基于Polaris控制的光學自由曲面快刀伺服技術研究

劉金文　孟松濤　楊成帥

摘要：快刀伺服技術具有加工效率高、加工精度高、表面質量好等優點，被廣泛運用于光學自由曲面加工。本文設計了音圈電機驅動的快刀伺服裝置，建立了快刀伺服系統數學模型，構建加速度、速度復合前饋控制算法，進行了位置保持、階躍、正弦跟蹤的閉環性能測試，表明快刀伺服系統滿足加工要求。基于快刀伺服系統控制器功能協調了刀具軌跡生成中快刀伺服裝置運動和機床運動的同步關系，以離線計算加工方式實現快刀伺服技術。完成了典型非回轉對稱中的斜面加工實驗，測得的粗糙度達到44 nm，表明設計研制的快刀伺服系統可以獲得納米量級的表面質量。

關鍵詞：快刀伺服；音圈電機；軌跡生成；光學自由曲面

中圖分類號：TH164 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.05.003

文章編號：1006-0316 （2023） 05-0014-07

Research on Fast Tool Servo Technology of Optical Free-Form Surface

Based on Polaris Control

LIU Jinwen，MENG Songtao，YANG Chengshuai

（ School of Electromechanical Engineering， Guangdong University of Technology，

Guangzhou 510000， China ）

Abstract：Fast tool servo technology has the advantages of high processing efficiency， high processing accuracy and good surface quality， so it is widely used in optical free-form surface processing. In this paper， a fast tool servo device driven by a voice coil motor is designed， a mathematical model of the fast tool servo system is established， an acceleration and velocity compound feedforward control algorithm is constructed， and a closed-loop performance test of position holding， step and sinusoidal tracking is carried out， and the results show that the fast tool servo system meet the processing requirements. Based on the function of the controller of the fast tool servo system， the synchronization relationship between the motion of the fast tool servo device and the machine tool movement in the tool path generation is coordinated， and the fast tool servo technology is realized through offline calculation and processing. A typical non-rotational symmetry bevel machining experiment is completed， and the measured roughness reaches 44 nm， which shows that the designed and developed fast tool servo system can reach the surface quality of nanometer scale.

Key words：fast servo tool；voice coil motor；trajectory generation；optical freeform surfaces

在反射、折射和衍射光學系統中，自由曲面元件是一種典型的微結構。與普通球面光學元件相比，自由曲面光學元件具有增加可制造表面范圍、提高光學性能、簡化系統結構、易于系統集成等優點，因此在光學、天文學、航空航天、汽車、半導體和醫療設備等領域中有著廣泛應用。

自由曲面的加工方法主要有快刀伺服加工（Fast Tool Servo，FTS）、慢刀伺服加工（Slow Tool Servo，STS）、超精密銑削、超精密研磨和拋光等。在這些加工方法中，超精密銑削、超精密研磨和拋光適合加工某一類的自由曲面，而慢刀伺服加工和快刀伺服加工可打破自由曲面類型的限制，但是相較于快刀伺服加工，慢刀伺服加工效率低，不適于大批量生產。快刀伺服加工具有精度高和靈活性高等特點，被公認為是加工自由曲面的有效辦法，引起了國內外研究者的興趣。國內對快刀伺服技術的研究相較于國外起步較晚，在裝置系統、加工工藝、刀具軌跡生成等方面還在追趕國外學者。

快刀伺服技術工作原理主要是機床主軸旋轉帶動著工件，同時機床的X軸移動，FTS系統基于實時得到的主軸旋轉位置以及X軸位置，根據待加工面形方程計算出相應的FTS進給位移，從而完成快刀伺服加工。

余德平等[1]將FTS集成至機床系統中，使其成為機床中的一個運動軸，從而用一臺控制器同時閉環控制機床的主軸、X軸及FTS，但無法在現有機床的基礎上增加快刀伺服功能，導致對現有機床的利用不足。目前普遍采用是配置給FTS系統一個獨立控制器，從機床系統主軸和X軸的編碼器中獲取角度和X位置，根據加工的微結構表面方程在線計算出FTS進給數據，或者從預先計算的查找表中獲取FTS進給數據，并通過FTS系統驅動刀具進行切削加工。Gao等[2]開發了一套基于壓電陶瓷驅動的快刀伺服系統，總行程為0.45 μm，系統閉環響應帶寬高達2.5 kHz，其假設主軸轉速和X軸速度保持同步，提前將FTS系統進給數據儲存至RAM（Random Access Memory，隨機存取存儲器）中，位于RAM中的16位D/A轉換器接收編碼器中的數字脈沖信號，并觸發RAM發送此刻旋轉角度所對應的FTS系統進給數據，不過在加工過程中可能因為主軸速度波動導致FTS軌跡發生改變。張國立等[3]采用壓電陶瓷驅動刀具，系統總行程為15 μm，頻率可達到3.5 kHz，將帶有高速FPGA（Field Programmable Gate Array，現場可編程邏輯門陣列）模塊的RT（Real-time，實時）控制器充當伺服刀架和機床之間的接口，控制器從而可以通過DI（Digital Input，數字輸入）模塊獲取機床編碼器信號，又通過AO（Analog Out，模擬輸出）模塊實時將在線計算的FTS進給數據發送出給快刀伺服裝置，但是采用在線計算方式得出的FTS進給數據只能用于加工公式描述的自由曲面，限制了系統的加工能力。

為解決上述問題，本文設計了基于音圈電機驅動的大行程快刀伺服系統，其行程可以達到20 mm，能實現大行程的光學自由曲面加工，并且基于Polaris控制器功能特點實現了快刀伺服系統的離線計算。可以加工一些復雜的、甚至沒有方程表達式的光學自由曲面，提高了系統加工能力。

1 系統設計與數學模型建立

1.1 總體構成

快刀伺服系統主要應用于高頻向、高精度的伺服運動中，采用傳統的傳動方法不可避免會產生摩擦、間隙等問題，降低快刀裝置的性能。為避免傳動機構帶來的誤差，選用音圈電機為驅動元件實現刀具直線運動。快刀刀架安置于氣浮導軌之上，音圈電機通過螺釘與氣浮導軌固定連接，從而實現了音圈電機驅動刀具進行切削運動。快刀加工精度的高低往往和音圈電機的性能有關，因此為實現音圈電機的高精準運動控制，構建了快刀驅動系統。快刀驅動系統的組成如圖1所示，Polaris控制器含有的DSP（Digital Signal Processor，高速數字信號處理器）可以顯著提高計算速度。75 V線性驅動器伺服更新頻率達到100 kHz，并且對位置模擬信號16384倍細分，具有高分辨率和動態范圍。Heidenhain直線光柵反饋，經過驅動器細分，理論分辨率可達0.12 nm。

1.2 數學模型

為了能夠更好地進行快刀運動控制策略的研究、提高運動控制精度，需要建立起準確的快刀伺服系統數學模型。采用音圈電機驅動的快刀伺服裝置，其數學模型主要由刀架的動力學模型和音圈電機電路模型構成。

（1）快刀刀架動力學模型

音圈電機驅動位于氣浮導軌上的刀具進行切削運動，在這過程中產生的安培力需要克服切削力、摩擦力從而獲得推動整個運動系統運動的慣性力。快刀裝置的導向裝置采用的是氣浮導軌，與氣體靜壓軸承中間會形成一層薄氣膜，因而摩擦力可以忽略不計。對裝置進行結構簡化后，根據力學平衡方程可以建立快刀刀架的動力學方程為：

式中： 為電機力常數；i為線圈電流；M為運動系統質量； 為運動系統加速度；c為系統的摩擦系數；v為運動系統速度； 為切削阻力。

（2）音圈電機模型

音圈電機中的磁通回路會產生均勻分布的磁場，通過改變線圈中的電流大小以及方向，可以促使線圈進行往復直線運動。因此根據音圈電機工作原理可以將其等效為一個簡單的電感電阻電路，建立其電壓平衡方程為：

式中：U為總電勢；L為線圈電感；t為時間；R為線路中電阻； 為電機反電動勢常數；v為線圈運動速度。

（3）總模型建立

音圈電機基于安培力原理，在均勻磁場下通電線圈會產生安培力驅動氣浮導軌移動，因而在此動態條件下，聯立式（1）和式（2），即得到系統的總數學模型。

對式（1）和式（2）進行拉普拉斯變換，消除中間變量，又因音圈電機電感為4.57 mH，強度較小，可以忽略不計，代入本課題選用的音圈電機的參數數據R＝6.05 Ω、M＝1.4 kg、KF＝68.4 N/A、KB＝68.9 V/m/s，得到快刀裝置的傳遞函數為：

式中：s為復域中傳遞函數。

2 系統控制算法與性能測試

2.1 復合前饋控制算法

反饋控制系統是根據輸入與輸出之間的偏差進行控制補償，因此不可避免存在一定滯后，這對控制精度要求不高的系統影響不大。然而FTS系統主要用于光學自由曲面加工，對于系統的跟蹤性能和精度要求十分嚴格，純反饋調節并不適用。前饋控制器并不改變系統的特征方程，不會影響系統穩定性，但卻可以改善系統的動態響應性能。因此，如圖2所示，為了提高系統的伺服性能，加入前饋控制器，組成反饋加前饋的復合控制器，起到減小動態跟蹤誤差的作用。

R（s）為系統輸入；C（s）為系統輸出；G（s）為被控對象傳遞函數；Ka為加速度前饋系數；Kv為速度前饋系數；Kpp為位置環比例環節系數；Kip為位置環積分時間常數；Kdp為位置環微分時間常數；Kpv為速度環比例環節系數；Kiv為速度環積分時間。

2.2 性能測試

（1）位置保持

系統伺服能力的高低影響著加工精度，位置保持的測試指標主要是在行程內任意位置FTS系統的靜態跟蹤誤差。如圖3所示，在空載過程中系統的跟蹤誤差PV（Peak to valley，峰谷）值為16.1，RMS（Root-Mean-Square均方根）值為2.23。

（2）階躍響應

階躍信號輸入對系統而言是一種較為苛刻的工作狀態，在此形式下系統的動態性能可以反映出系統真實的性能狀況。要想測試出系統時域下的控制性能，需要對階躍響應性能指標進行分析，主要包括上升時間、穩定時間、峰值時間、超調量。如圖4所示，FTS系統的上升時間為3.5 ms，穩定時間為10.4 ms，峰值時間為7.8 ms，超調量達到了系統終值的5.3%，可見FTS系統具有良好的動態性能。

（3）定位精度與重復定位精度

定位精度是指FTS系統刀具實際位置與理論位置之間的最大偏差值，偏差值越小精度越高。重復定位精度是指FTS系統多次執行同一指令下所取得位置精度的一致程度。這兩個指標能夠反映加工零件所能達到的精度。

為了提高系統的定位精度，采用補償表方式進行誤差補償，具體為：使用激光干涉儀設備測量在等分間隔處FTS系統的定位誤差數據，對數據分析并處理之后，通過控制器內置的補償表對運動過程進行定位誤差補償。

測試過程設計為：取0.5 mm作為等分間距，從而可在快刀裝置的補償范圍-5～5 mm區間內劃分出21個測量點，音圈電機在-5與5之間往復移動5次，每次到達測量點時停留3 s，方便激光干涉儀收集數據。未補償和補償的數據結果對比如圖5所示，可以看出，經過補償后，定位誤差從1.661 μm降低至0.16 μm，正向定位誤差從1.661 μm降低至0.118 μm，負向定位誤差從1.639 μm降低至0.152 μm，重復定位誤差從0.249 μm降低至0.148 μm，由此表明系統經過補償后顯著提高了定位誤差精度。

（4）分辨率

位置分辨率是FTS系統一個重要參數指標。環境干擾、機械振動以及設備產生的電子噪聲等因素均可能降低系統的分辨率。為測試出FTS系統的分辨率，控制器發出10 nm階躍信號，并通過編碼器記錄系統的相應位移。FTS系統的位置分辨率如圖6所示，可以看出，FTS裝置的分辨率約為10 nm，已經接近了編碼器測量分辨率的上限。

（5）正弦跟蹤

在光學自由曲面加工中，快刀運動軌跡為擬正弦運動。因此，FTS系統對正弦運動信號的跟蹤能力可反映出裝置能否滿足加工要求。為驗證FTS系統具有良好正弦跟蹤能力，測量了系統對幅值2 mm、頻率20 Hz的正弦信號的跟蹤軌跡結果，跟蹤誤差如圖7所示。可以看出，誤差峰值為1.86 μm，約為幅值的0.093%。

3 刀具軌跡生成

3.1? FTS運動和機床運動同步

Polaris控制器提供了標準的C語言API（Application Programming Interface，應用程序編程接口），允許進行G代碼指令開發，以實現用戶特定功能。開發出的G代碼可根據從主軸和X軸的編碼器中獲取的角度信息和X向信息，查找出對應的FTS進給數據。開發的G代碼實時性高、運行速度快，而且Polaris控制器中含有高速數字信號處理器以及1.91 GHz的CPU，可以實時處理編碼器的位置信息。加工時主要部件構成如圖8所示，其中編碼器反饋的位置信息，不但被機床控制器A3200接收形成閉環，負責控制著機床各軸運動，同時FTS系統控制器Polaris也實時接收X軸、主軸位置信息。根據讀取的位置信息，開發的G代碼可精準查找出相匹配的FTS進給數據，Polaris控制器執行該數據指令驅動刀具完成進給。

3.2 離線規劃刀具路徑

刀具路徑生成方法分為離線計算和在線計算兩種。其中在線計算是指運動控制器采集X軸運動位置及主軸角度位置，然后根據光學自由曲面的數學模型實時計算出FTS系統的進給數據并進行輸出，從而完成刀具進給運動。但該方法耗費大量CPU資源，且無法加工復雜及沒有方程式的光學自由曲面。離線計算主要根據所要加工的面形特征方程，預先計算出工件上每一點的（ρ， θ， z）數據。其中，ρ為X軸位移；θ為機床主軸角度；z為Z軸位移。

在加工過程中，根據主軸角度和X軸位移查找出所對應的FTS進給數據用來驅動快刀裝置。由于去除了計算過程，可以降低系統資源的占用從而減少時間延遲。

查找是根據（θ， ρ）坐標找出對應的z，因而需建立工件中θ、ρ、z之間的邏輯關系，以方便快速而準確地查找，如圖9所示。

首先在X、Y平面內，沿著指向圓心方向將工件延展開一個關于θ和ρ的二維直角坐標系。θ軸的范圍為0～360°，以Δθ等分；ρ軸的范圍為0～r（工件半徑），以Δρ等分。根據待加工面形z＝f（θ， ρ）關系，計算出等分點（θi， ρj）所對應z向坐標zi，j。θ、ρ數據分別呈現出等差數列規律，表示為：

式中： 為向下取整符號。

對于工件上任意的點（θ， ρ），通過式（4）和式（5）可快速查找出對應刀位點的（θi， ρj），從而得到z向位移。該查找僅需一次，效率高。

4 加工實驗

斜面是一種非回轉對稱結構，對斜面進行加工可以全面表現出FTS系統加工復雜光學自由曲面的能力。傾斜的平面需要FTS系統以全幅度正弦波運動移動刀具進行加工。建立坐標系時，以待加工工件表面中心為坐標原點，在加工過程中FTS系統的進刀位移為z，則：

式中：h為斜面高低差。

本文實驗平臺采用輥筒數控機床，擁有兩個直線軸以及一個主軸。其中兩個直線軸采用直線電機驅動的液壓導軌，驅動器為Aerotech的線性驅動器，可輸出10 A連續電流，可對模擬量進行65536倍細分。主軸采用Precitch公司的HD160大載荷主軸，最高轉速5000 r/min，具有25 nm的運動精度。使用圓弧半徑為1 mm的金剛石刀具對半徑為10 mm的硬鋁表面進行加工，在主軸轉速為60 r/min、X軸進給速度為0.3 mm/min的條件下進行高低差為100 μm的斜面加工。使用白光干涉儀對工件進行表面粗糙度測量，加工斜面實物和加工測量結果如圖10、圖11所示。

從圖10可以看出，表面粗糙度為44 nm。FTS系統在實際切削工件時產生較大的反作用力導致了Z軸導軌不穩定，引起了加工位置誤差。反作用力大小主要與加工過程中的轉速以及加工表面的高低差有關，轉速越高、待加工表面的高低差越大，FTS系統產生的反作用力越大。因此，要想改善加工工件的表面粗糙度，需要合理地選擇加工參數。

5 結論

本文設計了基于音圈電機驅動的快刀伺服系統，并且對系統進行了位置保持、階躍響應、正弦跟蹤等閉環測試，結果表明，系統滿足光學自由曲面的加工要求。采用輥筒數控機床與FTS系統控制器進行配合，基于Polaris控制器的功能特點采用離線計算方式實現了快刀伺服技術。進行了高低差100 μm的斜面加工實驗，測得粗糙度為44 nm，測量結果表明，研制的快刀伺服系統可獲得納米量級的表面質量。

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收稿日期：2022-07-25

作者簡介：劉金文（1998－），男，江西吉安人，碩士研究生，主要研究方向為超精密裝備與加工，E-mail：1183189163@qq.com。