關于幾個統計量的教學思考

翁高成

1 背景介紹

初中階段對幾個統計量的教學實施大部分都流于表面，更多時候把側重點放在技能的訓練上，而不注重對幾個統計量的概念理解，導致原本課標設置好的兩條主線，即數據的“集中趨勢”和“離散趨勢”，未能在教學中得到具體的貫徹和落實，從而導致學生數據分析的觀念薄弱．這一切的根源在于許多教師自己本身也未弄清這幾個常用統計量的區別與聯系，所以無法把控教學關鍵，不能進行精準教學．本文將結合統計學理論和實際的教學案例來重點談談“平均數、中位數、眾數、方差”這幾個統計量在本質上的區別和關聯以及本人在教學中落實兩條主線的具體措施，旨在初中階段引導學生形成較為成熟的數據分析觀念，以便順利對接高中統計模塊的學習，并促成學生擁有適應未來生活的基本統計意識．

2 集中趨勢和離散趨勢

2.1 概念理解

“集中趨勢”又稱“數據的中心位置”“集中量數”等，它是一組數據的代表值．集中趨勢的概念就是平均數的概念，可以用它表明所研究的總體現象在一定時間、空間條件下的共同性質和一般水平．從變量數列的角度來說，由于整個變量數列是以平均數為中心而上下波動的，由此可以看出平均數反映了總體分布的集中趨勢，它很好地代表了總體分布的某些重要特征．依據變量數列的平均數，就可以了解所研究總體的一般特征和集中趨勢．數據的集中趨勢是用來描述分析總體現象的重要統計指標，常用的有平均數、中位數和眾數等，它們在不同類型的分布數列中有不同的測定方法．

“離散趨勢”是指在統計學上描述觀測值偏離中心位置的趨勢，反映了所有觀測值偏離中心的分布情況．描述一組數據“離散趨勢”的常用統計量有極差、方差、標準差、標準誤差、四分位數間距和變異系數等，其中方差和標準差最常用，人教版中學數學教材介紹了極差和方差，對標準差不作教學要求，放置在課后的閱讀材料中供學生拓展了解．

2.2 教學思考

人教版教材在編排時，嚴格遵循統計學的概念．在“數據的分析”這一章節設置了“數據的集中趨勢”和“數據的波動程度”兩部分的內容．希望借助具體的實例，加強學生對兩個概念的初步認識．

從以上論述可以看出“集中趨勢”和“離散趨勢”是極其抽象的統計學術語，在教學過程中，直接把這兩個名詞傳遞給學生，希望學生能理解概念的字面意思，基本是教師的一廂情愿．這樣的做法不僅沒有讓學生更易于接受和理解概念，反而容易讓學生對統計學概念的本質流于表面．但是，課標又希望學生能形成初步感知，那么在具體教學中應如何處理這部分內容呢？以下談幾點個人想法：

（1）可以在“數據分析”這一章節前，布置學生收集相關的材料，材料的內容可以包括平均數的意義和用處、分析數據常用的方法、分析數據常用的幾個統計量、統計學的發展歷史等，從收集材料中獲得對“統計學”的初步印象，然后設計一堂閱讀活動課，讓學生分享成果，達到對“集中”和“離散”的初步認知．至少讓學生明白數學知識的來龍去脈，以及知識間的關聯．

（2）教材在介紹“數據的波動程度”時，在這一節課用了三個具體事例，這些事例中涉及的數據都故意選用一些“平均數”近似相等的實例，教材這么選材的目的：一是旨在告訴學生，當通過集中趨勢分析數據無法幫忙做出決策時，關注數據的離散趨勢可以給我們提供另外一個決策角度；另一目的就是不希望給出的模型太過理想，讓學生覺得只有當平均數一樣時，才能考慮方差．很顯然，“集中趨勢”和“離散趨勢”只是決策時分析數據的角度而已，我們也可以多借助這樣的題目，讓學生形成對“集中”和“離散”的初步認識．

3 平均數、中位數和眾數

3.1 來源和關聯

在分析數據的時候，經常會用到平均數、中位數和眾數，主要是為了分析數據的“集中趨勢”，但是學生并不知道這些統計量的關聯，要想讓學生很好地了解如何利用它們來進行數據“集中趨勢”的描述，只知道如何計算它們是不夠的．所以，知道這些統計量之間的關聯是很有必要的．

總的來說，獲得數據“集中趨勢”的方法有兩種：數值平均數和位置平均數．

數值平均數就是從總體各單位變量值中抽象出具有一般水平的量，這個量不是各個單位的具體變量值，但又要反映總體各單位的一般水平，包含算術平均數、加權平均數、幾何平均數、調和平均數等．顧名思義，位置平均數就是根據總體中處于特殊位置上的個別單位或部分單位的標志值來確定的代表值，它對于整個總體來說，具有非常直觀的代表性，因此，也經常用來反映分布的集中趨勢，常見的有眾數、中位數．

3.2 教學思考

簡單來說，“平均數，中位數，眾數”從本質上來看其實就是不同形式的“平均數”，用來反映數據的“集中趨勢”．換個思路，既然三者的作用一樣，那么在課堂或者課后練習中就應該多設置一些開放性的題目，回答時需要同時考慮到這三個統計量，利用三者分別對這組數據的“集中趨勢”進行描述，最后選用最合適的或者最符合具體需求的進行決策，而不是重點突出“平均數”的地位和作用．也就是說，設置的問題必須要求決策者在進行數據分析時，需要考慮全面，進行權衡，有理有據，方可作出合適的決策．舉例如下：

例1 兩個群體A，B的年齡如下：

A：12，12，13，14，14，14，14，15，16，16；

B：4，5，5，6，6，7，7，7，65，67．

（1）求出群體A年齡的平均數、中位數和眾數．你覺得用哪個統計量可以較好地描述該群體年齡的集中趨勢？

（2）求出群體B年齡的平均數、中位數和眾數．你覺得用哪個統計量可以較好地描述該群體年齡的集中趨勢？

一個統計量用來描述這組數據是否合適，其實涉及到很多統計學的知識．粗略地講，只有當數據的個數很多時，我們才需較真這三個統計量在不同數據分布中的聯系和區別：如果數據是正態分布，那么這三個統計量都相等，位置居于分布的中軸線；如果數據是偏態分布，這三個統計量可用來描述這個分布的偏斜程度．總的來說，平均數的代表性最大，因為所有數據都參與運算，中位數代表性小一些，眾數代表性最差．在選用這些統計量時，要從分析需要和數據的具體情況兩方面考慮．當數據中沒有極端值，分布較對稱，應選用平均數．當數據分布不對稱，分布的一端有極端數值時，應選用中位數．當需要粗略地和快速地了解數據集中趨勢時，我們就可選用眾數．

4 差異量數

差異量數即離散趨勢量數，是表示樣本數據偏離中間數值的趨勢的量數，或者說它是反映樣本頻率分布離散程度的量數．初中教材中的極差、方差、標準差都是差異量數．

4.1 教學思考1

如果差異量數比較小，那么代表各數值較集中、整齊，波動小；反之，如果差異量數比較大，那么各數值分布的范圍廣且參差不齊．所以，差異量數可以反映出集中量數的代表性如何．可以這么說，差異量數越大，則集中量數的代表性就越小；差異量數越小，則集中量數的代表性就越大．比如，我們經常會碰到兩組數據的平均數一樣，但是兩組數據的離散程度不同．一組數據的分布可能差異較小，比較集中，那么就說明平均數的代表性較好．另一組數據可能差異較大，比較分散，那么平均數的代表性就較差．那么，在教學過程中，給數據分析的問題里添加差異量數的內容就可以說是非常有必要．通過計算差異量數，從而認識數據的“離散趨勢”，為決策提供依據．舉例如下：

例2 甲、乙兩名選手在相同條件下各射擊10次，每次命中的環數如下：

甲：6，5，4，6，7，8，8，9，10，7；

乙：6，7，7，6，7，9，8，5，7，8．

（1）求出甲、乙兩人的方差；

（2）結合計算結果，分析一下兩名選手的射擊情況．

這種類型題目的引入，有利于學生認識到：當數據的平均數相等時，數據之間還是存在其它的不同，比如這兩組數據的波動大小、整齊程度不同，乙較為集中，甲較為參差不齊，那么引入方差來描述這種情形顯得很有必要．實際情境中，兩個人平均實力相同，誰的成績更為穩定，就顯得相當重要．此時考慮差異量數，可以讓我們考慮問題更加全面，做出決策更加合理．

4.2 教學思考2

上述題目，兩組數據的平均數相同，但是很顯然，僅僅考慮平均數是不夠的，數值分布參差不齊時，平均數的代表性就差，這時需要差異量數介入分析，即求出這兩組數據的方差．換句話說，僅僅用集中趨勢來描述數據的分布特征是不夠的，只有把兩者結合起來，才能全面地認識事物．既然這樣，給教學是否可以帶來另一種思考．我們中學階段碰到的這類型的題目往往都是數據的平均數相同，最后通過計算方差，利用方差，反映數據的波動大小、穩定情況，從而做出決策，這樣單一類型的題，容易讓學生產生這樣的疑問：“難道只有當數據的平均數相同時，方差才有可能派上用場？”

很顯然，這樣的思維定勢，容易弱化差異量數在分析數據時的作用，對于數據分析的全面性是很不利的，學生容易偏向考慮數據的“集中趨勢”，而忽視“離散趨勢”的價值．所以，在教學上，我們可以考慮設置一些平均數不相同，然后借助方差來參與數據分析的題目．例如，對上述的甲、乙兩人成績做一個小小的改動，得到如下題目： 例3 甲、乙兩名選手在相同條件下各射擊10次，每次命中的環數如下：

甲：8，9，10，6，8，5，4，6，7，7；

乙：6，7，7，6，7，8，8，5，7，8．

（1）求出甲、乙兩人的方差；

（2）結合計算結果，分析一下兩名選手的射擊情況．

學生通過計算會發現，二者的平均成績相差不大．甲的平均成績是7，乙的平均成績是6.9．教師可以在此時提問：是否說明甲的射擊水平更加優秀呢？通過這樣的提問，學生會產生不同的看法，有的認為甲的平均成績高，所以甲比較優秀，但是也有同學認為，兩人的平均成績相差并不大，乙的方差比甲小，說明乙更穩定，綜合來看，乙應該更優秀．通過這樣的問題設置，激發學生的思考和討論，從而讓學生明白，對于數據的分析，應該根據具體情況，必要時需要把“集中趨勢”和“離散趨勢”結合起來，這樣看待事物才會更全面．另外，數據分析重在用合適的統計量進行有理有據的說理分析，不在于一定要分個高低勝負，貴在對每個統計量作用的體會和理解上．