一類憶阻型4D 保守混沌系統的設計及其分析

夏國瑩,曾以成

(湘潭大學 物理與光電工程學院,湖南 湘潭 411105)

憶阻器是Chua[1]在1971 年首次提出的定義電荷和磁通量之間關系的基本元件。憶阻器具有非線性和非易失性,在人工神經網絡[2-3]、邏輯運算[4]、人工智能[5-6]和圖像加密[7]等諸多領域都有應用。其作為非線性元件,在混沌系統的構造中起著重要作用。到目前為止,學者們研究了一系列具有多渦卷、多翼、自激和隱藏吸引子現象的憶阻耗散混沌系統[8-10]。然而,對憶阻保守混沌系統的研究相對較少。

一般來說混沌系統可分為耗散系統和保守系統。如果系統散度也即系統雅可比矩陣(J)的跡tr(J)小于零,則為耗散系統,而如果tr(J)等于零,則系統為保守系統。特別地,有一個保守系統的tr(J)隨時間變化的平均值為零[11]。因此,保守系統具有一些區別于耗散系統的特征,例如散度、相體積的時間變化率為零(或接近零)以及Lyapunov 指數之和為零。另一方面,根據哈密頓能量值,保守系統可以分為哈密頓系統和非哈密頓系統。如果一個保守系統的哈密頓能量變化率為零,則該系統為哈密頓保守系統;否則,為非哈密頓的保守系統。耗散系統產生的吸引子類型有極限環、匯以及混沌吸引子等,但保守混沌系統中沒有吸引子,其運動軌跡統稱為“流”[11],或稱之為混沌海。與耗散系統相比,保守系統在圖像加密等應用的安全性和抵抗攻擊性方面更具有優勢,是因為其沒有吸引子和對初始條件極端敏感性的特殊性[12-13]。

因此,保守系統近年來受到了越來越多的關注。2018 年,Singh 和Roy[14]提出了五個具有保守自治性質和平衡點為非雙曲平衡點的四維混沌系統,并用Lyapunov 指數譜、Poincaré 映射、分岔圖等分析了其動力學特性。同年,Wu 等[15]提出了一個體積保守且具有非雙曲不動點的五維光滑自治超混沌系統。2020年,Deng 等[16]提出了一種含有憶阻器和電容的三維保守混沌電路。該系統對初始值和參數高度靈敏,還有共存軌道和瞬態現象等特征。同年,Jia 等[17]基于Sprott-A 系統,通過能量的分析,提出一個四維具有共存隱藏吸引子的新哈密頓保守系統。2022 年,Du等[18]提出了一個基于憶阻的五維保守混沌系統,該系統具有多種準周期拓撲,并具有同態和異態的多穩態特性。對于上述提出的保守混沌系統簡單列了一個表格,詳細信息見表1。通過表1 可知,隨著對保守混沌系統的研究深入,保守系統具有的豐富的動力學特性也大量被發現,但憶阻型保守混沌系統非常少。

表1 不同的保守混沌系統Tab.1 Different conservative chaotic systems

本文提出一個憶阻型四維保守混沌系統,根據理論分析該系統為相體積守恒、能量不守恒的非哈密頓保守系統。系統具有多種準周期拓撲結構以及混沌流和準周期流共存等特性。根據系統方程,設計Multisim 仿真電路,驗證該系統的可行性。

1 保守混沌系統構建及其分析

1.1 憶阻型系統模型

經典保守混沌Sprott-A 系統[19],其系統方程表達式如式(1)所示:

式中:x、y、z為狀態變量。

在該系統中引入憶導M(u)=ku2+b的磁控憶阻器,系統方程可修改為:

這里為了得到復雜的動力學行為,修改系統狀態方程組的第一個方程為=a(y-u),u為系統變量。其中,三階磁控憶阻的表達式為:

式中:i為流過憶阻器的電流;v為憶阻器兩端電壓;φ為磁通量。

當令參數a=0.1,k=0.1,b=1,系統初始值為(0.1,0.1,0.1,0.1) 時,用ODE45 算法進行Matlab 仿真,系統的y-z,x-u,x-z平面和x-y-z空間的相軌圖如圖1 所示,從空間和不同平面的相軌圖上可以看出復雜的拉伸和折疊。此時系統的Lyapunov指數分別為LE1=0.0382,LE2=0.0008,LE3=-0.0008,LE4=-0.0382,其中最大Lyapunov 指數大于0,系統處于混沌狀態。其計算收斂過程曲線如圖2(a)所示,Lyapunov 指數之和如圖2(b)所示,可發現系統經過暫態后的Lyapunov 指數之和為0。

圖1 系統混沌流相圖Fig.1 Phase diagrams of the chaotic flow

圖2 系統Lyapunov 指數譜和Lyapunov 指數之和Fig.2 Lyapunov exponent spectra of system and sum of Lyapunov exponents

1.2 平衡點分析

根據平衡點計算的特征值如表2 所示。由表2 可知,計算得到的平衡點E1和E2的特征方程是一樣的,其中A為二次項系數,A=ak+ab+2+a,因此特征值也是一樣的。特征值實部為零,表明都為非雙曲平衡點。

表2 平衡點雅可比矩陣特征值Tab.2 Characteristic value of equilibrium Jacobian matrix

1.3 對稱性分析

對系統進行坐標變換(-x,-y,z,-u)?(x,y,z,u),如式(5)所示。

可發現系統方程并未發生改變。因此,在空間中,系統(2)的每組解都圍繞z軸對稱。

1.4 保守性分析

該系統的散度計算如公式(6)所示,表明該系統的耗散性僅和z有關。如果z的平均值為零[20-21],則系統具有保守性。當參數a=0.1,k=0.1,b=1時,初始值為(0.1,0.1,0.1,0.1),系統散度隨時間變化的平均值如圖3 所示。從圖3 可知,忽略瞬態部分,系統散度隨時間變化的平均值為零。

圖3 隨時間變化的z 的平均值Fig.3 The average of z varying with time

假設相空間中體積V(t)的任意閉合曲面為S(t)。設體積V(t)在經過無窮小時間dt的體積為V(t+dt),則相應的曲面面積為S(t+dt),則可得到:

式中:A和n分別表示曲面S的表面積和曲面上從內到外的單位法向量。式(7)也可寫成如下表達式:

根據散度定理,可表示為式(9)。

其中(?·F)即為F的散度,根據式(6)～(9)可得到:

從式(10)可以得到,z隨時間變化的平均值為零(見圖3),也即系統的空間相體積是恒定的,系統是體積保守的。

1.5 能量分析

1991 年,Arnol'd 等[22]提出用Kolmogorov 系統來描述耗散強迫動力系統或流體動力學的不穩定性。Kolmogorov 型變換可以判斷系統的哈密頓能量是否保守[17]。Kolmogorov 型變換可描述為[17,23]:

式中:x∈Rn表示系統的狀態變量;J(x)∈Rn·n表示反對稱矩陣;H(x):Rn→R代表哈密頓能量;{x,H(x)} 對應于系統的能量保守部分;Δx對應系統的耗散部分;f為系統的外加能量。當方程(11)中沒有Δx和f時,哈密頓能量是一個非零常數(哈密頓能量的變化率等于零),即哈密頓能量守恒系統;否則是非哈密頓系統。為了實現這種變換,系統(2)必須滿足反對稱條件[23]。因此,假設X=hx,Y=y,Z=z和U=mu,其中h和m是兩個非零常數,系統(2)可寫為式(12)的變換:

該系統的哈密頓能量部分為:

對式(15)進行計算,系統的哈密頓能量變化率為:

很明顯該系統的哈密頓能量變化率不為零,即該系統為非哈密頓能量的體積保守混沌系統。

1.6 參數對系統動力學行為的影響

隨著系統參數的變化,系統會處于不同的狀態。固定初始值(0.1,0.1,0.1,0.1),當參數b=1,k=0.1 時,參數a在[0,10]范圍內的Lyapunov 指數譜如圖4(a)所示,狀態變量y隨參數a變化的分岔圖如圖4(c)所示。可以得到,參數a在區間[0,1.56],[2.04,2.48],[2.58,2.72],[2.83,3.07],[3.60,4.02]處于混沌狀態,在區間[1.57,2.03],[2.49,2.57],[2.73,2.82],[3.08,3.59],[4.03,10]處于準周期狀態。當參數a=0.1,k=0.1 時,參數b在[0,10]范圍內的Lyapunov 指數譜如圖4(b)所示,狀態變量y隨參數b變化的分岔圖如圖4(d)所示。可以得到,參數b在區間[0,1.48],[3.09,3.75]處于混沌狀態,在區間[1.49,3.08],[3.76,10]處于準周期狀態。系統隨a、b參數變化的Lyapunov 指數之和分別如圖4(e)和(f)所示。總的來說,系統(2)從混沌狀態開始,隨著a、b參數的變化,系統存在混沌狀態和準周期狀態的來回切換,最后穩定在準周期狀態。Lyapunov 指數譜具有關于水平x軸對稱的結構,系統的Lyapunov 指數之和為零。此外,分岔圖與Lyapunov 指數譜也相對應。

圖4 系統隨參數a、b 變化的Lyapunov 指數譜、分岔圖以及Lyapunov 指數之和Fig.4 Lyapunov exponent spectra,bifurcation diagrams and sum of Lyapunov exponent of the system varying with a, b

參數a、k和初始值同上,b取值準周期狀態區間,隨b值的變化,系統(2)具有豐富的準周期拓撲結構。b取不同值時,x-z平面準周期相軌圖如圖5 所示。

圖5 b 取不同值的準周期拓撲相軌圖Fig.5 Quasi-periodic topological phase diagrams with b in different values

從圖4(b)中可以得到,當b=1 時為混沌狀態,b=10 時為準周期狀態。固定參數a=0.1,k=0.1,初始值(0.1,0.1,0.1,0.1),當b=1 時,y-z,xz,z-u平面的混沌流相圖(青綠色)如圖6(a),(c),(e)所示;當b=10 時,對應平面的準周期流相圖(青綠色)如圖6(b),(d),(f)。紅點則顯示了圖6 中yz,x-z,z-u各個切面上對應的Poincaré 映射。根據系統不同平面上的Poincaré 映射,可得到驗證: 準周期的Poincaré 映射是一條閉合曲線或只有有限個點,而混沌的Poincaré 映射是一些離散點。

圖6 系統混沌流和準周期流相圖及其Poincaré 映射Fig.6 Phase diagrams of the chaotic flows and quasi-periodic flows and their Poincaré map

1.7 初始值對系統動力學的影響

當系統參數不變時,不同初始值可能會產生具有多個不同拓撲結構的吸引子(保守系統的混沌流或準周期流)稱為多穩態。系統(2)對初始值變化敏感,受初始值影響,可產生混沌流和準周期流的狀態切換。參數a=0.1,k=0.1,b=1 保持不變時,設初始值為(0.1,y(0),0.1,0.1) 或(0.1,0.1,z(0),0.1)。關于初始值y(0)和z(0)的Lyapunov 指數譜和相應分岔圖如圖7 所示。從圖7 可知,所有Lyapunov指數譜也關于水平x軸對稱。根據圖7(a),當y(0)在區間[-5,-1.3],[-0.64,0.5]和[1.52,5]系統處于混沌狀態,當y(0) 在區間[-1.29,-0.65],[0.51,1.51]系統處于準周期狀態。從圖7(c)可得z(0)取值[-5,5],系統始終處于混沌狀態。

圖7 系統隨初始值y(0)、 z(0)變化的Lyapunov 指數譜和分岔圖Fig.7 Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagrams of the system varying with initial values y(0), z(0)

1.8 共存現象

固定參數值時,系統(2)可以由不同的初始值產生無窮多個共存流。有趣的是,對于不同的初始值,該系統可產生混沌流和不同幅度周期流的非對稱共存。選取參數a=0.1,k=0.1,b=1 不變,如圖8(a)所示,可產生初始值為(0.1,0.01,0.1,0.1)的混沌流(藍色),(0.1,0.05,0.1,0.1)的混沌流(紅色),(0.1,0.8,0.1,0.1)的周期流(青綠色),(0.1,1,0.1,0.1)的周期流(玫紅色)共存現象。此外,固定參數a=0.1,k=0.1,b=10,改變系統初始值,還可得到準周期共存流,如圖8(b)所示,初始值分別為(0.1,0.1,0.1,0.1) (紅色),(-0.1,-0.1,0.1,-0.1)(藍色),(0.1,0.1,0.1,-0.1)(青綠色)的準周期流共存現象。

圖8 系統在不同初始值下的共存現象Fig.8 Coexistence of the system with different initial values

2 電路實現

本部分根據系統狀態方程和電路理論設計系統(2)的等效模擬電路。選取參數a=0.1,k=0.1,b=1 設計系統電路,對系統的狀態方程進行時間尺度變換,令t=δτ,δ為時間尺度變換因子,取δ=1000,如式(17)所示:

根據式(17)所設計系統的電路原理圖如圖9 所示,相應的電路方程為式(18)所示。

圖9 系統Multisim 仿真電路Fig.9 Multisim emulator circuit of the system

該電路采用線性電阻、電容、運算放大器、模擬乘法器等電路元件。其中,運算放大器所選擇的工作電壓為±15 V。計算所得的電容、電阻值如圖9 所示。Multisim 電路仿真結果如圖10 所示,與Matlab 的數值仿真結果對比,整體上是一致的,其結果驗證了理論分析的正確性。

圖10 Multisim 仿真相軌圖Fig.10 Phase diagrams by Multisim software simulation

3 結論

本文提出一類基于憶阻器的四維保守混沌系統,通過計算系統散度和對其進行Kolmogorov 型變換分析了它的保守性,該系統散度隨時間變化的平均值為零,哈密頓能量變化率不為零,因此為相體積守恒、哈密頓能量不守恒的保守混沌系統。分析了系統隨參數和初始值變化的Lyapunov 指數譜和分岔圖,發現其具有Lyapunov 指數之和為零、Lyapunov 指數譜關于水平x軸對稱等特征;還具有多種準周期拓撲結構,同態和異態共存的多穩態特性。最后,通過模擬電路實驗驗證了相關的理論分析的正確性。保守系統比耗散系統在圖像加密方面的應用更具優勢,該保守系統的提出為混沌在圖像加密方面的應用提供性能優良的備選系統。