水準測量的中誤差計算與i 角檢驗

1 引言

得益于信息科技的進步，越來越多的測量測繪人員，在進行水準測量作業后，直接采用軟件進行計算和分析測量成果，軟件的便利與快捷也導致測量人員忽略了手動計算中誤差的計算方法。 標準和規范中對測量精度的要求，是以測站高差中誤差或高程中誤差來控制測量精度的指標。 因此，現場測量人員都應該熟悉掌握中誤差的計算方法，在作業的同時，現場可以檢驗測量的成果，當發現精度指標不滿足要求時，可以及時進行復測，避免不必要的返工重測，降低測量成本增加的可能性，提高測量精度，為質檢人員提供可靠依據。 本文的中誤差計算公式也可為信息科技的發展提供了更多參考， 為軟件開發人員提供更多的中誤差計算編程方法。同時，本文還將介紹水準儀i 角（水準儀的視準軸在垂直方向與水準軸的夾角稱為i 角）的檢驗和校正，通過對水準儀i 角校正的誤差分析，提出相關理論改善來校正方法，可以有效改進水準儀i 角的校正結果準確度。

2 中誤差計算公式推理

在進行水準測量時，系統誤差具有規律性，可以通過測量手段找到并進行消除，偶然誤差是沒有規律且不好避免的，因此，本文所講的誤差為偶然誤差[1]。

后視點A 高程為HA， 水準儀讀數的真值為hA，A 點的測量誤差為hAi，前視點B 的水準儀讀數真值為hB，B 點的測量誤差為hBi。

AB 點的高差等于A 點讀數減去B 點讀數， 即hAB=hA+hAi-（hB+hBi）。

AB 點 的 高 差 誤 差 表示 為：ΔAB=hAi-hBi， 假設 測 量 次數為2， 求出的高差誤差為ΔAB， 那么高差中誤差表示為m'ab=。

B 的高程HB等于A 點高程加AB 點高差，即HB=HA+hAB；后視點A 的高程誤差HAi，中誤差為ma′，B 點的高程誤差表示為HBi=HAi+ΔAB，當后視點A 為已知點時，后視點中誤差ma′=0，則B 點高程中誤差表示為。

當水準路線為閉合水準路線或附和路線時， 需要考慮閉合差對每個測站的影響， 將視距作為權P 考慮對每個測站的影響因數，經過權的分配，每個測站代入改正數V，進一步減小測量誤差，提高最終成果的精度。

則高差中誤差表示為：

高程中誤差表示為：

式（1）~ 式（2）中，i 為測站；Pi為i 測站的權值；Vi為i 測站的高差改正值；P1~i為第1~i 測點的權值和；V1~i為第1~i 測點的高差改正值和。

在閉合或附和水準測量中，閉合差或附和差為Δ，水準路線總長度為L，第i 測站的視距長度為Li，第1~i 測站的累加視距長度為L1~i。 那么，，，。

將Pi、Vi、P1~i、V1~i替換，任意測站的 前視點（轉點）用n 表示，則中誤差計算公式：

任意測站的高差中誤差表示為：

任意測站的轉點高程中誤差表示為：

對測站中存在的中間測量點，中誤差計算公式：中間測量點的高差中誤差表示為：

中間測量點的高程中誤差表示為：

式（5）~ 式（6）中，mn-1為當前測站后視點的高程中誤差；P′i為中間測量點的權值；L′i為中間測量點與后視點的視距和。

3 中誤差計算成果的驗證

為了對本文推理的公式結果的準確性進行驗證， 選擇目前市場上應用較為廣泛、 認可度比較高的一款平差軟件Adjust Level， 在實際工程項目中對同組數據進行計算結果比對。

案例1：浦東新區惠南鎮某養老院項目竣工，需要對使用期間的建筑物進行沉降觀測，按照規范要求，在施工影響范圍以外布設3 個基準點，點號為BM01~BM03，對建筑物四角及沉降縫、 中間部位布設沉降觀測點共計12 點， 點號為J01~J12。

該項目沉降觀測等級采用三等水準測量精度控制， 建筑物沉降觀測點測站高差中誤差精度指標為1.5 mm，視線長度小于或等于75 m， 大于或等于3 m， 前后視距差小于或等于2.0 m， 采用數字水準儀每點重復測量2 次， 采用光學水準儀時，進行基本分劃和輔助分劃分別讀數，兩次讀數所測的高差之差限差為3.0 mm，觀測前i 角不超過20 s（三等）。

按照以上精度要求，采用索佳SDL03 數字水準儀進行測量，現場采集數據，本文利用推理的中誤差公式，對原始數據進行平差計算，并計算中誤差，成果如表1 所示。

表1 計算成果表

通過計算，成果總結如下：（1）環線長度327.646 m，閉合差-0.00139 m，測站數為6 站；（2）最大高程中誤差0.000 96 m，點號J06，最小高程中誤差0.000 39 m，點號BM02；（3）平差后高差中誤差，最大高差中誤差0.000 67 m，后視點號TP01，前視點號J12。

將原始數據1.csv 導入水準平差軟件Adjust Level 進行計算，以經典平差方式自動計算，計算成果如圖1~圖2 所示。

圖1 平差結果

圖2 高程殘差

通過對比可以發現， 本工程在使用相同原始數據的情況下，AdjustLevel 軟件自動計算的成果數據與本文公式計算結果相同。

4 普通水準儀的校正誤差分析

當對水準儀i 角進行檢驗時，實際上是對水準管軸平行于視準軸（i 角）的檢驗。 首先，假設人為操作誤差為零，對于普通水準儀i 角（適用于三、四等水準測量）檢驗如圖3 所示。

圖3 普通水準儀i 角檢驗

校正過程如下：將儀器架設在A、B 尺中間J1位置，測量并計算出理論真值高差為h0=a1′-b1′=a1-b1，然后將儀器架設在J2處，測出A、B 尺讀數a2、b2，高差h1=a2-b2，則調整值為b2+h0（圖3 中的a2″），i 角= h1-h0×ρ/D1（“ρ” 為1 弧度， 約等于206 265′），轉動十字絲環的螺絲，使讀數a2等于調整值a2″[2]。

由圖3 可以看出，a2″并不是A 尺的理論真值讀數值，儀器校正過后仍存在誤差，J2至B 尺的距離2 m， 假設i 角誤差20″，A、B 尺距離80 m，則測量值b2與理論真值b2′之間差值為δ=i/ρ×D2=20/206 265×2 000≈0.19 mm，也就是說i 角校正時的理論計算的基礎本身就存在0.19 mm 誤差。

首次儀器校正后，再次進行i 角檢驗，測站J1高差為h0，測站J2高差為h1′， 則，J1與J2的高差之差為h1′-h0=δ-δ×D1/（D1+D2）≈0.189 3 mm，i 角= h1-h0×ρ/D1≈0.488″。 此時我們發現雖然對儀器進行了校正，但在理論上并沒有真正對i 角歸零；假如i 角的首次檢驗值為60″，校正之后的i 角值將會等于1.46″，對于測量距離60~80 m 的誤差為0.42~0.57 mm，在測量中誤差會根據測站的傳遞進行累加，因此影響還是很大的，而且人為操作誤差不可能為0，實際i 角校正中，真實誤差會相差更多。

在實際校正水準儀時， 應該消除水準儀的理論誤差δ，使其只存在人為操作誤差，將i 角誤差減少到最小。 當儀器在J2時，A 尺理論真值讀數a2′=a2-（D1+D2）×i/ρ， 調整十字絲環使a2=a2′，即可完成i 角的校正，同時也消除了理論誤差δ。

5 精密水準儀的檢驗和校正

普通水準儀主要是用于三、四等水準測量，精度要求相對不高， 但對于一、 二等水準測量， 要求精密水準儀i 角小于15″，規范要求的測量精度非常嚴格，精密水準儀i 角檢驗如圖4 所示[3]，校正方法與普通水準儀不同，普通水準儀i 角檢驗原理中儀器距離兩尺之間距離較遠， 讀數的清晰度不如精密水準儀i 角檢驗原理，這樣就增加了讀數誤差（視差），也就是說相同等級測量的情況下，精密水準儀i 角檢驗過程的精度要高于普通水準儀的i 角校正的精度。 因此，有必要整理一套簡便且精度較高的精密水準儀校正方法。

圖4 精密水準儀i 角檢驗

精密水準儀i 角檢驗原理如圖4 所示， 在J1位置測量得出h1=a1′-b1′， 在J2位置測量得出h2=a2′-b2′，A、B 尺高差真值應為h0=（h1+h2）/2，Δ= h1-h0/2，i=Δ×ρ/20 600。

為了校正時更加便捷， 不在煩瑣地去布設測點和量取距離，最好的方式就是繼續利用目前已經布設好的J1、J2、A、B 位置，在水準儀i 角校正時，扶尺人員操作誤差暫忽略不計，那引起i 角校正誤差的原因主要還有兩點：人為測量誤差、讀數誤差 （視差）。 按照圖4 路線，J1—A—B—J2之間距離20.6 m，儀器讀數最遠距離為2×20.6=41.2 m， 小于普通水準儀的D1+D2=62~82 m，距離的改變帶來的是視距的減小，物體成像更加清晰，使測量人員在讀數時，可以更加準確地讀數，最大程度減小了視差，將儀器分別架設在J1、J2兩處測量讀數，計算出高差真值h0， 在將儀器架設在J2位置， 理論真值a2=a2′-2Δ或a2=a2′-20.6×2×i/ρ，調整十字絲環的螺絲，使讀數a2′=a2，即可完成i 角的校正。 理論上來說，此方法消除了i 角誤差，減小了視差，每次校正后i 角無限趨于零。

6 結語