六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的表現(xiàn)研究

周 達，王 田，劉 堅，夏小剛

六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的表現(xiàn)研究

周 達1，王 田2，劉 堅2，夏小剛3

（1．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長春 130024；2．北京師范大學(xué) 中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100875；3．貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

論證作為一種有效的溝通方式，是培養(yǎng)學(xué)生審辯思維、理性思考的基礎(chǔ)和核心．以小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科為載體，選取六年級169名學(xué)生為研究對象，通過理論構(gòu)建測評框架，開發(fā)相應(yīng)的測評題目，并采用測驗法，開展基于六年級學(xué)生的數(shù)學(xué)論證能力表現(xiàn)研究．研究結(jié)果表明：（1）學(xué)生在識別論證元素上的表現(xiàn)較好，但依然有改進空間；（2）學(xué)生在建構(gòu)論證證據(jù)和修訂論證證據(jù)上的表現(xiàn)一般且?guī)缀鯚o差異；（3）學(xué)生在評價論證證據(jù)上的表現(xiàn)較弱．

六年級學(xué)生；數(shù)學(xué)論證能力；表現(xiàn)研究

1 問題提出

論證是人們在學(xué)習(xí)、工作和生活中尋找證據(jù)對某一觀點進行支持或反駁以說服自己、說服他人的有效溝通能力，是發(fā)展學(xué)生審辯思維、理性思考的基礎(chǔ)和核心，是21世紀(jì)公民必備的基本素養(yǎng)[1]．?dāng)?shù)學(xué)論證作為論證在具體學(xué)科中的體現(xiàn)，得到了課程文件制定者的廣泛重視，很多國家的數(shù)學(xué)課程文件都開始強調(diào)數(shù)學(xué)論證對學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的重要性，比如《英格蘭國家數(shù)學(xué)課程文件》指出：“對于所有的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一是通過數(shù)學(xué)論證活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達與論證能力．學(xué)生應(yīng)該反復(fù)追問、猜想關(guān)系、概括以及形成數(shù)學(xué)猜想，同時使用數(shù)學(xué)的語言進行驗證．”[2]《美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在數(shù)學(xué)課堂實踐中，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)有效論證和批判他人論證的能力，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和理性溝通能力．”[3]

近年來，數(shù)學(xué)教育評價已成為促進數(shù)學(xué)教育發(fā)展的重要手段之一．國際評價組織都在積極建構(gòu)以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為核心的教育評價指標(biāo)體系開展相關(guān)的調(diào)查研究，比如PISA測試、TIMSS測試等．?dāng)?shù)學(xué)論證能力成為數(shù)學(xué)教育評價的一個重要方面．在PISA2018年數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評框架中，數(shù)學(xué)推理與論證能力被視為一項重要能力而被關(guān)注[4]；在PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評框架中，還將體現(xiàn)論證的數(shù)學(xué)推理能力的考查貫穿于整個數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評中[5–6]．此外，在TIMSS2019數(shù)學(xué)測評框架中，認(rèn)知領(lǐng)域的考查也包含了對學(xué)生推理論證能力的關(guān)注，當(dāng)學(xué)生基于一些證據(jù)和信息做出有效的推斷得出結(jié)論時，他們在進行著數(shù)學(xué)論證，當(dāng)學(xué)生為一個策略或結(jié)果提供數(shù)學(xué)的論據(jù)時，他們在進行著數(shù)學(xué)論證[7]．

目前，在中國現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，對學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的要求分布于課程基本理念和課程目標(biāo)中．在課程基本理念上，與數(shù)學(xué)論證有關(guān)的推理、驗證等活動過程被強調(diào)，要求學(xué)生在足夠的時間和空間內(nèi)，經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動．在課程目標(biāo)上，無論是在總目標(biāo)還是在學(xué)段目標(biāo)，與數(shù)學(xué)論證有關(guān)的驗證活動被強調(diào)，要求學(xué)生參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的推理論證能力[8]．由于數(shù)學(xué)論證沒有在中國的課程標(biāo)準(zhǔn)中明確地提出，這也給數(shù)學(xué)教育研究者開展有關(guān)數(shù)學(xué)論證能力的表現(xiàn)研究帶來了一定的挑戰(zhàn)．據(jù)此選取六年級學(xué)生作為研究對象，構(gòu)建數(shù)學(xué)論證能力的調(diào)查框架，開展六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的表現(xiàn)現(xiàn)狀調(diào)查研究，具體包含兩個研究問題：（1）六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的總體表現(xiàn)現(xiàn)狀是怎樣的？（2）六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的具體表現(xiàn)特征是怎樣的？

2 文獻綜述

為了對學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力開展調(diào)查研究，首先需要明確數(shù)學(xué)論證能力的內(nèi)涵和認(rèn)知思維過程，并構(gòu)建表現(xiàn)調(diào)查框架，下面分別對其進行文獻綜述．

2.1 數(shù)學(xué)論證能力的內(nèi)涵

通過綜述相關(guān)研究，對數(shù)學(xué)論證能力的內(nèi)涵界定，大致可以從3個方面進行歸納概括．

第一，社會互動的環(huán)境是數(shù)學(xué)論證得以開展的基礎(chǔ)和前提．在數(shù)學(xué)課堂中，師生、生生之間的解釋（explanation）與驗證（justification）活動，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要手段[9]．當(dāng)向?qū)W生呈現(xiàn)一個數(shù)學(xué)問題時，并不能保證學(xué)生會致力于產(chǎn)生一個“確定性”的論證，這并不是因為他們的意識缺乏，而是因為缺乏必要的社會互動環(huán)境，因此為了提高學(xué)生論證建構(gòu)的“確定性”及“有效性”，創(chuàng)設(shè)社會互動的環(huán)境是非常重要的[10]．

第二，尋找證據(jù)進行支持或反駁是數(shù)學(xué)論證的核心．在社會化的過程中，數(shù)學(xué)論證一定要從具體的、可接受的前提出發(fā)，尋找恰當(dāng)?shù)淖C據(jù)作為支持或反駁某一數(shù)學(xué)主張的依據(jù)，同時運用合理的論證過程來建構(gòu)論證[11]．Stylianides（2007）指出，證明的過程實際上就是數(shù)學(xué)論證的過程，在這一過程中，學(xué)生需要采用一系列的推斷來支持或反對一個數(shù)學(xué)主張，其核心是能夠?qū)ふ页龊侠淼淖C據(jù)[12–13]．

第三，說服自己或他人的過程是數(shù)學(xué)論證的重要目標(biāo)．從教師教學(xué)的角度來看，論證是數(shù)學(xué)教育中的一項重要活動，它是用來向?qū)W生傳達想法的有效工具，一些教育家已經(jīng)開始將論證的概念視為“說服性的論證”[12]．Harel和Sowder（1998）指出，論證是指一個人用來消除或產(chǎn)生對觀察結(jié)果的懷疑過程．其中主要涉及兩個子方面的過程，分別為探究真知和說服．探究真知主要是指個體用來移除自己對觀察結(jié)果的懷疑過程，而說服主要是指個體用來移除別人對某一觀察結(jié)果的懷疑過程[14]．

綜上所述，數(shù)學(xué)論證主要是指在社會互動環(huán)境下，學(xué)生通過尋找證據(jù)，運用合理論證模式，對某一個數(shù)學(xué)問題、觀點或結(jié)論進行支持或反駁，以達成說服自己和他人的過程．

2.2 數(shù)學(xué)論證能力的認(rèn)知思維過程

數(shù)學(xué)論證能力的認(rèn)知思維過程是反映學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的重要方面．通過對相關(guān)文獻梳理，大致可以歸納概括為4個方面的認(rèn)知思維過程，分別為識別論證元素、建構(gòu)論證證據(jù)、評價論證證據(jù)和修訂論證證據(jù)．

識別論證元素是指學(xué)生分析問題陳述中的數(shù)學(xué)主張，即什么是條件？什么是結(jié)論等，這是數(shù)學(xué)論證得以開展的基礎(chǔ)．根據(jù)分析問題的內(nèi)涵，Reid和Knipping（2011）首先將一個課堂論證任務(wù)分成若干個教學(xué)片段或序列，緊接著教師要求學(xué)生能夠基于圖爾敏的論證模型識別出論證的基本元素，最后再進行論證的建構(gòu)[15]．此外，Vale等人（2017）對學(xué)生分析問題的表現(xiàn)特征進行了分類，劃分出了學(xué)生分析問題的不同表現(xiàn)水平[16]，這為后續(xù)討論學(xué)生的表現(xiàn)特征提供了依據(jù)，同時對于指導(dǎo)教師如何提高學(xué)生在分析問題能力上的表現(xiàn)也提供了非常重要的參考．

建構(gòu)論證證據(jù)是指通過尋找證據(jù)，運用有效的論證模式對某一觀點或主張做出有效判斷的能力，這是數(shù)學(xué)論證過程的核心．根據(jù)建構(gòu)論證的內(nèi)涵，Stylianides（2007）基于對課堂教學(xué)片段的分析，形成了學(xué)生建構(gòu)論證的不同論證形式，比如恰當(dāng)?shù)耐评硪?guī)則的運用（歸納推理、演繹推理、溯因推理等）、反例的建構(gòu)等，這也為后續(xù)討論學(xué)生的表現(xiàn)特征提供了重要參考[12]．Balacheff（1988）通過分析學(xué)生在解決問題過程中的不同論證類型，對學(xué)生建構(gòu)論證的表現(xiàn)進行層次劃分，比如經(jīng)驗性例子、關(guān)鍵的實驗、通用的例子和思維實驗，表明建構(gòu)論證在發(fā)展學(xué)生論證能力上的重要性[10]．

評價論證證據(jù)是指采用批判性的眼光對他人的論證過程從不同的角度進行合理反思并做出價值判斷的過程，這是數(shù)學(xué)論證過程得以持續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)．根據(jù)評價論證的內(nèi)涵，Whitenack和Yackel（2002）在課堂情境下，以數(shù)學(xué)問題情境為依托，通過研究教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的有效互動，突出強調(diào)評價論證在促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解方面的重要性[17]．Stylianides和Stylianides（2009）選取了39名職前教師（在讀大學(xué)生），要求他們以紙筆作答的方式，評價他們自己建構(gòu)論證的過程，從而幫助他們形成對經(jīng)驗性論證和證明的深入認(rèn)識，這為他們今后更好進行課堂教學(xué)設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生的論證能力奠定了良好的基礎(chǔ)[18]．

修訂論證證據(jù)是指針對一個有瑕疵的或無效的論證過程進行修正或建立一個新的論證，以使論證變得更加充分的過程，這是數(shù)學(xué)論證過程的進一步深化．根據(jù)修訂論證的內(nèi)涵，Komatsu等人（2017）通過對32名九年級學(xué)生進行調(diào)查和訪談，了解了學(xué)生對一個無效的論證是如何展開進一步修訂的，為學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)論證的本質(zhì)奠定基礎(chǔ)[19]．Yee等人（2018）選取4所大學(xué)57名大學(xué)生作為調(diào)查對象，也調(diào)查了學(xué)生修訂論證的能力，并指出修訂論證是數(shù)學(xué)論證能力過程維度的進一步深化，也是其關(guān)鍵的認(rèn)知過程之一[20]．

綜上所述，識別論證元素、建構(gòu)論證證據(jù)、評價論證證據(jù)和修訂論證證據(jù)共同構(gòu)成學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力過程維度的表現(xiàn)調(diào)查指標(biāo)，能夠用于開發(fā)數(shù)學(xué)論證能力表現(xiàn)調(diào)查題目．

2.3 數(shù)學(xué)論證能力表現(xiàn)調(diào)查的框架

結(jié)合數(shù)學(xué)論證能力的內(nèi)涵和認(rèn)知思維過程，初步明確了數(shù)學(xué)論證能力表現(xiàn)調(diào)查的基本框架．

從數(shù)學(xué)論證能力的內(nèi)涵出發(fā)，形成數(shù)學(xué)論證能力的類別維度，包括支持性論證和反駁性論證．支持性論證是指針對某一觀點存在爭議的時候，尋找證據(jù)驗證這一觀點的過程；反駁性論證是指針對某一觀點存在爭議的時候，尋找證據(jù)推翻這一觀點的過程，兩者共同體現(xiàn)數(shù)學(xué)論證的本質(zhì)特征．從數(shù)學(xué)論證能力的認(rèn)知思維過程出發(fā)，形成數(shù)學(xué)論證能力的過程維度，包括識別論證元素、建構(gòu)論證證據(jù)、評價論證證據(jù)和修訂論證證據(jù)．其中，識別論證元素是指學(xué)生分析問題陳述中的數(shù)學(xué)主張，即什么是條件？什么是結(jié)論等；建構(gòu)論證證據(jù)是指尋找證據(jù)，運用有效的論證模式對某一觀點或主張做出有效判斷的過程；評價論證證據(jù)是指采用批判性的眼光對他人的論證過程從不同的角度進行合理反思并做出價值判斷的過程；修訂論證證據(jù)是針對一個有瑕疵的或無效的論證過程進行修訂或建立一個新的論證過程，以使論證變得更加充分的過程．?dāng)?shù)學(xué)論證能力表現(xiàn)調(diào)查的基本框架如圖1所示．

圖1 數(shù)學(xué)論證能力表現(xiàn)調(diào)查的基本框架

3 研究方法

使用量化研究方法，通過測驗法來收集學(xué)生在數(shù)學(xué)論證能力上的表現(xiàn)現(xiàn)狀．具體來說，研究者通過明確測驗對象、開發(fā)測驗工具、實施測驗、收集與分析數(shù)據(jù)5個關(guān)鍵環(huán)節(jié)來完成調(diào)查研究．

3.1 研究對象

通過目的性抽樣和方便抽樣相結(jié)合的方式選取了北京市一所公立小學(xué)的4個教學(xué)班級的169名六年級學(xué)生作為測驗對象．該校在北京市處于中等水平，抽取的4個班級處于該校六年級所有班級的中等水平，因此選取的學(xué)生樣本具有一定的典型性．

3.2 研究工具

圖2 分析問題和建構(gòu)論證維度的樣題

圖3 評價論證和修訂論證維度的樣題

在數(shù)據(jù)收集過程中，為了保證數(shù)據(jù)結(jié)果的可靠性，研究分兩個時間段對同一批學(xué)生分別進行數(shù)據(jù)收集．兩個時間段的持續(xù)時長已經(jīng)在測評工具研發(fā)過程中得到檢驗．在第一個時間段，學(xué)生作答考查識別論證元素和建構(gòu)論證證據(jù)的測試卷1，測試時間為60分鐘，回答率為98.9%；在第二個時間段，學(xué)生作答考查評價論證證據(jù)與修訂/再建構(gòu)論證證據(jù)的測試卷2，測試時間為80分鐘，回答率為95.3%．

3.3 數(shù)據(jù)編碼與分析

數(shù)據(jù)編碼與分析的嚴(yán)謹(jǐn)性為研究結(jié)果的獲得提供了可靠的保障．調(diào)查中的題目編碼方式參照PISA測試中的雙位編碼進行結(jié)果統(tǒng)計，不僅關(guān)注學(xué)生的表現(xiàn)結(jié)果，同時也關(guān)注學(xué)生解決問題的不同策略（比如23編碼：2代表學(xué)生的得分為2分，3代表學(xué)生解決問題的第三種策略）．在編碼過程中，選取了兩位數(shù)學(xué)教育研究者進行獨立的雙位編碼．在編碼前，研究者分別為他們講解每一道題目的評分標(biāo)準(zhǔn)，然后進行預(yù)編碼，當(dāng)遇到分歧時進行反復(fù)討論，以達成編碼的一致性．最后，雙獨立編碼的結(jié)果顯示：=0.82，表明兩位評分者的編碼幾乎一致．在數(shù)據(jù)分析過程中，考慮到樣本數(shù)量，僅從經(jīng)典測量理論的視角出發(fā)，進行了分?jǐn)?shù)的合成并采用描述性統(tǒng)計分析和差異分析的方法，獲得研究結(jié)果．其中，為了解決研究問題1，主要采用了描述性統(tǒng)計分析和差異分析；為了解決研究問題2，主要采用描述性統(tǒng)計分析和案例分析．

4 研究結(jié)果

4.1 六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的總體表現(xiàn)

在總體表現(xiàn)方面，分別呈現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)論證能力得分上的總體分布狀況、學(xué)生在數(shù)學(xué)論證能力不同維度上的表現(xiàn)現(xiàn)狀．其中，數(shù)學(xué)論證能力主要包含兩個維度，分別為論證過程維度和論證類別維度，學(xué)生的表現(xiàn)結(jié)果如圖4．

如圖4所示，學(xué)生在數(shù)學(xué)論證能力上的平均得分率為0.67，標(biāo)準(zhǔn)差為0.185，得分分布呈現(xiàn)負偏態(tài)，表明學(xué)生整體表現(xiàn)良好．

如圖5所示，學(xué)生在識別論證元素上的平均得分率最高，為0.80；在建構(gòu)論證證據(jù)和修訂/再建構(gòu)論證證據(jù)上的平均得分率基本相當(dāng)，分別為0.64和0.66；在評價論證證據(jù)上的平均得分率最低，為0.59．

圖4 六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的總體分布狀況

圖5 六年級學(xué)生在數(shù)學(xué)論證能力過程維度上的表現(xiàn)狀況

在數(shù)學(xué)論證能力的類別維度上，學(xué)生在支持性論證類別上的平均得分率為0.68，而在反駁性論證類別上的平均得分率為0.67，表明學(xué)生在論證類別維度上表現(xiàn)基本相當(dāng)．

結(jié)合上述學(xué)生在數(shù)學(xué)論證不同維度上的表現(xiàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)論證能力過程維度上存在不同程度的差異性，而在數(shù)學(xué)論證能力類別維度上幾乎不存在差異．

4.2 六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的具體表現(xiàn)特征

在數(shù)學(xué)論證能力調(diào)查的基本框架中，過程維度是數(shù)學(xué)論證的核心，因此將對學(xué)生在數(shù)學(xué)論證能力過程維度上的具體表現(xiàn)特征進行分析，為教師的教學(xué)提供重要參考依據(jù)．

論證過程維度主要包含識別論證元素、建構(gòu)論證證據(jù)、評價論證證據(jù)和修訂論證證據(jù)，共4項調(diào)查指標(biāo)．研究者圍繞論證過程維度的調(diào)查指標(biāo)選取了6道典型題目對學(xué)生的作答表現(xiàn)特征進行了描述性分析．其中，學(xué)生具體表現(xiàn)特征的獲得，是采用自下而上的方式，通過對所有學(xué)生的作答表現(xiàn)進行提煉而得．

（1）學(xué)生在識別論證元素上的典型案例分析．

在王老師提出的數(shù)學(xué)說法中，條件是什么？結(jié)論是什么？

從論證過程維度上來看，該調(diào)查題目主要考查學(xué)生識別論證元素的能力，即學(xué)生是否具備從題干當(dāng)中區(qū)分出條件、結(jié)論的基本能力，學(xué)生在這道題目上的表現(xiàn)如表1所示．

表1 學(xué)生在識別論證元素典型題1上的表現(xiàn)狀況

結(jié)合學(xué)生的案例分析結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生識別論證元素的表現(xiàn)良好，但是依然有一定比例的學(xué)生在區(qū)分條件和結(jié)論上遇到了挑戰(zhàn)，一些學(xué)生不能理解條件和結(jié)論是什么，甚至?xí)⑵浠煜?/p>

（2）學(xué)生在建構(gòu)論證證據(jù)上的典型案例分析．

你同意王老師提出的這一數(shù)學(xué)說法嗎？為什么？

從論證過程維度上來看，該調(diào)查題目主要考查學(xué)生建構(gòu)支持性證據(jù)支持題目中觀點的能力，學(xué)生在這道題目上的表現(xiàn)如表2所示．

表2 學(xué)生在建構(gòu)論證證據(jù)典型題2上的表現(xiàn)狀況

你同意高老師提出的這一數(shù)學(xué)說法嗎？為什么？

從論證過程維度上看，該調(diào)查題目主要考查學(xué)生建構(gòu)反駁性證據(jù)推翻題目中觀點的能力，學(xué)生在這道題目上的表現(xiàn)如表3所示．

表3 學(xué)生在建構(gòu)論證證據(jù)典型題3上的表現(xiàn)狀況

結(jié)合上述兩個案例分析結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：在建構(gòu)支持性論證證據(jù)方面，學(xué)生的表現(xiàn)一般，大部分學(xué)生都能通過舉例子的方式來進行說理論證，同時也有一些學(xué)生采用自然語言或符號語言的方式來進行形式化的邏輯推理，從而形成一般性的證據(jù)支持題目中的觀點；在建構(gòu)反駁性論證證據(jù)方面，學(xué)生的表現(xiàn)有待加強，有三分之一以上的學(xué)生無法找到正確的反例，支持題目中的觀點．

（3）學(xué)生在評價論證證據(jù)上的典型案例分析．

典型題4：在數(shù)學(xué)課上，王老師提出一個數(shù)學(xué)問題，他說：“將任意3個連續(xù)的整數(shù)相加，結(jié)果都是3的倍數(shù)．你同意這一說法嗎？請解釋為什么．”針對這一數(shù)學(xué)問題，小李同學(xué)給出了他的答案．

小李說：“我同意這個說法，因為王老師曾經(jīng)講過，任意三個連續(xù)的整數(shù)相加后，結(jié)果就是3的倍數(shù)．”

你同意小李做出判斷的依據(jù)嗎？為什么？

從論證過程維度上來看，該調(diào)查題目主要考查學(xué)生評價支持性論證證據(jù)的能力，即學(xué)生是否能夠?qū)λ俗龀龅闹С中哉撟C過程做出批判性地評價，學(xué)生在這道題目上的表現(xiàn)如表4所示．

表4 學(xué)生在評價支持性論證證據(jù)典型題4上的表現(xiàn)狀況

典型題5：劉老師提出一個數(shù)學(xué)問題，他說：“兩數(shù)相乘的積，一定比其中任何一個因數(shù)都大．你同意這一說法嗎？請解釋為什么．”針對這一數(shù)學(xué)問題，小李同學(xué)給出了他的答案．

小李說：“我不同意這個說法．因為1×5=5，滿足上述的條件，但是5卻等于其中的一個因數(shù)而不是大于，所以上述說法不成立．”

從論證過程維度上來看，該調(diào)查題目主要考查學(xué)生評價反駁性論證證據(jù)的能力，即學(xué)生是否能夠?qū)λ俗龀龅姆瘩g性論證過程做出批判性地評價．學(xué)生在這道題目上的表現(xiàn)如表5所示．

表5 學(xué)生在評價反駁性論證證據(jù)典型題5上的表現(xiàn)狀況

結(jié)合上述的兩個案例分析結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：在評價支持性論證證據(jù)方面，大部分學(xué)生能夠有效地做出批判性評價，但是一部分學(xué)生缺乏對問題準(zhǔn)確理解以及批判性評價的能力；在評價反駁性論證證據(jù)方面，學(xué)生能夠意識到反例在證明過程中的重要作用，但也有一部分學(xué)生缺乏對反例的正確理解．

（4）學(xué)生在修訂論證證據(jù)上的典型案例分析．

小杜說：“如圖，長方形的長為8 cm，寬為3 cm，根據(jù)題目條件，變化后的長方形如圖，變化前后兩個長方形的面積都是24 cm2，所以我同意上述這個說法．”

小明對小杜說：“我認(rèn)為你的理由不充分，我的理由比你更充分．”那么，小明給出的理由可能是什么？

從論證過程維度上來看，該調(diào)查題目主要考查學(xué)生修訂不完整論證證據(jù)的能力，即學(xué)生是否能夠基于一個他人的不完整的論證過程做出修正的能力．不同水平的學(xué)生在這道題目上的表現(xiàn)如表6所示．

表6 學(xué)生在修訂論證證據(jù)典型題6上的表現(xiàn)狀況

結(jié)合上述的案例分析結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：在修訂論證證據(jù)方面，學(xué)生基本具備了一般性論證的特征，但仍有小部分學(xué)生仍然停留在經(jīng)驗性論證的層面上．

5 研究討論

圍繞六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的總體表現(xiàn)現(xiàn)狀和具體（案例）表現(xiàn)特征進行調(diào)查研究．下面將對上述的研究結(jié)果進行全面討論，以獲得相應(yīng)的教學(xué)建議．

5.1 學(xué)生在識別論證元素上的表現(xiàn)較好但依然有改進空間

識別論證元素是數(shù)學(xué)論證活動得以開展的基礎(chǔ)和前提．學(xué)生在識別論證元素上的平均得分率為0.80，表明學(xué)生具備較強的識別論證元素的能力．然而，這一研究結(jié)果與程靖、孫婷和鮑建生（2016）的研究結(jié)果有所差異．他們的研究發(fā)現(xiàn)，部分八年級學(xué)生無法正確區(qū)分出命題的條件或結(jié)論，在證明的過程中他們不能正確地使用定理進行有效的論證[22]．

分析產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因，可能與實際的測評題目相關(guān)．在他們的研究中，學(xué)生只有在以形式化的邏輯論證推理為主的問題上表現(xiàn)不樂觀，這類題目對學(xué)生的認(rèn)知要求較高，如果學(xué)生不能掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念知識，就會導(dǎo)致一些學(xué)生無法有效地區(qū)分出命題的條件和結(jié)論，從而無法做出有效的論證．然而，六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的所有測評題目都是以學(xué)生經(jīng)常接觸到的數(shù)學(xué)概念知識為背景，并通過自然語言的方式進行簡潔地闡述，減少了學(xué)生因為知識掌握不足或無法理解表述給解決問題所帶來的影響．即便如此，也有一定比例的學(xué)生在區(qū)分條件和結(jié)論上遇到了挑戰(zhàn)，一些學(xué)生不能理解條件和結(jié)論是什么，甚至?xí)⑵浠煜虼?，發(fā)展學(xué)生“識別論證元素”的能力首先應(yīng)該從最基本的數(shù)學(xué)概念知識入手，厘清簡單問題中的條件和結(jié)論，然后逐漸過渡到分析復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題上．

5.2 學(xué)生在建構(gòu)論證證據(jù)和修訂論證證據(jù)上的表現(xiàn)一般無差異

建構(gòu)論證證據(jù)作為數(shù)學(xué)論證能力過程維度的重要組成部分，主要是指尋找能夠支持主張的有效證據(jù)并做出合理的解釋，而修訂論證證據(jù)主要是指通過建構(gòu)論證證據(jù)對他人做出的不完整論證或錯誤論證進行再建構(gòu)的過程．六年級學(xué)生在建構(gòu)論證證據(jù)和修訂論證證據(jù)上的平均得分率分別為0.64和0.66，表明學(xué)生具備一定的建構(gòu)論證證據(jù)進行論證和修訂他人論證的能力，并且兩者涉及的認(rèn)知思維過程幾乎無差異．這一研究結(jié)果與Heinze、Cheng和Yang（2004）的研究有所不同，他們的研究通過對中國臺灣和德國初中生在數(shù)學(xué)推理與證明任務(wù)上的表現(xiàn)狀況進行分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在進行一步推理論證或程序性推理論證上有非常好的表現(xiàn)[23]．

分析產(chǎn)生不同的原因可能是多方面的．比如中國初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較強調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)推理論證能力的培養(yǎng)[24]，但對小學(xué)生而言，他們參與推理論證的機會較為有限，這使得小學(xué)生的表現(xiàn)并不樂觀．主要體現(xiàn)為：在建構(gòu)或修訂支持性論證方面，學(xué)生雖然能夠采用一般化的思維方式進行論證，但也有部分學(xué)生采用舉例子的方式來進行論證，在建構(gòu)反駁性論證方面，有三分之一以上的學(xué)生無法找到正確的反例．因此，在教學(xué)實踐過程中，教師可以設(shè)計體現(xiàn)一般化思想的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，注重發(fā)展學(xué)生一般化的思維方式，為初中階段開展基于演繹證明的教學(xué)奠定基礎(chǔ)；同時教師也可以開展基于“反例”的論證教學(xué)，在幫助學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念的同時，發(fā)展學(xué)生對“反例”的進一步認(rèn)識．

5.3 學(xué)生在評價論證證據(jù)上的表現(xiàn)低于其它幾個維度上的表現(xiàn)

評價論證證據(jù)是指對他人針對某一數(shù)學(xué)主張所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)論證進行有效評判的過程，這是數(shù)學(xué)論證能力得以持續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)．學(xué)生在評價論證證據(jù)上的平均得分率為0.59，并且學(xué)生在評價論證證據(jù)上的平均得分率低于數(shù)學(xué)論證能力過程維度的其它幾個方面，表明學(xué)生評價論證的能力不足．主要體現(xiàn)為：在評價支持性論證證據(jù)方面，大部分學(xué)生能夠有效地做出批判性評價，但一部分學(xué)生缺乏對問題準(zhǔn)確理解及批判性評價的能力；在評價反駁性論證證據(jù)方面，學(xué)生能夠意識到反例在證明過程中的重要作用，但依然有一部分學(xué)生缺乏對反例的正確理解．這一研究結(jié)果與Selden和Selden（2003）的研究結(jié)果基本一致．在她們的研究中，通過調(diào)查大學(xué)生對4個數(shù)學(xué)論證結(jié)果的評價過程，了解學(xué)生在評價論證上的表現(xiàn)狀況，結(jié)果顯示有一半的學(xué)生在最初階段不能做出正確的判斷[25]．

整合上述結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：無論是小學(xué)生，還是大學(xué)生，他們在評價論證證據(jù)上的表現(xiàn)都不是特別樂觀，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是多方面的，其中最為重要的原因可能是在日常的教學(xué)實踐中，學(xué)生更多的是建構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)論證的問題，而涉及評價反思的機會并不多，這也使得學(xué)生在評價論證證據(jù)的能力上略顯不足．因此，發(fā)展學(xué)生評價論證證據(jù)的能力，教師需要在日常的教學(xué)實踐中形成有效的教學(xué)策略，提供給學(xué)生更多參與評價論證證據(jù)的機會[26]．

6 研究結(jié)論

基于研究結(jié)果與討論，形成以下研究結(jié)論．（1）學(xué)生在數(shù)學(xué)論證能力上的總體表現(xiàn)較好，在過程維度上的表現(xiàn)存在不同的特征．（2）學(xué)生在識別論證元素上的表現(xiàn)較好，但依然有改進空間，教師可以從最基本的數(shù)學(xué)概念知識入手，厘清簡單問題中的條件和結(jié)論，繼而逐漸過渡到分析復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題上．（3）學(xué)生在建構(gòu)論證證據(jù)和修訂論證證據(jù)上的表現(xiàn)一般且?guī)缀鯚o差異，因此教師需要設(shè)計體現(xiàn)一般化思想的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，注重發(fā)展學(xué)生的一般化思維方式，為初中階段開展基于演繹證明的教學(xué)奠定基礎(chǔ)；同時教師也可以開展基于“反例”的論證教學(xué)，在幫助學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念的同時，發(fā)展學(xué)生對“反例”的進一步認(rèn)識．（4）學(xué)生在評價論證證據(jù)上的表現(xiàn)低于在其它幾個維度上的表現(xiàn)，因此教師需要在日常的教學(xué)實踐中形成有效的教學(xué)策略，提供給學(xué)生更多參與評價論證證據(jù)的機會．

總體而言，調(diào)查研究結(jié)果不僅為教師了解學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的現(xiàn)狀提供了依據(jù)，同時也為數(shù)學(xué)教師有效開展基于數(shù)學(xué)論證的教學(xué)指明了方向．

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A Study on Sixth Graders’ Performance in Mathematical Argumentation Ability

ZHOU Da1, WANG Tian2, LIU Jian2, XIA Xiao-gang3

(1. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. Collaborative Innovation Center of Assessment toward Basic Education Quality, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;3. School of Mathematics and Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China)

Argumentation, as an effective way of communication, is the foundation and core of cultivating students’ critical thinking and rational thinking. This study takes primary mathematics as the carrier, selects 169 students in grade 6 as the samplings, constructs the assessment framework through theories, develops the assessment tools, and adopts the test method to make survey for knowing six graders’ performance in mathematical argumentation ability. The results show that: (1) students’ performance in identifying arguments’ elements is better, but there is still room for improvement; (2) there is no significant difference in students’ performance in constructing and revising argumentation evidence; (3) students’ performance in evaluating argumentation evidence is weak.

sixth graders; mathematical argumentation ability; performance study

2023–02–09

東北師范大學(xué)教育學(xué)部“元暉青年教師成長計劃”資助項目——數(shù)學(xué)推理與論證能力的測評任務(wù)開發(fā)及應(yīng)用研究（135211001）；全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——面向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境教學(xué)測評模型研究（XHA180286）

周達（1991—），男，內(nèi)蒙古興安盟人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育、教育測量與評價的相關(guān)研究．

G622

A

1004–9894（2023）04–0065–07

周達，王田，劉堅，等．六年級學(xué)生數(shù)學(xué)論證能力的表現(xiàn)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2023，32（4）：65-71．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]