基于不完美硬件系統的雙智能反射面輔助波束賦形設計*

薛 昊，李 燁

（上海理工大學，上海 200093）

0 引言

近年來，IRS 被提出作為在未來無線網絡中實現智能和重構信號傳播環境的關鍵技術[1-2]。IRS 是一個由大量低成本的被動反射元素組成的超表面，通過自適應地調整IRS 的每個元件的反射振幅和相移，電磁波的強度和方向變得高度可控，從而反射信號可以在不同的接收機上有意地增強或減弱。此外，IRS 比傳統的有源收發器、中繼器消耗的功率少得多，因為它只是反射信號，沒有為放大信號注入任何功率[3]。IRS 輔助無線通信作為一種新興且具有前途的解決方案，可以降低波束賦形過程的硬件成本及能耗成本并獲得優異的波束賦形增益。

關于IRS 輔助的無線通信系統已經有了一些研究。文獻[4]考慮了一個多輸入單輸出系統，利用分數規劃將多用戶和速率最大化問題分解為4 個不相交的塊，隨后基于非凸塊坐標下降的方法設計了低復雜度算法。文獻[5]研究了使用IRS 輔助非正交多址系統，采用基于流形優化和逐次凸逼近的方法來設計功率分配矩陣、移相器矩陣和混合波束賦形矩陣。以上關于IRS 的研究主要是基于單IRS 的場景，為了進一步擴大無線通信系統的覆蓋范圍，以下一些工作對雙IRS 輔助通信進行了研究。例如，文獻[6]研究了在多用戶MIMO 系統中，使用雙IRS輔助聯合設計兩個被動波束賦形矩陣；文獻[7]提出了一種雙IRS 輔助增強的上行MIMO 系統的相移設計；文獻[8]提出了雙IRS 輔助，使用流形優化和最小均方誤差的方法來求解最大化用戶和速率。這些研究結果表明，雙IRS 輔助網絡在提高頻譜效率和擴大無線網絡覆蓋方面具有巨大的潛力。

然而，以上研究都假設發射機具有完美的硬件條件，沒有考慮不完美硬件帶來的潛在問題。實際應用中射頻組件會遭受不可避免的硬件損傷，包括相位噪聲、量化誤差和放大噪聲等[9]。分析和實驗結果均表明，由多余的收發器硬件損傷引起的失真噪聲可以建模為加性高斯分布，其方差與信號功率成正比[10]。最近的一些研究分析了不完美硬件對IRS 輔助系統的影響[11-13]，例如：文獻[11]中推導出了IRS 輔助系統中斷概率的封閉表達式，揭示了硬件缺陷對可實現的頻譜效率有顯著影響；文獻[12]提出了魯棒波束賦形設計，通過考慮收發器的硬件損傷，使IRS 輔助的單用戶多輸入單輸出系統的接收信噪比最大化。此外，針對單用戶多輸入單輸出系統，文獻[13]通過考慮基站端射頻硬件損傷和IRS 端的相移噪聲，研究了上行信道估計和下行收發器的設計。

綜上所述，在基站端具有不完美硬件的MIMO系統中存在失真噪聲，這會導致用戶接收信號受到失真干擾，系統頻譜效率降低。本文研究使用雙IRS 輔助進行波束賦形設計，主要工作如下：

（1）由于不完美硬件系統引起的失真噪聲和多用戶干擾在目標函數中都是非凸函數，因此引入雙IRS 輔助通信后，信道數量增加，優化變量高度耦合，目標函數非常復雜。為解決此問題，對復雜的目標函數進行推導，將其轉換為凸函數形式。

（2）目標函數中有3 個高度耦合的變量，使用交替優化的方法將原問題解耦為3 個子問題，子問題中使用半正定松弛算法（Semi-Definite Relaxation，SDR）和奇異值分解歸一化方法迭代求解最優值。

（3）對該方案進行仿真實驗，結果表明在具有不完美硬件MIMO 系統中，與“只有一個IRS”和“無IRS”等方案相比，使用雙IRS 輔助通信能夠獲得更好的系統頻譜效率。

1 系統模型

如圖1 所示，在雙IRS 輔助通信MIMO 系統下行鏈路中，基站有M根主動天線，部署兩個配備了N個反射元素的IRS1 和IRS2，以提升傳輸性能。該系統模型由基站、IRS1、IRS2 和接收用戶4 個部分組成。每個部分之間都有一條單獨的通信鏈路，基站與IRS1 之間的通信鏈路為G1∈CM×N，基站與IRS2之間的通信鏈路為G2∈CM×N，IRS1 與IRS2 之間的通信鏈路為H∈CN×N，IRS1 與用戶k之間的通信鏈路為h1,k∈CN×1，IRS2 與用戶k之間的通信鏈路為h2,k∈CN×1，基站與用戶k之間的通信鏈路為hd,k∈CN×1。

圖1 雙IRS 系統模型

基站發射信號為：

式中：sk為基站向用戶k發送的獨立高斯數據符號，滿足E[|sk|2]=1；fk∈CM×1為對應的波束賦形向量；mt∈CM×1為獨立的高斯發射失真噪聲，表示發射端不完美硬件帶來的失真信號。每根天線上的失真噪聲的功率與其發射信號功率成正比，服從均值為0 的復高斯分布，即：

式中：μt>0 為發射失真噪聲功率與發射信號功率的比值。該模型在現有文獻中得到了廣泛的應用[10-13]，并得到了理論研究和測量的支撐[10]，以精確地模擬實際多天線系統射頻鏈中不完美硬件的聯合效應。

從基站發射出的信號經過4 條路徑傳輸到用戶k，這4 條路徑的表達式為：

式中：Φ1和Φ2分別是IRS1 和IRS2 的相移矩陣，其表達式為：

用戶k的接收信號為：

2 問題建模

在求解系統最優頻譜效率性能時，通常把用戶和速率作為目標函數。令gk=L1+L2+L3+L4，即：

用戶k的信干噪比表示為：

用戶k的速率可表示為：

式（9）中的各項分別可以轉換為：

將式（12）、式（13）、式（14）分別代入式（10），對數函數真數部分進行通分，分子分母同除以(μr+1)，目標函數可轉換為：

根據對數函數性質，用戶k的速率可寫為：

根據對數函數換底公式，式（18）可進一步轉換為：

式中：lnAk為凸函數；-lnRk為非凸函數。式（19）整體是非凸函數，無法求解最大值。目標函數是使所有用戶的和速率最大化，為求解用戶速率的最大值，需要將-lnRk轉換成凸函數的形式。

引理[14]：考慮凸函數f(t)=-tx+lnt+1，當t=1/x時，

將-lnRk轉換為形如f(t)的形式，令x=Bk，t=tb,k，則：

用戶k的速率可表示為：

以最大化系統用戶和速率為目標的目標函數可表示為：

式（22）是一個凸函數，可通過迭代方法求解其最大值。在求解過程中，首先將Bk作為已知量求解中間變量tb,k，其次將tb,k作為已知量求解Bk，循環交替迭代直至收斂。

3 算法設計

目標函數中有3 個耦合的變量，分別是基站波束賦形矩陣F和兩個IRS 相移矩陣Φ1和Φ2。為求解目標函數的最大值，使用交替優化方法將此問題解耦為3 個子問題，依次優化F，Φ1和Φ2。每優化完一個變量，將其結果作為定值代入下一個子問題中進行求解。

3.1 算法1：基站波束賦形矩陣求解算法

構造向量：

所有信道的總和可以表示為：

將式（26）代入式（16）、式（17），固定v1和v2，優化F，引入輔助變量t=tb,k，根據式（22）的推導，目標函數轉換為P(1.1)，則有：

3.2 算法2：IRS1 相移矩陣求解算法

其中，V1滿足以下條件：

將式（31）代入式（16）、式（17），固定F和v2，優化V1，引入輔助變量q1,k，根據式（22）的推導，目標函數轉換為P(2.1)，即：

算法2 在程序中的實現步驟如下：

3.3 算法3：IRS2 相移矩陣求解算法

將式（38）代入式（16）、式（17），固定F和v1，優化V2，引入輔助變量q2,k，根據式（22）的推導，目標函數轉換為P(3.1)：

算法3 在程序中的實現步驟和算法2 相同。

3.4 算法4：交替優化算法

4 實驗分析

使用瑞利萊斯信道模型[15]對所提方法進行仿真分析，進行1 000 次蒙特卡洛實驗，分別與只有IRS1 或IRS2 輔助、無IRS 輔助這3 種方案進行對比，驗證在發射功率、基站天線數量、用戶數量、IRS 反射元素數量變化時系統的性能。系統參數配置如表1 所示。為了提升計算精度，以下實驗均采用量化方式。

表1 系統參數設置

圖2 表示在基站發射天線數為2、用戶數為2、IRS1/2 反射元素數量為8 時，系統頻譜效率與基站功率的關系，其中基站功率變化范圍為24～32 dBm。由圖可知，隨著基站功率的增大，8 種方案的系統頻譜效率都有所上升，無IRS 輔助方案性能最差，雙IRS（4 bit）方案性能始終高于其他方案，說明在具有不完美硬件的系統中，通過雙IRS 輔助能夠獲得較好的頻譜效率性能。當基站功率為28 dBm時，雙IRS（4 bit）與其他方案的頻譜效率差值達到最大，隨著基站功率的不斷提高，不同方案之間的差值逐漸減小；當基站功率為32 dBm 時，雙IRS（4 bit）與IRS1（4 bit）性能相同，說明基站功率在一定范圍內不斷提升能夠帶來系統頻譜效率的提升。

圖2 基站功率與系統和速率關系

圖3 表示在基站功率為30 dBm，用戶數量為2，IRS1/2 反射元素數量為8，發射天線變化范圍為2～6 時，系統頻譜效率與基站天線數量的關系。由圖可知，隨著基站天線數量的不斷增加，所有方案頻譜效率都在提高，無IRS 輔助的方案性能最差，而雙IRS 輔助的方案性能最好。當基站天線數量為2 時，雙IRS（2 bit）性能低于IRS1（4 bit）方案，隨著基站天線數不斷增加，雙IRS（4 bit）和雙IRS（2 bit）方案性能接近，說明量化計算降低了計算誤差，提升了系統性能，而發射天線數的增加帶來的增益大于量化計算。

圖3 基站天線數與系統和速率關系

圖4 表示在用戶數為2，基站功率為30 dBm，天線數量為2，反射面元素數量變化范圍在8～24時，系統頻譜效率與IRS 反射元素數量的關系。當反射元素數量為8 時，本文所設計的雙IRS 輔助方案所獲得的頻譜效率低于IRS1 輔助方案，隨著反射元素數量的增加，所有方案性能均得到提升，其中使用雙IRS 輔助方案提升較為明顯。當反射元素數量為24 時，雙IRS（2 bit）方案性能比IRS1（4 bit）差，這說明對實驗結果進行量化處理能夠能到更好的頻譜效率性能。本文所提方案更適用于反射元素數量較多的應用場景。

圖4 反射元素數量與系統和速率關系

圖5 表示基站功率為30 dBm，天線數量為2，IRS1/2 反射元素數量為8，用戶數量變化范圍1～5時，系統頻譜效率與用戶數量的關系。通過數據觀察，無IRS 輔助的方案的性能是最差的，隨著用戶數量的增加，使用IRS 輔助的方案增益更大。當用戶數量為2，3，4，5 時，雙IRS（2 bit）方案性能比IRS1（4 bit）性能差，而雙IRS（4 bit）性能優于其余方案，這說明雙IRS 與量化比特組合的方案適用于具有不完美硬件MIMO 系統的波束賦形設計。

圖5 用戶數量與系統和速率關系

5 結語

本文研究了在發射端具有不完美硬件的MIMO系統中，使用雙IRS 進行輔助的波束賦形方案。通過推導將復雜的非凸目標函數轉換為容易求解的凸函數，并使用交替優化方法將復雜且具有高度耦合變量的目標函數進行解耦，而SDR 算法及奇異值分解歸一化方法能夠有效地求解基站波束賦形矩陣和兩個IRS 相移矩陣。仿真結果表明，在發射端具有不完美硬件的MIMO 系統中，使用雙IRS 輔助能夠有效地提升系統頻譜效率，在IRS 具有大量反射元素的場景下，性能增益明顯，優于單IRS 輔助或無IRS 的方案。仿真結果也表明，量化計算也能夠提升計算精度，因此在缺乏IRS 硬件的情況下，提高量化精度也能夠提升具有硬件損傷的MIMO 系統的頻譜效率。