一道高考導數壓軸題的解法探究

李方　楊沛娟

一、試題呈現及分析

（2021年全國新高考第22題）已知函數f（x）=x（1－lnx）.（1）討論f（x）的單調性；（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna－alnb=a－b，證明：2<1a+1b

分析：（1） 首先確定函數的定義域，然后求得導函數的解析式，求出函數的導數，由導函數的符號即可確定原函數的單調性.

（2）將題中的等式進行恒等變換，設1a=x1，1b=x2，原不等式等價于2

二、試題解答

第（1）小題解法如下：f（x）的定義域為（0，+∞）．由f（x）=x（1－lnx）得f′（x）=－lnx，當x=1時，f′（x）=0；當x∈（0，1）時f′（x）>0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）<0．故f（x）在區間（0，1］內為增函數，在區間［1，+∞）內為減函數.

評注：解法5用到的是構造函數法，構造函數之后想辦法出現關于x1+x2－e<0的式子，這是本方法證明不等式的關鍵思想所在.