小題大做 深度探索
——基于一道習(xí)題的挖掘談深度學(xué)習(xí)

浙江杭州市蕭山區(qū)北干小學(xué)（311200） 倪銀萍

深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識(shí)，理解學(xué)習(xí)的過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、高級(jí)的社會(huì)性情感、積極的態(tài)度、正確的價(jià)值觀，成為既具獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神、基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)秀學(xué)習(xí)者，成為未來社會(huì)歷史實(shí)踐的主人。

習(xí)題是教學(xué)的重要資源，它不僅承載著練習(xí)鞏固、拓展應(yīng)用的功能，還是啟迪思維、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體。許多習(xí)題看似簡(jiǎn)單，實(shí)則有著豐富的思維含量，教師要深入鉆研教材，深刻領(lǐng)悟編者的編寫意圖，有效開發(fā)和利用習(xí)題資源，從而讓習(xí)題的價(jià)值得到最大化的發(fā)揮。

基于以上思考，筆者以三年級(jí)下冊(cè)一道練習(xí)題為例，提出“小題大做、深度探索”的觀點(diǎn)，從教材、學(xué)生、習(xí)題三個(gè)方面進(jìn)行思考和探索，旨在根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教材特點(diǎn)，重構(gòu)習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘習(xí)題的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力。

一、解讀教材——讓深度學(xué)習(xí)紙上開花

學(xué)生要對(duì)概念形成深層次的理解。這里的理解不僅僅是字面上的知道、了解、明白之意，它更強(qiáng)調(diào)一種深層次的思考，即解釋、思辨、推理、驗(yàn)證、應(yīng)用等更難、更復(fù)雜和更具綜合性的學(xué)習(xí)。

教師對(duì)教材理解的深度影響著課堂教學(xué)的深度，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí)必須深入研究教材，以求通聯(lián)：了解知識(shí)的來龍去脈，明白每個(gè)知識(shí)點(diǎn)所要傳遞的思想方法以及情感態(tài)度，理解每道習(xí)題要培養(yǎng)學(xué)生怎樣的能力。

例如，周長(zhǎng)是指封閉圖形一周的長(zhǎng)度。對(duì)此，教師要引導(dǎo)學(xué)生注意：不封閉的圖形沒有周長(zhǎng)，封閉圖形一周的長(zhǎng)度不包括里面的線段，一周的長(zhǎng)度包括線段和曲線和長(zhǎng)度。這些也是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方。教師要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解過程，預(yù)想學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間進(jìn)行提醒。其實(shí)像圖1 這類從一個(gè)大圖形中剪掉一個(gè)小圖形的習(xí)題，在三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)”課后練習(xí)中也曾出現(xiàn)過。

圖1

在圖1 這道練習(xí)題中，每組圖形是以左右兩個(gè)圖形同時(shí)呈現(xiàn)，讓學(xué)生比較左右兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)。這兩組圖都需要學(xué)生先描出兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)，在頭腦中將這兩個(gè)圖形進(jìn)行重疊，找出不同的部分，再根據(jù)長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的特征去比較。圖（1）中，因?yàn)閮蓚€(gè)圖形剛好是長(zhǎng)與長(zhǎng)、寬與寬分別相等，所以兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等。圖（2）中，因?yàn)橛疫叺膱D形比左邊的圖形多了兩條線段，所以兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)不相等。由此可見，這兩幅圖需要學(xué)生在空間想象的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)圖形的比較。

這道題與人教版教材三年級(jí)下冊(cè)練習(xí)十五第10題（如圖2）有異曲同工之處。可以看出，圖2中，三個(gè)圖形均是以虛線的形式表示被剪掉的部分，這有助于學(xué)生還原本來的正方形紙，以及看清楚被剪掉的小長(zhǎng)方形的形狀和特征。在這樣的虛線圖上，學(xué)生可以更清晰地找到相等的邊，并通過平移的方式，發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形新增加的4 和6 兩條邊相當(dāng)于被剪掉的兩條邊，剛好可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)完整的正方形的周長(zhǎng)；第二個(gè)圖形，6 這條邊平移上去后正好能夠拼成一個(gè)正方形，只是還多兩條4 的邊；第三個(gè)圖形則是平移4這條邊，拼成正方形，還多兩條6的邊。由此，求出這三個(gè)圖形的周長(zhǎng)。

圖2

二、研讀學(xué)生——讓深度學(xué)習(xí)深入人心

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生的年齡特征、已有的知識(shí)基礎(chǔ)、個(gè)性發(fā)展需求，是教學(xué)需要考慮的重要因素。要想真正讀懂學(xué)生，就需要直面學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，研究學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需要。

1.關(guān)注學(xué)生興趣

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握合適的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

在多次解決同類問題之后，學(xué)生對(duì)問題的新鮮感會(huì)下降，分析問題的敏感度也會(huì)下降，甚至?xí)纬伤季S定式，并把這種思維定式用在后面遇到的問題中，即使問題的條件有所改變，學(xué)生也無法進(jìn)行正確思考。由此可見，在練習(xí)中，教師也要給學(xué)生設(shè)置一些問題性情境，讓學(xué)生能跟著情境分析思考，保持思維的敏銳度，提高學(xué)生解決問題的興趣。

2.關(guān)注學(xué)生思維

小學(xué)生的思維處于具體形象階段，邏輯抽象思維和知識(shí)遷移能力不足。學(xué)生在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)后，明白封閉圖形一周的長(zhǎng)度叫作周長(zhǎng)，了解了長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)增加相應(yīng)的變式練習(xí)，讓學(xué)生在比較辨析的過程中深入思考，真正理解概念的本質(zhì)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，提升抽象思維能力。

學(xué)生對(duì)一般圖形的周長(zhǎng)都能正確做出判斷和計(jì)算，但是對(duì)一些不是長(zhǎng)方形或正方形的圖形的周長(zhǎng)，比如像圖2 這類題，就會(huì)存在較多疑問。三年級(jí)學(xué)生對(duì)空間圖形本質(zhì)的理解和概念的掌握存在一定的困難，對(duì)圖形的聯(lián)想和想象能力較弱，阻礙了他們對(duì)實(shí)際問題的解決和空間觀念的形成。

三、深挖習(xí)題——讓深度學(xué)習(xí)落地生根

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能僅僅通過機(jī)械記憶與簡(jiǎn)單模仿來進(jìn)行，教師要想培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力和習(xí)慣，深度教學(xué)必不可少。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義在于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，因此，教師可以利用多樣化的練習(xí)促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深層次思考，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生真正在理解中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

1.立足目標(biāo)——活用教材

數(shù)學(xué)教學(xué)是以理解為基礎(chǔ)的教學(xué)，教師要深入研究、思考教材和教法。同時(shí)，教師在制訂教學(xué)目標(biāo)時(shí)除關(guān)注要求達(dá)成的知識(shí)目標(biāo)外，還要注重能力目標(biāo)的設(shè)定。

例如，像圖2 求不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)這類問題，即便從三年級(jí)上冊(cè)學(xué)到三年級(jí)下冊(cè)，有的學(xué)生仍然不理解。筆者認(rèn)為可能是學(xué)生對(duì)圖形的周長(zhǎng)認(rèn)知不到位，也可能是學(xué)生不會(huì)運(yùn)用長(zhǎng)方形和正方形邊的特征來解題。對(duì)此，筆者引導(dǎo)學(xué)生用筆描出這些變異圖形完整的周長(zhǎng)，將之與常規(guī)圖形比較，看看是哪些地方變了，在變化處觀察周長(zhǎng)有沒有變化。為了便于學(xué)生比較，教師可以把原來的圖形畫成方格圖（如圖3）。在方格圖中，由于每個(gè)格子邊長(zhǎng)一樣，此時(shí)再來觀察原來的長(zhǎng)方形或正方形就會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)邊相等的特征會(huì)更加明顯。教師還可以給每一個(gè)方格標(biāo)上序號(hào)（如圖3），以便后續(xù)操作。

圖3

這樣一個(gè)由12 個(gè)小正方形組成的長(zhǎng)方形，不管剪掉幾個(gè)小正方形，比較剩下部分的周長(zhǎng)都會(huì)更容易。

2.根據(jù)學(xué)情——整合教材

教師可以把如圖3 所示的方格圖進(jìn)行拆分，得到12 個(gè)小正方形，讓學(xué)生擺成其他圖形，并思考：假設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，怎樣擺周長(zhǎng)最長(zhǎng)？怎樣擺周長(zhǎng)最短？學(xué)生的擺法如下。

第一種擺法：長(zhǎng)12寬1（如圖4）

圖4

這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（12+1）×2=26。

第二種擺法：長(zhǎng)6寬2（如圖5）

圖5

這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（6+2）×2=16。

第三種擺法：長(zhǎng)4寬3（如圖6）

圖6

這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（4+3）×2=14。

教材中也有類似的例題。例如，三年級(jí)上冊(cè)教材第86 頁的例題：“用16 張邊長(zhǎng)是1 分米的正方形紙拼長(zhǎng)方形和正方形。怎樣拼才能使拼成的圖形周長(zhǎng)最短？”在最后的回顧與反思中，小精靈問：“只有這三種拼法嗎？”

如果一定要拼成長(zhǎng)方形或者正方形，根據(jù)16=16×1=8×2=4×4，確實(shí)只有三種拼法，但如果不要求拼成長(zhǎng)方形或者正方形，就還可以拼出很多種組合圖形。就像三年級(jí)上冊(cè)教材第87 頁第4 題：“把18幅繪畫作品貼在一起，做一個(gè)‘繪畫園地’。要在‘繪畫園地’的四周貼上花邊。每幅作品都是正方形，邊長(zhǎng)都是2 分米。怎樣設(shè)計(jì)‘繪畫園地’，才能使貼的花邊最少？”這道題目沒有像第86 頁的例題那樣要求拼成長(zhǎng)方形或者正方形，因此學(xué)生的思維能有很大的發(fā)散空間。

學(xué)生通常對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)掌握得較好，對(duì)不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)掌握得不到位。那么，教師可以整合習(xí)題與例題，讓學(xué)生用12 個(gè)小正方形拼圖形。除前面三種拼法外，學(xué)生其他拼法如下。

①周長(zhǎng)不變

在第一種拼法（如圖4）的基礎(chǔ)上，從第一行拿1 個(gè)小正方形放到第二行，圖形周長(zhǎng)沒有變化，因?yàn)榈?2 個(gè)小正方形之前是與第11 個(gè)小正方形有1條邊重合，現(xiàn)在是跟第1個(gè)小正方形有1條邊重合。圖4 可以通過平移轉(zhuǎn)化成比11×1 的長(zhǎng)方形多2 條邊的圖形（如圖7）。

圖7

周長(zhǎng)為（11+1）×2+2=26。

②周長(zhǎng)變短

如果再?gòu)牡谝恍幸? 個(gè)小正方形到第二行，會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二行的第2 個(gè)小正方形與周圍的2 條邊重合，比之前的拼法少了2條邊。此時(shí)圖形可以通過平移轉(zhuǎn)化成比10×1的長(zhǎng)方形多2條邊的圖形（如圖8）。

圖8

周長(zhǎng)為（10+1）×2+2=24。

如果將3 個(gè)小正方形放到第二行，又會(huì)少2 條邊。以此類推，每從第一行移一個(gè)小正方形到第二行，周長(zhǎng)都會(huì)少2，一直到兩行的小正方形數(shù)量相等（如圖9）。

圖9

如果第二行中的小正方形是分開不連續(xù)的，周長(zhǎng)的變化情況就會(huì)更多（如圖10），也更能鍛煉學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的分析思考能力。

圖10

教材是以靜態(tài)的文本、圖畫將知識(shí)展現(xiàn)出來，而數(shù)學(xué)反映的是客觀事物的發(fā)展變化規(guī)律，因此教師要采用各種手段來展現(xiàn)數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)變化的過程，使學(xué)生感受其中的變化關(guān)系，從而達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

3.適度延展——開發(fā)教材

教材只是課程資源的一部分，教師是課程資源的開發(fā)者，要想在課堂教學(xué)中真正體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的教育理念，就要對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā)，創(chuàng)造性地使用教材。

（1）優(yōu)化教材

教師在教學(xué)中重新整合教學(xué)內(nèi)容，通過聯(lián)系實(shí)際、化靜為動(dòng)、提煉總結(jié)等策略，更好地組織和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)；創(chuàng)設(shè)問題情境，留給學(xué)生一定的思維空間；改善學(xué)習(xí)方式，多為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的機(jī)會(huì)。

例如，教師對(duì)圖3 這個(gè)方格圖進(jìn)行二次開發(fā)：“可以去掉最外圈的哪個(gè)小正方形，使周長(zhǎng)不變？”引導(dǎo)學(xué)生從變化中發(fā)現(xiàn)不變。教師可以先去掉一個(gè)小正方形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這個(gè)長(zhǎng)方形最外圈一共有10 個(gè)小正方形，如果去掉一個(gè)小正方形就一共有10 種方法；在這10 種方法中，周長(zhǎng)不變的有4種（如圖11），去掉的都是長(zhǎng)方形四個(gè)角上的小正方形。

圖11

另外6 種方法都會(huì)使周長(zhǎng)變大，因?yàn)樵黾恿?條邊（如圖12）。

圖12

學(xué)生仔細(xì)觀察這些去掉的小正方形的位置，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們都不是長(zhǎng)方形四個(gè)角上的小正方形，此時(shí)周長(zhǎng)會(huì)增加2條邊。

由此可見，如果接下來去掉的小正方形是前面4 種類型之一，那么不管去掉幾個(gè)，周長(zhǎng)都不變；如果去掉的小正方形既有4 種類型里的，又有6 種類型里的，則圖形周長(zhǎng)的變化情況就比較復(fù)雜，要根據(jù)實(shí)際情況討論；如果都是6 種類型里的，那么圖形的周長(zhǎng)會(huì)變大。

（2）拓展教材

拓展延伸就是以教材習(xí)題為藍(lán)本，分析習(xí)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)鏈，在學(xué)生的認(rèn)知范圍內(nèi)，適度拓展習(xí)題的知識(shí)鏈，適度豐富習(xí)題內(nèi)涵，合理拓展習(xí)題外延，有效發(fā)揮習(xí)題功能價(jià)值，拓寬學(xué)生的視野。教師要在深入鉆研教材和研究習(xí)題的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)情進(jìn)行拓展創(chuàng)編。

例如，教師可以讓學(xué)生從變化的圖形中尋找不變的周長(zhǎng)，或者從變化的圖形中尋找變化的周長(zhǎng)，也可以讓學(xué)生探究“要使周長(zhǎng)不變，最多可以去掉幾個(gè)小正方形”的問題。這些都是學(xué)生感興趣的內(nèi)容，學(xué)生的探究欲望會(huì)被調(diào)動(dòng)起來。“要使周長(zhǎng)不變，最多可以去掉幾個(gè)小正方形呢？”在這樣富有挑戰(zhàn)性的互動(dòng)中，學(xué)生迫不及待地去尋找答案，最終他們可能會(huì)找到下面這些方法（如圖13）。

圖13

一眼看去，剩下的小正方形似乎雜亂無章，但如果按照橫行縱行的順序依次來看，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)每一橫行或者縱行都至少留下了一個(gè)小正方形，最后一個(gè)小正方形的作用在于連接邊與邊，所以最多可以去掉6 個(gè)小正方形。在嘗試操作的過程中，每操作一次就相當(dāng)于算了一次組合圖形的周長(zhǎng)，這樣經(jīng)過多次的操作，學(xué)生就能加深對(duì)組合圖形周長(zhǎng)的理解，提高計(jì)算能力。

縱向拓展延伸，就是在縱深上對(duì)習(xí)題進(jìn)行開發(fā)與設(shè)計(jì)，目的是將同一習(xí)題（或同一類習(xí)題）深挖，拓寬學(xué)生視野。一個(gè)好的問題可以持續(xù)地引發(fā)學(xué)生的思考，促使其對(duì)原有的知識(shí)進(jìn)行重組構(gòu)建，這樣學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解才會(huì)更深刻、更牢固。教師在平時(shí)的教學(xué)中積極對(duì)習(xí)題進(jìn)行深加工和延伸拓展，并進(jìn)行創(chuàng)造性的改編，衍生出一些新的問題和結(jié)論，將會(huì)大大提高教師理解和使用教材的能力，提升課堂教學(xué)的有效性，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。期待深度學(xué)習(xí)可以從紙上開花到落地生根，再到開花結(jié)果，真正走入廣大師生的心中。