基于范希爾理論的“拋物線及其標準方程”教學探索

陸婭君　冉勝利　王睿

“拋物線及其標準方程”是高中階段學習的難點，通常被安排在“圓錐曲線的方程”內容的最后一節，其內容是對初中二次函數內容的深化，其形式是這一章中變化最多的也是最為抽象．因此，該教學在厘清概念的基礎上，要緊緊地契合學生的幾何思維現狀，幫助學生發展其幾何思維水平．范希爾理論能衡量學生的幾何思維水平，對于幾何教學具有一定的指導意義，還能促進學生幾何思維水平的提升[1]．范希爾理論的核心內容有兩個：一是幾何思維的五個水平（視覺、分析、非形式化的演繹、形式的演繹、嚴密性），用以診斷學生的幾何思維水平；二是與之對應的五個教學階段（學前咨詢、引導定向、闡明、自由定向、整合），提出了一種幾何教學的模式[2]．本文基于范希爾理論對拋物線及其標準方程的教學進行分析，以期能更好地進行幾何教學．

1 學前咨詢階段——創設情境，感知拋物線

學前咨詢階段是指以本節課的知識為對象，教師根據學生的現有知識和經驗設置問題，然后師生之間以對話的形式進行交流，旨在更好地設計課堂教學．學生在初中階段已經學習了二次函數，能夠確認拋物線的圖象，但不能準確把握拋物線的具體特征和性質．此外，學生在初中物理中已經學習了如光的反射以及成像原理等知識．所以，教師選取手電筒發光作為拋物線的實物模型創設情境，既貼合學生生活實際，也符合學生已有的知識基礎，讓學生更好地投入課堂學習．

情境中教師用兩只手電筒正對著黑板，其中一只手電筒發出一束平行光線，而另一只手電筒發出了微弱的光線，幫助學生從現實中抽象出拋物線．

師：這是為什么呢？

生：觀察兩只手電筒可以發現，其中一只手電筒有燈罩，有燈罩的手電筒發出一束平行光．

師：有燈罩的這只手電筒之所以能發出平行光，是由怎樣的幾何結構決定的？

解釋：如圖1所示，根據手電筒的燈罩結構可知：這是一個旋轉曲面，是由過燈泡所在位置的縱截面與曲面的交線旋轉而成．

師：那么交線會是怎樣的曲線？如圖2所示．

生：拋物線．

師：它是怎樣形成的？又該如何定義拋物線？

設計意圖 通過將拋物線運用于手電筒的實例，并以師生對話的形式引導學生直觀感知生活中的拋物線，從而形成感性認識，幫助學生積累空間觀念的經驗，為下一階段的學習做好認知準備．

2 引導定向階段——問題啟發，探索幾何性質

引導定向階段是指在教師有目的的引導下，學生能感知教學活動進行的方向，逐漸走向領悟拋物線的幾何性質．學生在上一階段通過對實物進行抽象，得出了拋物線圖形，但是仍需進一步從數學角度分析手電筒的發光結構特征．此階段重點在于教師引導學生觀察光的反射軌跡，通過反射原理和對稱性找出虛光源的位置，再通過動態分析得出定點與定直線并認識拋物線的幾何特征，學生能夠達到“分析”的層次．

問題1 拋物線的形成與哪些因素有關？

在上一階段中，學生便知道拋物線的形成與燈泡所在點的位置有關．開啟電源時，手電筒發出了一束平行光線，實際上是由光源發出的．但從視覺效果上看，每一條平行光線就好像是從燈罩后面某個確定的虛擬位置（即虛光源處）直線發出的．不難得出，拋物線的形成與虛光源的位置有關．

問題2 虛光源所處的位置應該如何來確定？

在拋物線上任取點P，設從P點反射出去的光線為PT，根據視覺效果可以初步判斷虛光源一定位于光線PT的反向延長線上．根據光的反射定律，實光源和虛光源是關于反射鏡面對稱的，因此做出點P所在的反射鏡面，如圖3所示．

問題3 如何找到實光源F關于反射鏡面的對稱點？

過實光源F做鏡面的垂線，垂線FF′與PT的反向延長線相交于點F′，由此便找到了一個虛光源F′的位置，如圖4所示．

問題4 虛光源的分布存在怎樣的規律？

再做出三條平行光線的虛光源，并抹去作圖痕跡，如圖5所示．

問題5 這四個虛光源F′A，B，C的分布存在怎樣的規律？

學生不難得出，這4點是共線的．

問題6 如果反射點P取遍整條拋物線，虛光源會形成怎樣的圖形？

利用幾何畫板直觀驗證，發現無數的虛光源點形成了一條直線，如圖6所示．根據以上的探究得到：拋物線的形成與一個定點和一條定直線有關．

問題7 拋物線上的點與定點和定直線存在著怎樣的數量關系？

因為實光源F和虛光源F′是關于鏡面對稱的，由剛才的作圖便得到：拋物線上的點P與定點F′和定直線l的距離相等，由此便得到了拋物線的幾何特征．

設計意圖 教師為學生仔細安排教學活動的順序，幫助學生明確教學活動的探究方向，親身體驗知識的生成過程．幾何畫板動態地展示了“點P取遍拋物線上所有的點時，虛光源形成一條直線”的現象，揭示了拋物線形成因素的內在聯系；把“手電筒的燈罩原理”直觀呈現出來，培養學生直觀想象的核心素養．

3 闡明階段——抽象概括，形成概念

闡明階段是指基于之前的學習經驗和教師的引導，學生理解特定的數學語言，逐步感知概念的含義并能表達出幾何性質之間的聯系．學生在上一階段已經將拋物線的幾何特征分析完成，需要進一步將其抽象概括，形成概念．在教師的提示下，學生類比橢圓與雙曲線的概念得到拋物線的定義．在此過程中，教師需要對數學語言的使用進行規范，幫助學生形成嚴謹的邏輯表達．該階段學生處于“非形式化的演繹”水平，需要結合具體圖象對概念進行理解．

師：如何根據拋物線的幾何特征得到拋物線的定義？

在教師引導下，學生利用類比的方式得到拋物線定義：在平面內，與一個定點F和一條定直線l（l不經過F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．

師：如果直線l經過定點F，那么到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡又是什么？

師：如何根據拋物線的幾何特征畫拋物線？

分析：回顧剖析拋物線幾何特征的過程．如圖6所示，實光源F和虛光源F′關于反射鏡面對稱，因此反射點P（即拋物線上的一點）就位于線段FF′的垂直平分線上．因此，拋物線可以這樣來做：在平面內取定一個定點F和一條定直線l，在直線l上任取點F′，做出線段FF′的垂直平分線，拋物線上的點就在這條垂直平分線上．

師：如何確定拋物線上的點在垂直平分線上的具體位置？

分析：過F′做直線l的垂線，與FF′的垂直平分線相交于點P，連接PF，此時可以發現點P到定點F和定直線l的距離相等，因此點P是拋物線上的一點．點P的運動軌跡就是拋物線，并用幾何畫板展示拋物線的形成過程，如圖7所示．

活動：給定一個定點F和一條定直線l，大家自己動手畫出一條拋物線．（工具：拉鏈、直角三角板、圖釘、畫筆）

設計意圖 經歷利用定義畫拋物線的過程，讓學生感受到數學的嚴謹性，發展學生數學抽象的核心素養．通過幾何畫板把抽象的問題直觀化，使得學生更深入地理解拋物線的定義以及作圖方式．

4 自由定向階段——內化概念，全面理解

自由定向階段是指學生在多步作業或以不同方式完成作業的過程中，獲得知識經驗，逐步深化對概念的理解并能夠完善相應的知識結構．學生能夠將相應的文字表達與圖象相對應，尚沒有達到“形式演繹”水平．因此，教師需要引導學生在坐標系中分析拋物線的幾何性質，進一步確定拋物線的方程．通過此階段的學習，學生可以了解到利用坐標法研究幾何問題的重要性和了解拋物線幾何性質的意義．

師：我們已經用文字語言描述了拋物線的定義，那么用符號語言又該如何來描述？

問題 假設（）Mxy，，求平面內到定點F（p/2，0）（p>0）與到定直線：l：x=－p/2距離相等的動點M的軌跡方程．

生：y2=2px（p>0）.

此時，教師再改變定點和定直線的位置，便得到拋物線的另外三個標準方程．

分析：拋物線有四種標準方程，每一種標準方程刻畫著不同的函數圖象，如何畫出相應函數的圖象？（運用幾何畫板展示拋物線的解析式與圖象變換的動態過程，并幫助學生理解標準方程所對應的函數圖象）．

設計意圖 學生自主學習，主動參與到知識的形成過程中，感受數形結合的數學思想方法．通過推導拋物線的標準方程，使學生進一步體會“定點”與“定直線”是拋物線定義的兩個關鍵要素，體會用代數運算研究拋物線幾何性質的過程．

5 整合階段——總結升華，掌握方法

整合階段是指學生通過回顧、反思自己所用的方法并形成一種觀點，使得知識對象和關系被整合統一并內化進一個新的思維領域．“嚴密性”層次不是簡單的幾節課就能形成發展的，需要學生在學習的過程中不斷比較、提煉、總結，才能在大腦中形成結構嚴密、完整的知識體系．

師：通過本節課的學習，你收獲了什么？

總結知識的生成過程，理解拋物線相關知識之間的聯系，如表1．

（1）本節課是如何剖析拋物線的幾何特征？

（2）是利用什么方法將拋物線的文字語言轉化為了符號語言？

設計意圖 回顧本節課所學知識及所用方法，體會數形結合的思想、坐標法在幾何中的運用．將新學習的知識納入原有的認知結構中，形成知識的綜合圖式，潛移默化地培養學生的數學素養．

范希爾理論是對學生思維水平的刻畫，教師在實際的幾何課堂教學中不能簡單的基于學情進行教學，而是要關注學生的思維發展過程，關注到幾何思維水平之間的障礙．所以，基于范希爾理論進行教學設計是立足于學生主體性、關注學生過程性發展的教學，有助于學生在學習中提升思維品質、發展核心素養．本教學設計依托“閱讀材料”欄目內容，以拋物線的光學性質為情境，根據學生的思維水平進行提問，以問題驅動教學，借助幾何畫板直觀地展示了拋物線形成軌跡的過程，使學生逐步抽象并真正地理解拋物線的幾何性質，將數學抽象和直觀想象等核心素養的發展貫穿在教學過程中．