妙用數學定理，解決生活問題

康海芯

三角形內角和定理及其外角性質是初中數學證明的重要內容之一，揭示了三角形的內角、外角數量關系。它在生活中有廣泛的應用，下面我們舉例說明。

一、善用三角形內角和，計算視角度數

例1 如圖1，C島在A島的北偏東45°方向，C島在B島的北偏西25°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB的度數為__________°。

【解析】要求∠ACB的度數，可以考慮連接AB，構造△ABC，先求出∠CAB與∠ABC的度數，然后利用三角形內角和定理即可求解。

解：連接AB，如圖2。

∵C島在A島的北偏東45°方向，在B島的北偏西25°方向，

∴∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°。

∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，

∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°

-110°=70°。

【點評】本題是一道考查三角形內角和的應用題，解答本題的關鍵是連接AB構造三角形，利用三角形內角和定理求解。

二、活用三角形內角和，確定客機飛行角度

例2 如圖3，飛機要從A地飛往B地，因受大風影響，一開始就偏離航線（AB）18°飛到了C地（即∠A=18°），經B地的導航站測得∠ABC=10°。此時，飛機必須沿某一方向飛行才能到達B地。那么，這一方向與水平方向的夾角∠BCD=____________。

【解析】要求∠BCD的度數，結合已知條件，根據“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和”求解。因為∠A=18°，∠ABC=10°，所以∠BCD=∠A+∠B=28°。

【點評】本題是一道考查三角形外角性質的應用題，解答本題的關鍵是抓住所求角度與已知角之間存在的數量關系，直接利用三角形的外角性質求解。

三、巧用三角形外角性質，檢驗零件合格性

例3 一個零件的形狀如圖4所示，按規定∠A應等于90°，∠B、∠C應分別是21°和32°。檢驗工人量得某個零件∠BDC=148°，就斷定這個零件不合格。這是為什么？

【解析】本題只要求出合格零件的∠BDC的度數即可，可以適當添加輔助線，如延長CD，交AB于點E，根據三角形的外角性質求出∠DEB，再利用三角形外角性質求得∠BDC。

解：如圖5，延長CD，交AB于點E，

∵∠A=90°，∠C=32°，

∴∠DEB=∠A+∠C=90°+32°=122°。

∵∠B=21°，

∴∠BDC=∠DEB+∠B=122°+21°=143°。

∵工人量得這個零件的∠BDC=148°，

∴此零件不合格。

【點評】本題是一道考查三角形外角性質的應用題，解答關鍵是添加輔助線，構造三角形，兩次利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和”進行求解、驗證。

四、妙用三角形內角和，科學調整椅子角度

例4 圖6是折疊式沙發椅的示意圖，相關數據已經標注在圖中。AE與BD的交點為C，且∠A、∠B、∠E的大小保持不變。為更舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD=120°，則圖6中∠D應____________（填“增加”或“減少”）____________°。

【解析】如圖7，延長EF，交CD于點G。先利用三角形內角和定理求出∠ACB=75°，再利用“對頂角相等”可得∠GCE=∠ACB=75°，然后利用三角形的外角性質可得∠FGD=105°，最后利用三角形的外角性質，求出調整后∠D的度數為15°。所以∠D應減少5°。

【點評】本題是一道考查三角形內角和以及外角性質的綜合題，解答本題的關鍵是添加輔助線，構造新的三角形，利用三角形的內角和及外角性質進行求解。

（作者單位：廣東省深圳市龍華中學）