬合誤差Ea為1 mm,并將步長設置為1 m,取其中最大絕對誤差值大于Ea/8且小于等于Ea/2的緩和曲線進行整理,并總結得到各離散點誤差絕對值域的權重,如表1—表2所示。

表1 地鐵擬合誤差較大緩和曲線參數表

表2 市域(郊)鐵路擬合誤差較大緩和曲線參數表

(9)

式中:

φm——地鐵的數據殘差權重;

φs——市域鐵路的數據殘差權重。

(10)

(11)

3.2 案例分析

本文以上海軌道交通市域線崇明線工程(以下簡稱“崇明線”)中一處緩和曲線為例進行分析。崇明線某處線路平面示意圖如圖5所示。該線為市域鐵路,最高設計時速為120 km,有效站臺范圍內最大超高不大于15 mm。圖5中SJD11緩和曲線侵入車站有效站臺范圍內的長度lx約為31.173 m,其曲線半徑R為500 m,緩和曲線長度L為115 m,超高值hm為135 mm,有效站臺內順坡率ρ2為0.481,有效站臺外順坡率ρ1為1.432,軌面至盾構中心距離H為2 150 mm,軌距S為1 500 mm。

圖5 崇明線某處平面線路示意圖截圖

3.2.1 擬合優度判斷區間

3.2.2 三次拋物線擬合分析

根據已知的線路條件,由式(6)可以求得SJD11緩和曲線上任意點λc的盾心平面坐標(xc,yc)為:

(12)

在該段緩和曲線上選取n個離散點,以第k離散點與直緩點間的緩和曲線長度lk構成集合li={l1,l2,…,lk,…,ln}。由于31.173 m≤lk≤115.000 m,以1 m為步長取值,即li={32,33,…,115}。根據式(12)的計算結果,求得li上各點相應的盾心平面坐標,再通過最小二乘法對離散坐標點進行曲線擬合。采用三次拋物線擬合,得到等效緩和曲線的擬合方程f3(xc):

f3(xc)=-0.053 095 9+2.659 16×10-3xc-

(13)

選取若干典型離散點坐標,與li={32,33,…,115}對應的yc和f3(xc)計算結果進行對比,進而分析誤差。三次拋物線典型離散點誤差分析表如表3所示。由表3可見,三次拋物線擬合后,局部離散點絕對誤差大于0.5 mm,不滿足設計要求。這與擬合優度判斷結果一致。

表3 三次拋物線典型離散點誤差分析表

3.2.3 四次曲線擬合分析

將擬合函數優化為四次曲線進行計算分析。其等效緩和曲線擬合方程f4(xc)如式(14)所示。

f4(xc)=-0.036 032+0.001 563 26xc+

(14)

針對li={32,33,…,115}求出對應的yc和f4(xc),選取擬合結果中誤差較大的典型離散點坐標進行比對分析,得到四次曲線典型離散點誤差分析表如表4所示。增加擬合階數后,最大誤差由原三次拋物線的約0.6 mm降低至四次曲線的約0.1 mm,說明該擬合曲線方程滿足設計要求。

表4 四次曲線典型離散點誤差分析表

4 結語

本文研究了超高順坡率變化的緩和曲線盾心平面坐標計算方法及其盾心曲線擬合方法,對緩和曲線盾心坐標計算方法進行了完善。該盾心曲線擬合方法更適應目前軌道交通的設計現狀。通過本文的等效緩和曲線法可準確計算超高順坡率變化的緩和曲線盾心平面坐標。本文基于盾心擬合曲線最大誤差,計算誤差絕對值域權重集合,進而判斷擬合優度,檢驗盾心擬合曲線的校正決定系數,對擬合精度是否滿足要求進行定性判斷,以此決定是否需要優化擬合模型,從而有效提高設計效率及設計質量。