依托幾何直觀 助力數(shù)學理解
——一道題引發(fā)的思考

江蘇無錫市錫山實驗小學（214104） 安 蕾

在一次畢業(yè)考試中有這樣一道題：

小明學習了乘法分配律之后，這樣來計算“25.2×4.5”：

25.2×4.5

=2.5×4+0.2×0.5

=100+0.1

=100.1

后來他用豎式驗算，發(fā)現(xiàn)這樣計算的結果是錯的。你能結合下圖（如圖1）來說明為什么這樣計算“25.2×4.5”是錯的嗎？

圖1

筆者抽取了本校參加畢業(yè)考試的學號末位是3 和5 的學生的答題情況，發(fā)現(xiàn)得分率是57.6%，學生的錯誤主要有三種情況：（1）完全不懂如何結合圖形來解釋，也不知道錯在哪里；（2）會用乘法分配律解答，但不懂如何用圖形來解釋；（3）能結合圖形來解釋長方形的面積，但是不能用數(shù)形結合的方式解讀算理和算法。

心理學研究表明，小學生以直觀形象思維為主，面對抽象的數(shù)學知識，需要借助直觀的感性材料，讓數(shù)學問題由抽象轉化為形象，讓數(shù)學道理從感性走向理性。結合教學實踐，筆者從以下三個方面來談談自己的所思與所得。

一、依托幾何直觀，理解算理分析

數(shù)學算式是數(shù)學問題的高度概括，是抽象化、符號化的語言，而算理指的是計算過程中的道理。簡而言之，就是讓學生明白“為什么這樣算，運算的意義和邏輯是什么”。幾何直觀是利用圖形描述和分析數(shù)學問題，讓學生在直觀圖形的基礎上理解運算的可行性和邏輯性。教學過程中，教師可引導學生依托直觀的“圖”去思考抽象的“理”，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷體驗和感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，使學生最終實現(xiàn)對算理的深層建構。

【案例】蘇教版教材三年級上冊“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的例題1 是首位能整除的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，學生解題時往往不明白建構“兩層樓”的必要性，只是按照教師的要求依葫蘆畫瓢。筆者在教學時將教材中的例2 前置，帶領學生經(jīng)歷“16 除以2”“46 除以2”“56 除以2”三個階段，引導學生細細品味三個“除以2”的不同，從而明白“計算過程需要分兩步，豎式計算分兩層更加清晰”。

出示題目（如圖2）：將16 個羽毛球平均分給兩個班，每班分得多少個？

圖2

師：為什么要將一捆拆開？

師：16÷2 豎式怎么寫？（出示圖3）商“8”表示什么？二八十六，一共分掉了幾個？

圖3

師：一般先想想商幾，再乘一乘，看看分掉了多少，最后減一減，看看有沒有分完。

出示題目：將46 個羽毛球平均分給兩個班，每班分得多少個？

師：46÷2 等于多少？同桌合作，用小棒擺一擺，說一說是怎么算的。

師：有位同學寫的是“40÷2=20，6÷2=3，20+3=23”。從算式中可以看出他分了幾次？

師：不管是用小棒分，還是用算式算，我們都是先分4 個十，再分6 個一。像這樣分的過程可以用豎式來表示，46÷2先算十位，4÷2=2，2寫在十位上；再算個位6÷2=3，3寫在個位上，等于23。

出示題目：將56 個羽毛球平均分給兩個班，每班分得多少個？

師：嘗試用豎式計算，有困難的同學可以借助分一分小棒理解。

師（出示圖4）：理一理分的過程和每一步的含義。

圖4

師：不知不覺間，我們像造樓房一樣，把豎式寫成了2 層。為什么要創(chuàng)造2 層的豎式呢？顯然，第一層解決分十位的5 個十時，還剩1 個十；第二層，把十位余下的1 個十和6 個一合起來再分，很清楚地表示分了兩次。

師：現(xiàn)在回過來想想，46 除以2，平均分了兩次，用“一層樓”很快就算出了答案。那么，怎樣能一眼看出分了兩次呢？

……

通過幾何直觀引導學生以圖解數(shù)、以圖思數(shù)，把算式變成圖形，用圖形來解釋算理，化抽象為形象。對于“筆算兩三位數(shù)除以一位數(shù)豎式為什么這樣寫？”，學生在由數(shù)到圖，又由圖回到數(shù)的過程中找到了答案。這樣的表征使學生對豎式的每一步算理都了然于心，對豎式的每一步算法都明明白白。

二、依托幾何直觀，理解問題表征

從數(shù)學知識的角度來看，幾何直觀是借助直觀的圖形將已知信息進行分析，并且找到數(shù)學要素之間的關聯(lián)性，深化對數(shù)學問題的理解，把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，真正把握問題的實質。

【案例】蘇教版教材五年級下冊“解決問題的策略（轉化）”

師：比一比，看誰算得又對又簡單。能不能用轉化成圖形的方法說明道理？（學生給出了畫圓形圖、線段圖、正方形圖等方法）

師：還記得我們學習分數(shù)和小數(shù)時，借助哪個圖形最能化繁為簡，潤數(shù)于形？（學生紛紛想到了正方形）

圖5

圖6

師：192+96+48+24+12，你會算嗎？請畫圖說明。

學生作品（如圖7-1、7-2、7-3）：

圖7-1

圖7-2

圖7-3

師：結合例題，想想我們畫的這些圖，你有什么想說的？

……

借助幾何直觀將數(shù)學問題形象化，將數(shù)和形巧妙結合起來，化隱為顯，使學生親歷轉化的過程，在對圖形理解中完成自我知識框架的重建。看似與圖形沒有任何關系的數(shù)學問題，轉化成圖形后不僅避開了復雜的運算，還提升了學生思維的深度。有了這樣的體驗，學生再遇到類似的題目，就能通過圖形理解計算原理。

三、依托幾何直觀，理解概念本質

概念教學是數(shù)學教學的難點，因為小學生以形象思維為主，所以理解抽象的概念有很大的難度。借助直觀圖形能把抽象的概念形象化，幫助學生在直觀中理解抽象的數(shù)學知識。

【案例】蘇教版教材六年級下冊“認識正比例”在例題中呈現(xiàn)的是靜態(tài)的關于時間和路程的表格（如圖8）：

圖8

這是以靜態(tài)的表格方式，從數(shù)據(jù)分析的角度來揭示正比的概念。然而，任何概念的獲得都需要經(jīng)歷充分的感知過程，感知越充分，概念的本質越清晰，理解越深刻。

師（出示直觀的注水動態(tài)情境，如圖9 所示）：你看到了哪些量？什么變了？什么沒變？

圖9

師：時間在變，注水量也在變，但是注水速度不變，都是每秒30 毫升。照這樣計算，6 秒呢？7 秒呢？……100 秒呢？（利用圖形表征變量，展現(xiàn)兩個量之間的相互依存關系，正比例的意義不再局限于“數(shù)”式的計算，更從“形”意上得到了詮釋）

師（出示圖10）：總價和數(shù)量是兩種相關聯(lián)的量，隨著數(shù)量的增長（減少），總價也在增長（減少），即它們是同增同減的。

圖10

師：照這樣計算，如果購買的是0.7 千克，對應的總價是多少？購買5.5千克，對應的總價是多少？……

（當圖10 中的數(shù)量取值越變越多，總價所對應的柱形像小樹林一樣有序生長，越來越密集，學生從直觀圖中感悟到“正比例的特征除了對應性還存在連續(xù)性”）

師（出示圖11）：隨著時間、路程對應的變化，表示速度的點（條狀的上端點）越來越密集，直到最后變成一條直線……

圖11

在圖形展示的環(huán)節(jié)中，通過形象的“圖說”到抽象的正比例概念的深度表征，幾何直觀讓無形的概念本質顯形，既加深了學生對正比例概念的理解，又回歸到知識發(fā)生的源頭，溝通了知識元素之間的聯(lián)系。

曹培英在《跨越斷層走出誤區(qū)——“數(shù)學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究》一書中提到：“一方面，直觀是數(shù)學抽象的基礎與數(shù)學認知的有力支撐；另一方面，直觀又是數(shù)學理解，乃至數(shù)學抽象的重要內(nèi)涵與數(shù)學本質認識的深化。”在教學中，教師要善于結合教材資源，基于學生的認知水平，幫助學生自覺運用幾何直觀探究數(shù)學問題，將抽象的數(shù)學知識轉化為圖形、符號，化抽象為具象，從無形到有形，提高學生對數(shù)學知識、邏輯的理解能力，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。