底輥輕量化實用設計中減重孔臨界開孔率的研究及其應用

毛思諾　林松　江競宇　房殿君

摘要：根據輥切設備的運動特性，提取了底輥的軸向轉動慣量和轉子質量作為輕量化評價指標。針對拓撲優化結構的不可加工問題，使用B樣條曲線和多段弧線依次對原拓撲結構進行結構圓整處理，降低原輕量化結構的加工難度。針對需要深孔加工的棒狀、柱狀零件提出轉子類結構的開孔率表征參數。通過對不同孔數、孔徑、孔位置的轉子開孔與其應力分布關系的研究，給出慣性載荷下轉子開孔率與應力集中系數的關系式。通過粒子群優化算法對基于單級減重孔的輕量化方案進行迭代優化。結果表明：樣條擬合方案減重率34.68%，性能提升率19.85%；分段曲線擬合方案減重率34.18%，性能提升率19.27%；組合孔方案減重率28.21%，性能提升率15.45%；基于目標優化的單級孔方案減重率29.28%，性能提升率16.02%。

關鍵詞：輕量化結構；拓撲結構設計；模型后處理；應力集中

中圖分類號：TH114 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.05.001

文章編號：1006-0316 （2023） 05-0001-08

Research and Application on Critical Opening Rate of Weight Reduction Holes in the Lightweight and Practical Design of Bottom Roll

MAO Sinuo1，LIN Song1，JIANG Jingyu1，FANG Dianjun1，2

（ 1.School of Mechanical Engineering， Tongji University， Shanghai 201804， China;

2.Qingdao Sino-German Institute of Intelligent Technologies， Qingdao， 266000， China ）

Abstract：Based on the motion characteristics of the roll cutting equipment， the rotational inertia and mass of the bottom roll are extracted as the lightweight evaluation indicators. For the non-machinability? problem of the topology-optimized structure， structural rounding is performed on the original topology structure using B-sample curves and multi-segment arcs sequentially to reduce the machining difficulty of the original lightweight structure. The characterization parameters of the opening rate of the rotor-like structure are proposed for the bar and column parts that require deep hole processing. By studying the relationship between rotor opening and its stress distribution for different number of holes， hole diameters and hole locations， the relationship between rotor opening rate and stress concentration coefficient under inertial load is developed. The iterative optimization of the lightweight scheme based on single-stage weight-reducing holes is carried out by particle swarm optimization algorithm. The results show that the weight reduction rate of the spline fitting scheme is 34.68% with 19.85% performance improvement; the weight reduction rate of the segmented curve fitting scheme is 34.18% with 19.27% performance improvement; the weight reduction rate of the combined bore scheme is 28.21% with 15.45% performance improvement; the weight reduction rate of the single-stage bore scheme based on objective optimization is 29.28% with 16.02% performance improvement.

Key words：lightweight structure；topology design；model post-processing；stress concentration

輥切作為一種簡單可靠的成型工藝，在紡織領域被廣泛使用。在成型設備中，底輥的質量隨其直徑的增長急劇增大，生產線往往需要使用大功率電機才能正常運轉。過大的底輥質量還會嚴重影響設備的啟動和急停等過程的關鍵動力學性能，因此底輥的輕量化及其設計方法在工業界有著廣泛的需求。本文從輕量化結構設計的角度出發，實現底輥的輕量化。

輕量化結構設計一般有拓撲優化法、多目標優化法、參數優化設計法、經驗法等，其中拓撲優化法和經驗法最為常用[1]。

工業界已經嘗試將拓撲優化實際應用在工業產品的設計和制造流程中[2]，但是拓撲優化的原始結構往往包含許多尖銳、破碎且不連續的表面，難以應用于實際加工生產中，因此實際工程中結構輕量化多采用減重孔方案。

減重孔的數量、位置以及孔徑對輕量化效果和結構強度都有一定影響。目前沒有一個統一的參數能夠量化大尺度開孔對轉子結構強度的影響，因此工業界的輕量化設計往往只能依賴于技術人員的經驗。在實際輕量化過程中，工業界急需易于加工的、便于強度校驗且輕量化效果明顯的大尺度開孔輕量化方案。

針對以上問題，本文提出用于描述轉子類結構開孔率的表征參數，并給出慣性載荷下轉子開孔率與應力集中系數的關系，使得設計者在設計之初就能評估所開的減重孔對結構輕量化和強度的影響。此外，本文基于設計實例比較了各種輕量化方案的性能和輕量化效果。

1 基于結構拓撲優化的輕量化方案性能分析

1.1 優化目標分析

輥刀系統由切刀刀輥、刀輥軸、底輥、底輥軸和機架構成。以日本瑞光株式會社的某紡織品切割生產線為例，其驅動如圖1所示。

該系統由電機帶動，經過減速器將扭矩傳遞給旋轉件，其等效轉動慣量為：

式中：J為系統等效轉動慣量； 為底輥與電機間的減速比； 為刀輥與電機間的減速比。 、 分別為刀輥和底輥折算至電機軸處的轉動慣量。

由式（1）可知，等效轉動慣量最小時，輥刀系統具有最大轉動加速度及最短啟動時間，此時輥刀系統擁有最優的運動學和動力學性能。綜上所述，本文將轉子轉動慣量Iz作為動力學性能的評價指標，將轉子質量m作為輕量化效果的評價指標。

1.2 拓撲優化原理和流程

拓撲優化是實現結構最優設計的重要手段，目前學術界已形成多種結構拓撲優化方法[3]。如基于材料分布狀態的拓撲優化法，其起源于Bends?e M P等[4]提出的均勻化理論。變密度法以單元相對密度值作為設計變量，使用均勻化方法計算出每個單元中間密度值對應的有效材料參數，并通過重復迭代來獲得結構設計域的最優材料分布形式。但是由于其設計變量是以連續的函數描述，因此會導致灰度單元的存在而無法獲得清晰的拓撲結構。Rozvany G等[5]提出引入懲罰函數來抑制灰度單元的方法，形成了目前變密度法的求解框架。雖然陸續有很多學者提出過諸如邊界描述的拓撲優算法[6-7]，但主流依舊使用SIMP（Solid Isotropic Material With Penalization，基于固體各向同性材料懲罰模型）方法，該方法也被廣泛集成于當今流行的幾大有限元商業軟件中。

1.3 拓撲優化及衍生方案性能分析

SIMP法的最終拓撲形狀與懲罰系數直接相關。以本課題為例，懲罰系數取值在5.5～6.5之間能獲得如圖2（b）所示的平滑的局部結構。

局部平滑結構從宏觀上來看往往也是尖銳甚至不連續的，因此一般需要對模型進行后期圓整處理。本文以底輥為研究對象，在結構拓撲的基礎上進行圓整和二次重構，從而提高結構合理性與光整度，達到降低加工難度的目的。

B樣條曲線被廣泛用于計算機圖形學領域，可以通過一系列中間控制點擬合出一條光滑且連續的曲線，其基函數是一個k階（k－1）次分段多項式，其遞推定義為：

式中：t為一組被稱為節點矢量的非遞減序列；i為節點的序號； 為節點i與節點i＋1之間的樣條曲線表達式。

本文基于B樣條曲線對原始拓撲結構擬合的結果如圖3（a）所示。B樣條定義式的基函數本質是一個遞推式，而實際制造過程中復雜曲線的加工會極大提高加工難度和加工成本，因此可以使用多段弧線在B樣條的基礎上進行如圖3（b）所示的形狀擬合。

上述后處理方法可以提高拓撲優化結構的可用性，得到平滑的輕量化結構，也有利于進一步的參數優化和加工。

實際生產過程中，薄型零件往往采用沖孔和銑削等方式進行加工，而棒狀、柱狀零件往往只能采用鏜孔鉆孔等加工方式，因此，基于拓撲優化的結果，利用多級圓孔組合的方式對輕量化結果進行近似，對柱狀零件的加工具有一定的實際意義。拓撲優化流程及衍生方案模型如圖4所示。

本文定義性能提升率為相較于原結構，轉子轉動慣量的減小比例；定義減重率為相較于原結構，轉子質量的減小比例。

結構拓撲優化方案及其衍生方案的性能對比如表1所示，該數據表明，基于樣條曲線擬合和分段弧線擬合方案的輕量化效果和動力學性能與原拓撲結構十分接近，基于組合孔近似方案的輕量化效果和性能則與原拓撲結構差距較大，但是此方案只需常規加工機床（鏜孔、鉆孔設備）即可完成零件加工，適用于需深孔加工的柱狀零件。

2 基于單級孔減重優化方法的性能分析

基于組合孔的輕量化方案雖然極大降低了加工難度，但是依然需要數次換刀才能完成零件加工，因此單級孔的輕量化方案的研究具有十分重要的現實意義。

實際生產過程中，開孔的數量、位置及大小等關鍵參數往往是由工人或設計人員憑經驗給出，導致后期的零件性能驗證和校核需要花費大量的經濟和時間成本，因此，轉子的應力狀態和應力值在設計階段就應該被充分考慮。

2.1 無開孔應力分析

底輥類轉子在軸向上不受外載荷，所以可將其視為一個平面應力問題。

為了定量分析轉子的應力狀態，本文對慣性力下基盤的極值切應力公式進行推導。慣性載荷下轉子載荷與角加速度滿足：

式中：M為轉子載荷； 為轉子角加速度； 為轉子內徑； 為轉子外徑；r為采樣點到旋轉中心的距離；b為轉子厚度； 為材料密度。

慣性載荷下的轉子在周向上只受到切應力作用，并且轉子在軸向上沒有外載荷。如圖5所示，切應力在轉子厚度方向上是均勻分布且方向一致的。

τ為切應力。

為驗證式（7）的準確性，取材料為結構鋼， ＝7.89×10-3 g/mm3，在 ＝100 rad/s2的基盤轉子的有限元模型上隨機采樣100個采樣點，記錄其到旋轉中心的距離r，以及所在位置的極值切應力 。

采樣點數值與表達式的擬合程度如圖6所示，其擬合曲線的R方值為0.99998，均方根誤差為0.000263，所以此切應力表達式是十分準確的。

2.2 小開孔應力分析

小孔應力集中問題可以利用圣維南原理（Saint Venants Principle）進行分析[8]。以小孔圓心為原點，以長度R2為半徑做大圓，如圖7所示。根據圣維南原理可知，大圓周應力分布與無孔時相同，該結構在極坐標系下的邊界條件為：

式中： 為極角； 為極徑； 為 的徑向正應力； 為所受外載荷； 為 處的環向切應力。

σθ為極角為 時的環向正應力；σR為極徑為R時的徑向正應力。

平面小孔問題等價于內邊界是自由面、外邊界受均勻載荷的圓環應力問題，假設極坐標系下平面應力函數為：

當 取最小值r時，孔邊應力取得最大值 。綜上所述，圓形小開孔問題的孔邊最大應力集中系數為3。由于僅當開孔的孔邊界距離結構的自由邊界大于1.5倍圓孔直徑時，開孔問題才能被歸類為小開孔問題，因此可以計算出在小開孔范疇內，最大減重孔直徑為55.5 mm，開孔位置位于距離圓心110 mm處的圓周上，開孔數量為5個，此時減重率僅0.74%，顯然對于以輕量化為目的的設計來說，小開孔方案遠達不到輕量化性能需求。

2.3 大開孔應力分析

當基盤上的減重孔較大或者減重孔邊界離連軸孔距離過近時，結構的應力分布將不符合圣維南原理假設，因此大開孔問題需要單獨校驗孔邊應力狀態。大尺度開孔類問題已不再屬于彈性力學中小孔問題的范疇，開孔的孔效應與自由面的邊界效應交織影響，因此很難給出應力計算的具體解析式。

相關研究者在土木建筑[9]以及船舶結構[10]領域對大尺度開孔腹板或蜂窩梁常使用開孔的孔徑D與梁高H的比值表征開孔大小，并基于此參數研究開孔尺度對梁承載能力的影響。本文在參考蜂窩梁研究方法的基礎上，提出用于表征純慣性載荷下的轉子開孔類問題的開孔率表征參數為：

式中：L為開孔所在圓周半徑；n為圓周上均勻開孔的數量； 為開孔的孔半徑，如圖8所示。

實際上開孔率表征參數并不能完全準確反應開孔問題的應力集中位置或者結構薄弱點，但由于減重孔所在位置圓周的曲率要遠遠小于減重孔本身孔徑的曲率，所以兩者本身數值差距微小，因此把式（16）作為開孔率表征參數是合理的，且易于工程實際應用。

為了表征孔的應力集中效應，定義應力集中系數K用于表征應力集中程度：

式中： 為孔邊的最大馮米塞斯（von Mises）應力； 為未開孔基盤上同一位置的von Mises應力，可以通過式（18）計算其數值。

根據徐秉漢等[11]的研究，單位剪切載荷產生的孔邊切向正應力要遠遠大于其他載荷產生的孔邊切向正應力，因此對于打孔的轉子來說，孔應力集中的極值往往出現在靠近旋轉中心一側，根據蔣赟[12]對腹板大尺寸圓形開孔梁的受力研究，受剪力作用的腹板孔邊正應力在與腹板中心線成約35°附近達到最大值。本文研究發現轉子類問題也符合此規律，其名義von Mises應力為：

將六開孔和八開孔的方案做為實驗組，在控制D/H＝0.35～0.95的前提下，每種方案各設置200個樣本進行校驗。原始數據與表達式的擬合程度如圖9所示，其R方值均大于0.98。上述結論表明，在不同開孔數、不同開孔率表征參數的情況下，該式依然有較好的擬合度，能夠準確反映受慣性載荷的減重孔采用不同開孔率表征參數時的孔邊應力集中系數。

由圖9可以看出，K隨D/H的提高而呈指數級上升。在D/H＞0.87時，K甚至將超過10，此時繼續提高D/H將會嚴重影響結構強度且輕量化效果提升十分有限。因此對于轉子類結構，減重開孔建議其D/H≤0.87。

2.4 單級孔方案性能分析

若一個厚度b、材料密度 、外徑 、內徑 的轉子平面上有N組減重孔，且各組減重孔半徑為 ，減重孔所在圓周半徑為 ，根據平行移軸定理可得出：

由式（20）可知，底輥的轉動慣量最小化問題本質上是一個帶約束的最優化問題，其具體表達形式為：

本節以日本瑞光株式會社的某套輥刀系統中的底輥為算例，使用粒子群優化算法尋求單級孔方案的最優解，最終得到，當減重孔半徑為67 mm、孔位置圓半徑為143 mm時，轉子具有最好的動力學性能，其具體迭代過程如圖10所示。可以看出，該算法在迭代次數超過100時目標值趨于穩定。

基于目標優化算法的單級孔輕量化方案的減重率為29.28%，性能提升16.02%。對比表1可以看出，雖然單級孔方案的動力學性能和輕量化效果稍弱于拓撲優化及其衍生方案，但是優于基于組合孔近似的輕量化方案。

3 結論

本文從輕量化結構設計的角度出發，針對拓撲優化方案，優化了拓撲優化及其衍生方案的設計流程，分析了各方案的可加工性，針對開孔方案，提出了用于表征開孔尺度的表征系數以及臨界開孔率的概念，并把此參數作為約束條件，將結構設計問題轉換為有約束目標的優化問題。最后，本文基于設計實例，通過粒子群優化算法得到了基于單級孔的最優輕量化方案。

本文分析并對比了單級孔輕量化方案與拓撲優化及其衍生方案的動力學性能和輕量化效果。結果顯示，單級孔方案在輕量化效果和性能接近拓撲優化及其衍生方案的前提下，大幅降低了加工難度和加工成本。

本研究為此類工程問題的結構應力分析和輕量化結構設計提供了技術上的參考依據，同時也給出了行之有效的減重方案、計算方法及設計流程。

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收稿日期：2022-12-21

基金項目：國家重點研發計劃（2022YFE0114300）

作者簡介：毛思諾（1997－），男，湖北黃岡人，碩士，主要研究方向為機械制造及自動化，E-mail：maosinuo@163.com。*通訊作者：林松（1957－），男，四川廣元人，工學博士（德），主要研究方向為產品研發方法及其智能設計、虛擬產品生產及其數字孿生、智能裝置及其人機協調、技術系統可靠性及其安全設計，E-mail：slin@tongji.edu.cn。