力學中的最優值與黃金數的關系研究

1 引言

在美學領域，黃金比例被視為最美的比例。 在線性黃金分割中，攝影構圖中的最佳比例是0.618∶0.382，在建筑中存在著邊長比為1∶0.618 的黃金矩形，穹頂建筑也存在著黃金分割[1-2]。與黃金比例0.618 相對應的還有黃金角度137.5°，它恰好把圓周分成兩條比值為1∶0.618 的半徑。 許多植物的生長規律都遵循著黃金角度，如車前草之間的夾角為137.5°，這樣排列能更充分地獲得光照。 從線性黃金分割到黃金角度，0.618、0.382、1.618 這幾個數字常被視為美與最佳的代表，令Φ=0.618，則與0.618 相關的幾個 數都可以 用Φ 來表示，Φ2=1-0.618，1/Φ=1.618，這幾個數都可被定義為黃金數。

力學中常有最優值問題， 如最優結構形式、 最佳截面比等，而力學問題的最優解往往與形有關。 圖解靜力學[3]和拓撲優化法作為兩種常用的力形分析方法， 在結構優化中發揮很大作用， 而結構優化的結果往往與自然界存在的形態相似[4]。因此可以推測：力學中的最優值與美學中的最優值即黃金數Φ有關。

在力學領域，董天立[5]發現在力學中存在著接近黃金分割率的數值，朱貝貝[6]研究了一類二自由度系統振動的黃金分割率，但該研究僅針對某類特殊的系統進行研究，且與力學最優值無關。 還有學者通過拓撲優化研究了葉脈分布中的黃金分割現象，該現象使得葉脈的力學性能幾乎達到最優。 該研究進一步說明， 力學中的最優值與自然界的黃金數之間是存在密切關聯的，若能發現兩者之間的規律，也許對于工程的設計和優化是個不小的幫助。 本文通過理論推導得到了梁的內力分布、巖石強度、土體內摩擦角與黃金數Φ 的關系，為黃金數應用于工程優化設計打下了基礎。

2 黃金數的來源

黃金數來源于數學中的線段劃分問題[7]，假設整條線段AB 的長度等于1，劃分點C 將線段分割成了長度分別為x 和1-x 的兩部分，如圖1 所示。

圖1 線段劃分示意圖

展開可得到：

將方程解取倒數，可得到：

滿足方程：

式（2）和式（3）被稱為黃金方程。 黃金數也常常被發現在幾何圖形中，例如，在五角星（或正五邊形）中就存在許多黃金角度的例子。

如圖2 所示，在正五邊形ABCDE 中，對角線AC 與BD 和BE 分別交于G，F，則有：

圖2 正五邊形

且此時， 五角星的每一個頂角都等于36°。 △CAD、△DBE、△ECA、△BDA、△CEB 都是頂角為36°，底角為72°的等腰三角形，在這些三角形中也存在著許多黃金分割，因此36°也被稱為黃金角度。

3 黃金方程組及其方程解

黃金數不僅存在于幾何領域， 在力學領域里也扮演著有趣的角色。 為了探討力學中的黃金數，先對式（2）和式（3）兩個黃金方程進行分析。 設：

其中，n=1，2，3，4，…，數列an=1，3，4，7，11，18，…，且數列滿足an+1=an+an-1。 令方程等于零，當n 取不同的數值時，可得到如表1 所示的黃金方程組及其方程解。

在表1 中發生了有趣的現象， 方程表達式和方程解都與斐波那契數列密切相關。 方程中的數列符合斐波那契數列分布，此時方程解也十分有趣。

表1 黃金方程組及其方程解

設φ（x）=0 的解為：

黃金方程及其方程解與斐波那契數列有著密切的關系，方程的表現形式與力學中的3 種常見荷載所形成的矩的表達式有相似之處，是溝通力學與黃金數的重要橋梁。

4 懸臂梁的反彎點與黃金數

懸臂梁在土木工程中被廣泛應用， 作用在梁上的基本荷載一般包括3 種：均布荷載（梁體自重）、集中荷載、集中力偶，且集中荷載和集中力偶往往具備交變荷載的特性。 在復雜荷載作用下，梁內部將產生彎矩，梁截面的設計也往往與彎矩的分布密切相關。 當梁內部產生不同方向的彎矩時，反彎點（彎矩為零的位置）的判斷將影響到桿件材料的效率。

梁的彎矩方程與黃金方程有關。 以式（3）為例，設線段總長度為l，則式（2）的表達式由x2+x-1=0 變為：

對于圖3 所示懸臂梁，不計梁的自重，則彎矩方程可表達為：

圖3 懸臂梁

對比式（7）和式（8）發現，黃金方程的表達式可以適用于梁內部彎矩的表達，由此推測，當彎矩為零時出現反彎點，反彎點的位置可能與黃金數有關。

表2 交變荷載下梁的彎矩方程和反彎點位置

表2 中彎矩方程的表達式與黃金方程表達式十分接近，反彎點位置的變化規律也與黃金方程的方程解變化規律非常相似，反彎點位置不斷趨近于零，與實際受力相符。 從表2 中可看出，彎矩方程與黃金方程對應，反彎點位置對應與黃金方程的方程解。 說明力學與黃金數之間存在著微妙的關系，黃金方程可反映常見的梁在一般荷載作用下的彎矩變化， 黃金數則與梁的反彎點的位置有關。

5 應力狀態中的黃金數——最優主應力數值問題

材料力學中對于應力狀態的確定可以由摩爾圓得出，但在摩爾圓中僅僅考慮了第一和第三主應力的大小， 卻忽略了中間主應力的效應。 從20 世紀80 年代以來，許多學者都指出中間主應力σ2的改變（在σ1和σ3都不變的情況下，增加或減小σ2）可以引起巖石的破壞，甚至可能引發地震[8]。中間主應力取何值時巖體強度最大由此成為值得討論的問題。 在考慮了中間主應力效應的統一強度理論中我們發現， 公式判別條件對3 個主應力之間的關系進行了歸納[9]，當三者之間的關系滿足式（9）時，兩個統一理論公式都適用，即：

式中，σ1，σ2，σ3分別為該應力點的第一、第二、第三主應力；α 為材料的抗拉強度與抗壓強度的比值。

根據式（9）可以得到：

式（10）在空間狀態下的應力圓中表示的是小應力圓與大應力圓的直徑比，該比值恒小于1。 Bezalel Haimson[10]為了研究中間主應力對巖石強度的影響，采用真三軸試驗，保持第三主應力σ3的數值不變，由小到大調整第二主應力σ2的數值，探究第一主應力σ1的大小，得到的試驗結果如圖4所示。

圖4 粉砂巖的真三軸試驗結果

從試驗結果中發現，曲線都經歷了先上升后下降的過程，通過提取各個曲線最高點的位置所對應的3 個主應力的大小，可以發現當滿足式（11）所示關系時，巖體強度達到最大值：

黃金數0.618 也在此范圍內。 取α/（1+α）=0.618 可得到α=1.618。 上文提到令Φ=0.618，則可得到：

黃金數在材料力學中扮演著有趣的角色。 當材料的拉壓強度比α 為黃金數1/Φ 時，中間主應力σ2與σ1和σ3的距離比為Φ∶Φ2，此時材料強度可達到最大值。

6 土體中的黃金數——最優內摩擦角問題

在土力學中， 土體抗剪強度的計算方法圖示參見圖5，計算公式可用庫倫-摩爾公式表示[11]：

圖5 庫倫- 摩爾應力圓

式中，τf為剪切破裂面上的剪應力，即土的抗剪強度；σtanφ 為摩擦強度，其大小正比于法向壓力σ；φ 為土的內摩擦角；c 為土的黏聚力，為法向應力為零時的抗剪強度，即其大小與所受法向應力無關，對于無黏性土，c=0。

由土體的抗剪強度公式表明， 土體內摩擦角的增大對于抗剪強度的提高是有正向作用的。 砂巖是最常見的修筑石材，主要由石英和長石組成， 這兩種成分也是組成地殼最常見的成分。在常見的土類里，砂土擁有最大的內摩擦角。由《工程地質手冊》[12]中的統計數值取砂土的內摩擦角平均值，可得到平均內摩擦角為約為36°，即上文提到的黃金角度。

根據統一強度理論引入內摩擦角φ 之后， 臨界判別條件公式為：

式中，φ 為土體的內摩擦角。

聯立式（9）和式（14），可得到內摩擦角與材料拉壓強度比之間的關系為：

當土體為砂土時，代入平均內摩擦角36°，可得到sinφ≈0.618，此時：

圖5 所示的應力摩爾圓與抗剪強度線圍成的△O′ba 中，將φ=36°代 入， 應 力 圓 半 徑ab=0.618=Φ 時， 直 線O′b=，三角形斜邊O′a=1，三條邊之間的關系構成了黃金三角形。

黃金數Φ 在土力學中也扮演著有趣的角色。 當sinφ≈Φ時，材料的拉壓強度比α=Φ3，在應力圓與抗剪強度線構成的直角三角形中，三條邊的比例為且此時內摩擦角的數值等于36°，是所有常見土體中的最大平均值。

7 結論

除了美學中存在黃金數之外， 力學中也存在黃金分割現象。 力學中的許多最優值都與黃金數Φ=0.618 有關，且黃金數的存在包括了材料力學、土力學、結構力學等多個力學相關領域。

1） 黃金方程x2+x-1=0 與x2-x-1=0 及其方程解與斐波那契數列密切相關。 黃金方程可以表示懸臂梁在常見的3 種荷載下的彎矩變化情況，且方程解反映了梁的反彎點位置，這對于提升構件材料的經濟性提供了很大的幫助。

2）當巖石的中間主應力σ2與第一主應力σ1、第三主應力σ3之間的關系滿足關系式（σ2-σ3）/（σ1-σ3）=Φ 時，巖體強度取得最大值，此時材料的拉壓強度比為黃金數1/Φ。

3）當土體的內摩擦角φ 滿足sinφ≈Φ 時，內摩擦角的數值等于36°，是多種常見土體中的最大平均值，此時材料的拉壓強度比α=Φ3，且在應力圓與抗剪強度線構成的直角三角形中，3 條邊的比例為。