一道解析幾何試題的溯源及推廣

陳偉流　蘇倩倩

高考命題堅持“以核心價值為引領(lǐng)”，“以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向”，“以關(guān)鍵能力為重點(diǎn)”，“以必備知識為基礎(chǔ)”四大原則為理念，以“四翼”為考查要求解決了數(shù)學(xué)怎么考的問題，這就要求一線課堂中要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主動能動性，以培養(yǎng)學(xué)生良好的思維模式及解題習(xí)慣，促進(jìn)有意義的學(xué)習(xí)；本文以2023屆T8聯(lián)考試題為例，淺談對學(xué)生解題，對課堂教學(xué)提質(zhì)增效的些許思考與嘗試.

1 試題呈現(xiàn)

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，直線過拋物線C的焦點(diǎn)F且與交于兩點(diǎn)A，B，ΔHAB的面積的最小值為4.（1）求拋物線C的方程；（2）若過點(diǎn)Q（17/4，1）的動直線l交C于兩點(diǎn)M，N，試問拋物線C上是否存在定點(diǎn)E，使得對任意的直線l，都有EM⊥EN，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.

2 試題分析

2.1 內(nèi)容分析

本題以拋物線為情景，有機(jī)融合了解析幾何中常見的面積最值，直線過定點(diǎn)，斜率和（積）定值為等熱門題型，知識覆蓋面廣，難度系數(shù)較大，滲透了數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論等數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的考查，充分體現(xiàn)了高考評價體系中“以核心價值為統(tǒng)領(lǐng)”、“以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向的”命題理念，體現(xiàn)三新背景下高考的新時代特點(diǎn)，有效呼應(yīng)了高考試題的教育、評價和導(dǎo)向功能.

2.2 溯源分析

在試題背景的挖掘上，本題可追溯到2019人教A版選擇性必修第一冊習(xí)題3.3的第6題；人教B版選擇性必修第一冊習(xí)題2-8B第2題，03復(fù)習(xí)題第16題，第25題以及2020年山東高考第22題，歸屬于解析幾何中“弦張直角過定點(diǎn)”的類型，始終圍繞著曲線上的定點(diǎn)，弦過定點(diǎn)，兩垂直弦這三要素為條件或結(jié)論進(jìn)行有序排列命題，可進(jìn)一步深度推廣為更一般的手電筒模型［1］，具備極大的研究價值.

3 解法分析：通法通解引領(lǐng)，明確運(yùn)算方向

評注：對于雙曲線的相關(guān)結(jié)論，只需將橢圓結(jié)論中的b2替換為－b2即可；同時對于定點(diǎn)E在圓錐曲線內(nèi)或外，以及三種圓錐曲線進(jìn)一步更統(tǒng)一的結(jié)論及其證明，詳細(xì)見文獻(xiàn)［3］，不再贅述.

參考文獻(xiàn)

［1］ 董榮森，李萍.構(gòu)造“二次”是關(guān)鍵 尋找“關(guān)系”是根本——類似“手電筒”模型中有關(guān)直線恒過定點(diǎn)問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（09）：37-40.

［2］ 彭海燕，李維.突出圖形探究 強(qiáng)化代數(shù)推理——2022年高考“平面解析幾何”專題解題分析［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2022（Z4）：78-85.

［3］ 李世臣，陸楷章.圓錐曲線對定點(diǎn)張直角弦問題再研究［J］.數(shù)學(xué)通報，2016，55（03）：60-62+66.

廣東省惠州市教育科學(xué)研究項目《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下提升高中生問題解決能力的教學(xué)策略研究》（課題編號：2021hzkt192）