從“學數學”到“做數學”
——“和的奇偶性”教學及反思

江蘇南京市五老村小學（210002） 陸小蓓

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）中指出：“學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式。”在數學教學中，要注重培養學生運用數學方法解決實際問題的能力，讓學生在情感和態度上有新的發展。建構主義學者認為，學習是現實的特定操作過程中對自己的活動過程的性質進行反省、抽象而產生的，“學數學”應是一個“做數學”的過程。因此，在數學課堂中，教師只有讓學生經歷自主探索、動手操作、合作交流的過程，學生才能抓住發現問題和提出問題的機會。要使學生真正學會“做數學”，就必須有一套貼近學生生活且融合趣味性、開放性、探索性的教材和學習內容。筆者以蘇教版教材五年級下冊一節綜合實踐活動課“和與積的奇偶性”中“和的奇偶性”教學為例，就如何讓學生經歷“做數學”的過程談談自己的一些思考與嘗試。

一、課程分析

學生經歷了較多的整數加法計算練習和乘法計算練習，但在此過程中很少去觀察、判斷加法算式中的和、乘法算式中的積是奇數還是偶數。在進行計算教學的過程中，教師會將重點放在算理與算法的教學上，要讓學生理解和掌握計算法則，能夠準確、快速地算出得數，并且能夠運用計算來解決實際問題。在整數的加法和乘法的教學已經全部完成后，學生在整數運算方面掌握得較好，已經初步建立了奇數和偶數的概念，有研究整數加法的和以及整數乘法的積的基礎，可以進一步探索和與積的奇偶性規律。之前教材中探索規律的內容，例如間隔排列現象、周期現象等，都是探索生活中的真實現象，“和與積的奇偶性”這一課是對整數加法和乘法中的規律進行探究，是直接研究數學對象，教師可以利用這樣的變化激發學生學習的興趣，充分調動他們的參與性和能動性。

本課中，研究2 個數相加之和的奇偶性是重中之重，教材給予學生的“腳手架”也很細致。第一步，讓學生先每人隨機選取兩個非0 自然數，并計算它們的和；在小組討論后，再將所選的兩個加數與計算出來的和填寫到教材上的表格中。學生產生了“怎樣的數相加，和是奇數”“怎樣的數相加，和是偶數”等問題，逐漸形成探索規律的興趣。第二步，通過提示“觀察填好的表格，說說你的發現”引導學生初步感知規律。第三步，讓學生再列舉一些例子來證明之前的發現。第四步，引導學生聯系實際進一步體驗兩數之和的奇偶性。

對于研究多個非0 自然數的和的奇偶性，教材也分了三步。第一步，隨機選取幾個非0 自然數，將它們寫成一道連加算式，讓學生猜一猜和是奇數還是偶數，然后通過計算來驗證猜想。第二步，設計問題讓學生討論。第三步，讓學生發現規律并在復雜的連加情境里做判斷。教材的設計由扶到放，雖然有探索、有討論、有研究，但都在教師的引導下，并不是學生自發的研究。在這樣的教學路徑下，學生學習未“真發生”，學生經歷的也不是“真過程”，僅僅是在“學數學”，而非“做數學”。

帶著這些思考，筆者對這節課進行了教學嘗試，努力讓學生經歷“做數學”的過程。

二、教學嘗試

1.把時間還給學生，讓學生主動參與

學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。以此理念為引導，教師應該將時間還給學生，讓他們主動學習，有了時間才會有發展。給學生充足的學習時間，是讓他們主動參與、自主探索的先決條件。

【教學片段1】

師（出示“任意一個非0 自然數非奇即偶”這句話）：你贊同這句話嗎？說說你的理解。

生1：我贊同這句話，因為任何一個非0自然數除以2，要么能夠整除，要么有余數1。

生2：我也贊同這句話，自然數的排列就是奇數、偶數、奇數、偶數……

師：大家已經能夠正確判斷一個數的奇偶性，那么大家一定能夠學會判斷幾個數之和的奇偶性。

師（揭示課題“和的奇偶性”）：要想探索這個規律，你們打算怎么研究呢？

生3：我想舉一些例子，然后通過這些例子來找規律。

師（板書“舉例”）：“舉例”的確是一種非常好的研究方法。關于舉例，誰還有什么想補充的？

生4：例子有很多，舉不完。我們可以先從簡單的2 個數相加的情況開始舉例，數據也不要太大，有代表性就可以了。

師：你們的研究方法很棒、思路也很清楚。接下來我們進行兩個活動。活動一，任選兩個非0 自然數，寫成一道加法算式，算一算和是奇數還是偶數；活動二，任選幾個非0 自然數，寫成連加算式，算一算和是奇數還是偶數。

在上述教學片段中，教師以一句話“任意一個非0 自然數非奇即偶”開啟這節課的討論，問題直接指向研究現象，引發學生的興趣，調動學生的積極性與能動性。學生先思考一個數的奇偶性再思考兩個數之和的奇偶性。有了探索規律的需求，才會激發學生進一步思考的欲望。求知欲被調動起來了，學生自然也會根據以前的學習經驗確定研究這個話題的方法，教師只需要提取、記錄。課堂中的兩次活動，都是為了給學生時間嘗試、思考。試想，如果沒有充足的時間，學生怎會出現探索后的思維多樣化？如果沒有充足的時間，學生怎么有機會充分展示自己的思維過程？更談不上會有反思之后的自評與他評。要想學生經歷“做數學”，就必須舍得把寶貴的課堂時間還給學生，讓學生主動參與，“真學習”才有可能發生。

2.把思考還給學生，讓學生自主探索

數學教學的實質是教會學生思考，引導學生學會思考。教師要從學生的已有認知出發，讓學生在自己的最近發展區附近自主探究、合作、交流，實現“做數學”。

【教學片段2】

（教師選取一些學生寫的算式貼在黑板上，分為和是奇數、和是偶數兩類）

師：觀察算式，說說你們的發現，算式的和什么時候是奇數？

生5：我發現兩個加數中一個是奇數、一個是偶數時，和就是奇數。

師：黑板上的4道算式符合他說的嗎？

（眾生點頭）

師：看來大家是通過加數的奇偶性來判斷和的奇偶性。什么情況下和是偶數呢？

生6：兩種情況下和是偶數，一種是兩個偶數相加，還有一種是兩個奇數相加。

師（按照生6 的介紹把黑板上的算式分類）：僅憑這些算式就能驗證這三個發現嗎？

生7：我們還可以再舉一些例子來驗證。

師：例子舉不完，我就覺得有反例。你們討論一下，怎么驗證這三個發現？

（學生分小組討論，匯報）

生8：我們小組覺得，雖然兩個數相加的情況有無限種，但是可以直接通過兩個數的個位的相加情況來判斷它們的和的奇偶性。這個時候就可以畫如圖1所示表格進行列舉。

圖1

師：聽懂生8 的驗證方法了嗎？這次的舉例和之前不一樣了，之前的舉例是隨意的，而這次關注兩個加數的個位，把個位的相加情況全部列舉完，那么所有的情況都包含在里面了。生8 的思考很有深度。

生9：我們是通過圖來驗證。如果用1 個小長方形來表示1，那么偶數就可以用圖示（如圖2）來表示。

圖2

師：你怎么想到用這種方式來表示所有的偶數？

生9：因為偶數除以2是沒有余數的，那么我們就可以將偶數個長方形每2 個一列進行排列，這樣就可以一眼看出除以2沒有余數。

師：根據偶數的特征想到用這種圖示來表示數，真厲害！

生9：那么我們就可以用圖示（如圖3）來表示所有的奇數。

圖3

師：大家能看懂這張圖嗎？

生10：奇數是除以2 余1，多出來的那1 個就是余數1。

師：用這兩張圖來表示奇數和偶數，也可以表示所有的情況。如何驗證？

生11：“奇數+偶數”，就如圖4，那么和肯定是奇數。“偶數+偶數”就不用看了，兩個數本身都是偶數，除以2 都沒有余數，那么它們的和也肯定不會有余數。再看“奇數+奇數”，如圖5，每個奇數除以2 都余1，那么2 個余數1 合起來就是2，2 除以2，余數就消失了。

圖4

圖5

師：在圖5 中指一指，哪里表示“2 個余數1合起來就是2”。

……

師：用形象的圖示表示抽象的內容，一目了然，感謝你們。

生12：所有的偶數可以用2n來表示，那么奇數就可以用2n+1 來表示。“奇數+偶數”就是2n+（2n+1）=4n+1，4n仍然是一個偶數，還多1 個1，所以“奇數+偶數=奇數”，圖4 中“多的1”就在這里。“偶數+偶數”就比較簡單了，2n+2n=4n，4n肯定是個偶數。最后是“奇數+奇數”，2n+1 和2n+1 合起來，就是4n+（1+1），兩個余數1 合起來就是2，可以被2整除。

師：你不僅用字母表示所有的奇數和偶數，還將之前的方法融會貫通，讓我們聽得意猶未盡。提醒一下，任意兩個奇數不能用相同的字母表示，可以一個是2n+1，一個是2m+1，和就是2n+2m+1+1，還是個偶數。

師（小結）：同學們剛才用了很多方法證明，有列舉個位相加的情況，有畫圖，還有用字母表示數，其實都在想著窮盡所有的情況來驗證這三個發現的正確性。

在上述教學片段中，筆者引導學生發現新舊知識的“生長點”（判斷一個數的奇偶性）之后，鼓勵他們去猜測探索、合作交流，促使學生盡情思考。在思考的過程之中，學生的思維被激發了，思維“活”起來。

學生提出了多樣化的驗證方法，這是第一層次的思考。教材中只簡單地呈現了舉例驗證的一般算法。但學生由于個體思維水平、知識經驗和思考角度的不同，提出了3 種驗證方法，每種方法都是學生不斷探索、不斷創新的成果。

基于思維的多樣性，學生可以自發地、主動地進行思考，將自己的思維過程展現得充分又到位。

更值得一提的是，學生在匯報的時候不僅匯報自己的思考，還互動交流。可見，課堂中教師把思考還給學生，讓學生自主探索，學生不僅學會知識，更學會學習、學會交流、學會共享。

3.把評價還給學生，讓學生學會評價

在新的教育觀下，評價目標具有多元性，那么評價主體也應具有多樣性。教師可以在適當的時候把評價還給學生（包括他評、自評等），讓他們在互相評價的過程中學會欣賞別人，吸納別人的意見，并隨時進行自我反思、自我提高。

【教學片段3】

師：這節課你們有什么發現？

生13：我們發現1 個偶數和2 個奇數相加，和肯定是偶數。

生14：這個發現只限于3 個數相加，不能代表所有的情況。

生15：我們發現無論加數中偶數的個數是多少，和既有可能是奇數，也有可能是偶數。

生16：你是不是想表達，和的奇偶性與偶數的個數沒有關系？

生17：是的。只與奇數的個數有關系。

生18：我們的發現和你們一樣，如果加數中奇數是單數個，那么2個奇數可以合成1個偶數，落單的那個就沒有“組對”的了，因此和肯定是奇數。如果奇數是偶數個，那么兩個能湊一對（偶數），因此和是偶數。

……

在上述教學片段中，學生就多個數相加的和的情況自由地進行討論，相互評價，互相補充，在課堂上進行了一場“頭腦風暴”，在互相評價中學會評價，不斷發展自己。

三、教學總結

從整個教學過程來看，學生研究數學的本事絕不亞于教師，他們研究數學的激情絕不低于數學家。本節課中筆者最大的體會就是，放手讓學生去學、去做就是最好的教學方法。讓學生經歷“做數學”的過程是自主建構數學知識的有效途徑，在課堂中“把時間還給學生，把思考還給學生，把評價還給學生”是教師在新課程背景下必須樹立的一個教學理念。

新課標把教學目標分成知識技能目標和過程性目標，而過程性目標更多地關注學生學習數學的經歷，關注學生在數學學習過程中的行為投入、認知投入和情感投入。在數學課堂教學中，教師應給學生提供充分的時間和空間，讓他們通過獨立思考、合作交流、評價反思等活動把學習數學的過程演變成“做數學”的過程，從而促進他們對知識的真正理解（自主建構），使學生得到個性化的發展。