聚焦“序”，提升學生的數學學習力

劉賢桴

［摘 ?要］ 學生數學學習之“序”是開放性、靈動性的。在小學數學教學中，教師要把握數學學科本體之序，把握學生認知之序、活動之序、思維之序，讓學生的數學學習真正、深度、靈動、高效發生。教師要致力于推進學生“有序”“有向”“有法”“有道”的數學學習，要善于處理好學生數學學習“有序”與“無序”的辯證關系，引導學生從“無序性”學習過渡、發展、提升到“有序性”學習，不斷提升學生的數學學習效能，讓學生的數學學習能力最大化、持久化。“有序”與“無序”構成了學生數學學習的規定，構成了學生數學學習的閃亮“坐標”。

［關鍵詞］ 小學數學；有序學習；學力提升

理論物理學家、物理化學家普里戈金認為，“一切事物都是按照相對有序的狀態發展”［１］。“序”是自然法則，也是人類認識的法則。有時，無序本身也體現為一種“序”。絕對無序是不可能的。在數學學科教學中，教師同樣要認識、把握“序”。這里的“序”，主要包括兩個方面：一是數學學科本體知識產生、法則之序；二是學生數學認知、思維、探究之序。只要致力于推進學生“有序”“有向”“有法”“有道”的數學學習，就能促進學生數學認知、思維等的發展，就能有效提升學生的數學學習能力和數學核心素養。序，能提升學生的數學學習效能，讓學生的數學學習能力最大化、持久化。

一、把握學科本體之序，讓學生的數學學習真正發生

數學是一門結構性科學，數學學科知識的產生是有順序的。在小學數學教學中，教師要把握學科知識本體之序，要遵循數學知識發生、發展演進的邏輯，才能讓學生的數學學習真正發生。尤其是，在相關知識鏈條中的核心知識、關鍵知識處，要讓學生充分感受、體驗這些知識的形成過程。一般來說，數學學科知識的發生、發展是邏輯遞進的，是螺旋上升的，是一個由低級邁向高級、由簡單邁向復雜、由零散邁向集約和概括的過程。

記得法國數學家嘉當這樣說過，“數學的知識點猶如一個個蜂眼，但最后卻以整個的‘蜂巢’示人”［２］。數學學科知識看似由一個個的知識點構成，但這些知識點之間有著千絲萬縷的聯系。在教學中，教師不僅要引導學生厘清數學知識點的來龍去脈，還要引導學生把握知識整體。例如教學“多邊形的面積”這一部分內容時，教師有必要引導學生回顧長方形面積、正方形面積的推導歷程，讓學生認識到多邊形面積的推導順序，認識到長方形面積公式屬于基礎性、基本性的面積公式，而其他的多邊形面積公式都是導出性的面積公式。通過這樣的回顧，學生經歷了多邊形面積公式的推導過程，洞察到了多邊形面積公式之間的邏輯關系。如在長方形面積公式的基礎上，推導平行四邊形的面積公式；在平行四邊形面積公式的基礎上，推導三角形、梯形的面積公式……引導學生把握數學學科知識的順序時，教師還要增強學生對數學知識層次性、系統性、結構性的認知。

在數學學科教學中，教師要引導學生對已學知識進行整理、優化，要引導學生將數學外在的知識結構轉化為認知結構。教師要以數學學科知識為母體，孕育學生的認知結構發展、生長。在數學學科教學中，教師不僅要讓學生認識到“知識從哪里來”，還要讓學生認識到“知識到哪里去”，從而展現數學學科知識本身的魅力。在這個過程中，教師不僅要把握數學學科知識之序，還要把握學生的數學學科思想方法之序。

二、把握學生認知之序，讓學生的數學學習深度發生

聚焦“序”，能有效提升學生的數學學習能力。教師不僅要把握數學學科知識之序，更要把握學生認知之序。如果說，數學學科知識之序是學生數學學習的邏輯起點，那么學生認知之序就是其數學學習的現實起點。如果說，把握數學學科知識之序，為教師實施有序性教學提供了可能性，那么把握學生認知之序，就讓教師實施有序性教學有了現實性。教師把握學生認知之序，能讓學生的數學學習深度發生。

把握學生認知之序，要求教師分清知識教學的“主”與“次”，分清知識教學的“先”與“后”。不同的學生，對于同一數學知識的理解，其認知結構、特質、傾向不盡相同。因此，了解學生的具體學情與普遍學情同樣重要。了解學生的具體學情，就是揣摩學生個體的認知傾向、認知風格，認識到學生個體的數學學習特質；了解學生的普遍學情，就是把握學生的年齡、心理特征，認識到學生的階段性數學學習特質。因此，在數學課堂教學中，同樣的教學設計，會引發學生不同的應答，讓學生產生不同的表現。例如教學“正比例的意義”這一部分內容時，筆者發現，有部分學生喜歡用表格將兩種變量相對應的值列舉出來，然后根據表格里的直觀、形象的值進行思考，并做出精準的判斷；有部分學生則喜歡繪制正比例函數的圖像，借助圖像進行研判；而另外一部分抽象思維比較突出的學生，則能有效借助數量關系進行研判。對于不同認知傾向的學生，筆者以學生的認知偏好為教學出發點，引導學生的數學學習逐步進階。同時，借助學生的認知偏好可以進行有效輔導。實踐證明，從學生的具體學情出發，能讓教師的教學富有針對性、實效性。

把握學生認知之序，不能將其簡單地理解為“把握學生認知次序”或“把握學生認知順序”，而是“把握學生認知特質、認知傾向”。認知特質、認知傾向是一種更為內隱的順序。實踐證明，學生的數學學習是一個生動活潑的、主動的、富有個性化的過程。教師要洞察每一位學生的認知通道，睿智地加以引導。可以這樣說，具體學情為學生的數學認知、探究鋪設了一條通往成功的康莊大道。

三、把握學生活動之序，讓學生的數學學習靈動發生

活動是學生的智慧根源，也是學生數學經驗建構的方式，因此教師要精心設計活動，讓活動具有層次性、序列性，使活動引發學生的數學思維不斷進階。教師通過把握學生活動之序，能讓學生的數學學習靈動發生。

學生的活動方式是豐富的，如抽象與概括活動、推理與建模活動等。引導學生有序活動，說白了，就是讓學生有序地看、有序地做、有序地想、有序地說。例如教學“9加幾”這一部分內容時，教師可以有序地呈現資源、素材等，如“9+2”“9+3”“9+4”……“9+9”。在此基礎上，可以讓學生分小組合作探究，進而讓學生的數學課堂實踐具有目標性、針對性和實效性。例如有小組探究“9+3”，就借助“小棒”進行操作：有學生將3根小棒中的1根拿出來與9根小棒合成1捆小棒（共10根），這就是“湊十法”的數學模型。在這個過程中，教師要引導學生操作。可以這樣說，只有操作有序的實踐活動，才能催生學生有序思維、有序認知，才能助推學生有序學習。學生探究“9加幾”的方法有很多，尤其是各種個性化的方法。對于這些方法，教師一方面要積極給予肯定、評價，另一方面要加強引導，比如可以讓學生比較多種方法，讓其感受、體驗“湊十法”的簡便、快捷、科學、合理等。在有序的數學活動中，學生的數學學習能夠靈動發生。比如在這個過程中，有學生發現，“和的個位上的數總是比第二個加數少1”。對于這樣的發現，教師一方面要積極給予評價，另一方面要積極追問：“為什么和的個位上的數總是比第二個加數少1？”追問能引發學生深度思考，讓學生進一步理解“湊十法”的算理，把握“湊十法”的內在精髓。

有序活動是循序漸進、有條有理的活動。在小學數學教學中，引導學生學習相關知識，教師不能“和盤托出”，更不能“簡單告訴”，而必須循序漸進地引導學生活動，讓學生充分經歷“數學化”的過程。在這個過程中，教師不僅要著眼于學生活動的方法，還要著眼于學生活動的狀態、活動的質量、活動的品質。“序”應當成為活動的一種特質，成為活動的一種內在特性。通過有序活動，能讓學生逐步、有序地建構、創造數學知識。引導學生有序活動是數學教學的應有之義、應然之舉。

四、把握學生思維之序，讓學生的數學學習高效發生

“數學是思維的體操”［３］，學生的數學學習從某種意義上來說就是數學思維的學習。思維指學生的“思維能力”，也指學生的“思維狀態”“思維品質”等。教師必須引導學生學會“運思”，從而讓學生的數學學習高效發生。把握學生的思維之序，就是讓學生思之有物、思之有理、思之有序、思之有向，就是讓學生逐漸從形象思維過渡到抽象思維，將歸納推理與演繹推理相結合。

學生的思維往往是內隱的。教師要準確把握學生的思維脈絡，觸摸到學生思維跳動的脈搏。教師可以引用“可視化”的方法，比如用動作、圖像、語言等進行描述、展示。例如教學“圓柱的體積”時，引導學生類比、遷移“圓的面積”的推導過程，將圓柱（學具）切拼成近似的長方體后，再引導學生進行有序比較：長方體的長相當于原來圓柱的什么？長方體的寬相當于原來圓柱的什么？長方體的高呢？長方體的體積呢？這樣的一種有序性問題，自然能激發學生的有序性思維，促使學生自主建構、創造圓柱的體積公式。在此基礎上，教師可以繼續追問：如果我們將圓柱轉化成的長方體，換一個位置擺放，那么底面積是什么？高是什么？通過這樣的一種有序變換，進一步深化學生的有序觀察、有序思考、有序探究，讓學生自主建構圓柱的另外兩個體積公式（“側面積的一半乘半徑”“圓柱底面周長的一半乘半徑乘高”）。在教學中，教師可以引導學生借助數形結合選擇最佳公式，獲得最佳的問題解決方案，促進學生智慧發展。

有序思維不僅指有順序、有方向的思維，更指有脈絡、有靈魂的思維。教師可以通過變換素材、資源的內容和形式，也可以通過變換活動的內容和形式，來催生學生的有序性思維。有序性思維是學生數學學習能力的重要確證與表征，是學生數學核心素養最為生動的體現。有序性思維，能讓學生的數學學習如同呼吸一樣自然。

數學學習之“序”不是固定的、一成不變的，而是不斷變換、轉換的，是開放性的、靈動性的。教師要有效處理學生數學學習“有序”與“無序”的辯證關系，引導學生從“無序性”學習過渡、發展、提升到“有序性”學習，再從“有序性”學習發展、提升到“無序性”學習（一種新的“有序性”學習開始）。學生的數學學習就行進在“有序”與“無序”之間。“有序”與“無序”構成了學生數學學習的質的規定，同時也構成了學生數學學習的閃亮“坐標”。

參考文獻：

［１］ 李步良. 歸納推理的內涵與小學數學課堂實施［Ｊ］. 小學數學教育，２０１５（０６）：１２－１５.

［２］ 王健. 在有序思考中探尋數學的真諦［Ｊ］. 西藏教育，２０１３（０６）：２４－２５.

［３］ 張海生. 促進學生“有序思考”的教學策略［Ｊ］. 教育理論與實踐，２０１５， ３５（２０）：５３－５５.