明晰命題概念，理解證明價值

萬廣磊

通過本章的學習，同學們將會知道，利用證明，我們能夠有理有據地闡述問題，以理服人，這體現了邏輯推理的強大力量，也培養了我們終身需要的科學態度和理性精神。

一、明晰有關概念及聯系

在本章的學習中，我們將了解定義、命題、基本事實、定理、推論等有關概念。

對名稱或術語的含義進行描述或做出規定，就是給出它們的定義。比如，“平行線”的定義是“在同一平面內，不相交的兩條直線”。

命題是判斷一件事情的語句，一般結構是“條件+結論”。比如，“兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補”，條件是“兩條平行線被第三條直線所截”，結論是“同旁內角互補”。

命題有真有假。如果命題的條件成立，那么結論成立，像這樣的命題叫作真命題。如兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；如果a＞b，b＞c，那么a＞c；對頂角相等。如果命題的條件成立時，不能保證結論總是正確的，也就是說結論不成立，像這樣的命題叫作假命題。如同旁內角互補；如果a＞b，那么ac＞bc。

每一個命題都有逆命題。對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫作互逆命題。其中一個命題叫作原命題，另外一個命題叫作原命題的逆命題。比如，“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是“同位角相等，兩直線平行”。

需要特別說明的是，原命題的真假與逆命題的真假沒有必然聯系。原命題為真，逆命題未必為真。比如，真命題“對頂角相等”的逆命題是“相等的兩個角是對頂角”，這顯然是假命題。

基本事實（公理）是人們在長期實踐中總結出來的、正確的命題，它不需要證明。例如，我們已經學過幾個基本事實：①兩點確定一條直線；②兩點之間，線段最短；③經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；④過一點有且只有一條直線與這條直線垂直；⑤同位角相等，兩直線平行；等等。基本事實可以作為證明其他真命題的依據。如應用基本事實“兩直線平行，同位角相等”，可以推導出“內錯角相等，兩直線平行”和“同旁內角互補，兩直線平行”。

定理是根據基本事實推導出來的真命題，都是最基本的和常用的，也有許多經過證明的真命題沒有被選作定理。因此，定理都是真命題，而真命題不都是定理。例如，“若∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”，這就是一個真命題，但不能說它是定理。

此外，推論是由基本事實和定理推出的結論，往往比定理的限制條件多一些。比如，由三角形內角和定理“三角形的內角和等于180°”得到的推論有“直角三角形兩個銳角互余”和“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”。因此，推論是定理的特殊情況。

綜上，定義、基本事實、定理、推論都是真命題。

二、明白證明的必要性

學習幾何離不開觀察和實驗。幾何中研究物體的形狀、大小、位置關系等，許多都是通過觀察進行的。例如，我們在小學數學里觀察過一些三角形三個角的和，并運用實驗（剪拼）的方法，得到“三角形三個角的和等于180°”這個結論。但是，從觀察和實驗得到的認識是初步的，往往是不全面的、不深入的。是不是所有的三角形都是這樣的？為什么每個三角形三個角的和必然是180°呢？這就要在觀察的基礎上，有理有據地說明理由，這就是推理。推理不僅可以使我們從觀察實驗得到的知識更全面、更深入，而且可以進一步得到一些新知識。

根據已知的真命題，確定某個命題真實性的過程叫作證明。證明要做到言必有據，往往需要我們從一些關聯的條件出發，應用一定的知識，通過分析、推理，然后做出正確的判斷。

在幾何中，除了基本事實外，不管命題的結論多么明顯，都必須通過推理來證明。這是因為直觀有時會造成錯覺，并不永遠可信。通過對少數具體例子進行觀察和測量得出的結論，不能保證在一般情況下都成立，因而有些圖形的性質并不能通過測量得出。

因此，在幾何中，除了公理以外，任何一個命題的正確性，只有在進行了推理、論證以后，才會得到認可，而這種推理、論證，就是借助于演繹推理來進行的。最重要的是，通過推理的方法來研究圖形的性質，不僅可以掌握許多無法通過觀察、度量得到的性質，而且可以揭示這些性質之間的內在聯系，有利于我們對幾何圖形的進一步研究。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）