類比方程學不等式

王金坤

方程與不等式是初中“數與代數”領域的重要內容。第11章“一元一次不等式”為我們介紹了生活中數量之間的不等關系可以用不等式來表示；不等式是刻畫這種數量關系的數學模型，是解決實際問題的重要工具。結合實際問題建立不等式模型，進而分析和解決問題，始終是學習不等式的核心。在七年級上學期，同學們已經學習了“一元一次方程”，知道數量之間的相等關系可以用方程來表示，學會了解一元一次方程和用一元一次方程解決問題。在本章的學習活動中，我們可以將一元一次不等式與一元一次方程進行比較，類比方程學習不等式。

一、類比“從問題到方程”，發現“生活中的不等式”

生活中的許多問題常常有已知量和未知量，這些量之間有相等的關系，也有不等的關系。讓我們一起思考一個問題：

例1 一只紙箱的質量為1kg，裝入每個質量為0.3kg的蘋果后，紙箱和蘋果的總質量為8.2kg。這只紙箱內裝了多少個蘋果？

在上述問題中，我們發現有相等關系：紙箱的質量+蘋果的質量=8.2kg。如果設這只紙箱內裝了x個蘋果，那么依據相等關系，可列方程1+0.3x=8.2。這就是用方程來描述數量中的相等關系。

現在，將上述問題改編一下：

例2 一只紙箱的質量為1kg，裝入每個質量為0.3kg的蘋果后，紙箱和蘋果的總質量不超過8.2kg。這只紙箱內最多能裝多少個蘋果？

在這個問題中，將例1的條件“紙箱和蘋果的總質量為8.2kg”變為“紙箱和蘋果的總質量不超過8.2kg”，關鍵詞“不超過”揭示了數量之間的不等關系：紙箱的質量+蘋果的質量≤8.2kg。于是，我們可以設這只紙箱內裝了x個蘋果，依據不等關系，可列不等式1+0.3x≤8.2。

在生活中，類似“紙箱裝蘋果”的問題有很多，我們可以用不等式來描述問題中數量之間的不等關系。

三、類比“用一元一次方程解決問題”，學會“用一元一次不等式解決問題”

用一元一次方程解決問題的關鍵，是尋找實際問題中數量之間的相等關系，從而依據相等關系列出方程。用一元一次不等式解決問題，要尋找不等關系，通過分析，從實際問題中抽象出一元一次不等式模型。

例5 為慶祝偉大的中國共產黨成立100周年，發揚紅色傳統，傳承紅色精神，某學校舉行了主題為“學史明理，學史增信，學史崇德，學史力行”的黨史知識競賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分。

（1）若某參賽同學只有一道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學一共答對了多少道題？

（2）若規定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于90分才可以被評為“學黨史小達人”，則參賽者至少需答對多少道題才能被評為“學黨史小達人”？

這個問題中，第（1）題是一元一次方程的應用，第（2）題是一元一次不等式的應用。第（1）題，設該參賽同學一共答對了x道題，則答錯了（25-1-x）道題，根據相等關系：答對題目的得分-答錯題目的分數＝總得分，即可得出關于x的一元一次方程4x-（25-1-x）＝86。第（2）題，設參賽者至少需答對y道題才能被評為“學黨史小達人”，那么答錯了（25-y）道題，根據不等關系：總得分≥90分，即可得出關于y的一元一次不等式4y-（25-y）≥90。

請同學們用類似的方法解決下面問題：

例6 2022年2月4日至20日，冬季奧運會在北京舉行。某商店特購進冬奧會紀念品“冰墩墩”擺件和掛件共180個進行銷售。已知“冰墩墩”擺件的進價為80元/個，“冰墩墩”掛件的進價為50元/個。

（1）若購進“冰墩墩”擺件和掛件共花費了11400元，請分別求出購進“冰墩墩”擺件和掛件的數量。

（2）該商店計劃將“冰墩墩”擺件售價定為100元/個，“冰墩墩”掛件售價定為60元/個，若購進的180個“冰墩墩”擺件和掛件全部售完且至少盈利2900元，那么購進的“冰墩墩”掛件不能超過多少個？

在解決實際問題時，不少同學常常有這樣的困惑：到底是用方程，還是用不等式解決呢？這就要求我們認真審讀問題中的條件，獲取問題中的有關信息，抓住關鍵語句和關鍵詞，弄清問題中數量之間是相等關系，還是不等關系。如果是相等關系，就依據相等關系列方程；如果是不等關系，就依據不等關系列不等式。

數學學習中，我們常常采用類比的思想方法研究問題，探索新知。基于學習一元一次方程已有的知識、經驗，學習一元一次不等式，可以類比的地方還有很多，例如，不等式和方程的意義、不等式和等式的性質、不等式的解集與一元一次方程的解等。同學們一定要關注它們的相同點，明確它們的不同點，在比較中學會思考，在類比的過程中進一步領會不等式有關知識的特點與本質，真正做到融會貫通，學以致用。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校）