梳理命題內(nèi)涵，掌握證明術(shù)語(yǔ)

徐菊萍

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德說(shuō)過(guò)：“證明之于數(shù)學(xué)，猶如拼寫(xiě)之于詩(shī)歌。如同詩(shī)歌由字符組成一樣，數(shù)學(xué)工作是由證明組成的。”數(shù)學(xué)在定義、公理基礎(chǔ)上，通過(guò)推理、證明得到一系列定理，從而組成邏輯體系。證明常常會(huì)涉及“定理”“公理”“推理”等名詞，有的同學(xué)往往因?yàn)椴荒鼙嫖鲞@些名詞，影響了下一步的學(xué)習(xí)。下面，讓我們一起來(lái)梳理這些名詞的內(nèi)涵和關(guān)系。

一、命題的概念

判斷一件事情的句子叫作命題。我們從現(xiàn)代漢語(yǔ)語(yǔ)法角度來(lái)理解，命題通常是一個(gè)陳述句，不是短語(yǔ)。疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句等句子也都不是命題。

例1 下面的句子中，是命題的有__________。

（1）小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)；（2）教室里的學(xué)生；（3）你吃飯了嗎？（4）內(nèi)錯(cuò)角相等；（5）延長(zhǎng)線段AB；（6）今天的天氣真好啊！（7）若[a]＞[b]，則a＞b；（8）對(duì)頂角相等；（9）兩直線平行，同位角相等；（10）同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線。

【解析】（2）是短語(yǔ)；（3）是疑問(wèn)句；（5）是祈使句；（6）是感嘆句。它們都不是命題。而（1）（4）（7）（8）（9）（10）都在做判斷，是命題。故答案為：（1）（4）（7）（8）（9）（10）。

判斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題，不要與判斷結(jié)果的對(duì)錯(cuò)混淆。（1）（4）（7）都是判斷錯(cuò)誤的語(yǔ)句，它們是假命題，也是命題。

二、命題的組成

命題由條件（題設(shè)）和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題常可以寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式。其中，“如果”之后的部分是條件，“那么”之后的部分是結(jié)論。

我們同樣可以利用現(xiàn)代漢語(yǔ)語(yǔ)法，來(lái)幫助我們改寫(xiě)命題的形式。首先，找到句子中的主語(yǔ)，再確定其條件和結(jié)論。其中，條件和結(jié)論的主語(yǔ)是一致的。

如例1（1）中，“小數(shù)”說(shuō)明主語(yǔ)是“數(shù)”，“小”是定語(yǔ)，用來(lái)修飾“數(shù)”。而后面的“化成分?jǐn)?shù)”是“謂語(yǔ)+賓語(yǔ)”結(jié)構(gòu)，是判斷的結(jié)論。因此，該命題可以改寫(xiě)為：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，那么這個(gè)數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)。

（4）中，主語(yǔ)是“角”，“內(nèi)錯(cuò)”是定語(yǔ)，“相等”是謂語(yǔ)。表明主語(yǔ)怎么樣，是判斷的結(jié)論。因此，該命題可以改寫(xiě)為：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等。

例1中還有3個(gè)命題，請(qǐng)大家嘗試模仿上述方法來(lái)改寫(xiě)。

三、命題的真假

既然命題是可以判斷的，就必然會(huì)產(chǎn)生“對(duì)和錯(cuò)”兩種結(jié)果。根據(jù)判斷的結(jié)果對(duì)錯(cuò)，命題又分為真命題和假命題。真命題是正確的命題，即如果命題的題設(shè)成立，那么結(jié)論成立。常見(jiàn)的真命題有哪些呢？

1.定義。定義是揭示一個(gè)事物區(qū)別于其他事物特征的句子，如例1中的（10）。定義的結(jié)構(gòu)常常為“A叫作B”，其中B是名詞。

2.公理。公理是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的正確的命題。公理的正確性是在實(shí)踐中得以證實(shí)的，被大家公認(rèn)的，不再需要證明，并且它可以作為證明其他真命題的依據(jù)。蘇科版教材也稱公理為基本事實(shí)，比如例1中的（9）。

3.定理。經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理。比如，由例1中的（9），可以證明得到定理“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”。

4.推論。由一個(gè)定理直接推出的正確結(jié)論，叫作這個(gè)定理的推論。比如，由三角形內(nèi)角和定理，推出的推論為“多邊形的外角和為360°”。

例1中，（8）（9）（10）都是真命題。其中，公理和定義不需要證明，也不能證明，而定理、推論和其他的真命題則需要證明。假命題是錯(cuò)誤的命題，即如果一個(gè)命題的題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立。

四、命題的互逆

如果一個(gè)命題的條件與結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論與條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題。其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。由于每個(gè)命題都由條件和結(jié)論組成，只要把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換，就得到它的逆命題，因此每個(gè)命題都有逆命題。

比如，例1中（9）的逆命題是“同位角相等，兩直線平行”。

那么（4）的逆命題是什么呢？對(duì)于這樣的不能明顯看出條件和結(jié)論的命題，我們可以先將命題改寫(xiě)成“如果A，那么B”的形式，先找到條件和結(jié)論，然后把A和B對(duì)調(diào)。比如（4）改寫(xiě)為：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角（A），那么這兩個(gè)角相等（B）。交換A和B的位置，可得逆命題：如果兩個(gè)角相等（B），那么這兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角（A）。

值得注意的是，原命題的真假與逆命題的真假無(wú)關(guān)，比如，（9）是真命題，但其逆命題是假命題。

五、命題的證明

根據(jù)已知的真命題，確定某個(gè)命題真實(shí)性的過(guò)程叫作證明。真假命題的證明方法不一樣。

假命題的證明方法：舉反例，即舉出一個(gè)符合命題的條件，但命題結(jié)論不成立的例子來(lái)說(shuō)明命題是假命題。

比如，例1中（1）的條件是“一個(gè)數(shù)是小數(shù)”，結(jié)論是“這個(gè)數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)”，要證明這個(gè)命題是假的，我們只要找到一個(gè)不能化成分?jǐn)?shù)的小數(shù)即可。因此，我們可以找任何一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。它符合條件，是小數(shù)；但不符合結(jié)論，它是無(wú)理數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)。這就是舉反例。

真命題的證明方法：我們學(xué)習(xí)的主要是符號(hào)命題的證明，直接推理即可。與圖形有關(guān)的文字命題的證明是同學(xué)們的薄弱之處，我們可以通過(guò)數(shù)學(xué)三種語(yǔ)言的“翻譯”，轉(zhuǎn)化來(lái)理解（如圖1）。

例2 證明命題“三角形不共頂點(diǎn)的三個(gè)外角的和等于360°”是真命題。

【解析】首先，我們要分析命題的條件和結(jié)論，將其分別“翻譯”成包含“已知”和“求證”的符號(hào)語(yǔ)言，并畫(huà)出圖形。本題的條件是“有三個(gè)角是三角形不共頂點(diǎn)的外角”，結(jié)論是“這三個(gè)角的和等于360°”。由于本題涉及一個(gè)三角形及其三個(gè)不共頂點(diǎn)的外角，故我們可畫(huà)出圖2，結(jié)合圖形，將條件翻譯成“已知”，將結(jié)論翻譯成“求證”，然后完成推理過(guò)程。

已知：如圖2，∠1、∠2、∠3分別是△ABC的三個(gè)外角。求證：∠1+∠2+∠3=360°。

本題證明方法有多種，我們選擇一種證明如下。

證明：∵∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠ACB=180°（平角定義），

且∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°（三角形內(nèi)角和定理），

∴∠1+∠2+∠3=180°×3-180°=360°（等式性質(zhì)），

即∠1+∠2+∠3=360°。

答：命題“三角形不共頂點(diǎn)的三個(gè)外角的和等于360°”是真命題。

推理能力主要指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力。其中，利用直覺(jué)、聯(lián)想、觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等方法進(jìn)行的推理是合情推理，可以幫助我們得出猜想或結(jié)論，而例2屬于演繹推理，是對(duì)猜想和結(jié)論進(jìn)行的邏輯推理。

幾何知識(shí)的抽象性比較強(qiáng)，作為初中階段的我們，要梳理圖形和相關(guān)概念的關(guān)系，養(yǎng)成推理意識(shí)，借用其他學(xué)科的知識(shí)，學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龇椒ê屯评矸椒ǎ纬赏评砟芰Α?/p>

（作者單位：江蘇省蘇州市吳中區(qū)獨(dú)墅湖中學(xué)）