小學生量感現狀對度量教學的啟示
——以“周長”和“面積”學情調研為例

江蘇南京理工大學實驗小學（210014） 邱 迪

一、周長和面積的量感現狀學情調研

人天生具備對數量多少和距離遠近的感知力，并有抽象和想象的特殊能力，這是形成量感的思維基礎。那么，學生天生對周長和面積的感知力如何？在學習周長和面積之后，學生產生困惑的根源究竟是什么？如何讓學生從度量的角度體會周長和面積在本質上的區別與聯系？基于以上問題，筆者從度量思想的角度出發，為還未學習周長和面積的三年級學生安排了周長和面積的學習前測，為已經學習周長和面積的四年級學生安排了周長和面積的學習后測。期望通過不同學習進程的學情調研，了解學生的學習現狀，以學定教，對周長和面積的度量教學做出有益探索。

1.調研形式與學情分析

本次學情調研采用“問卷答題+訪談”的形式，調研對象來自本市某所普通公辦小學，在三年級和四年級各隨機抽取兩個班，參與調研人數為三年級97人，四年級90人。調研時間是2022年9月末，此時三年級學生還沒有開始周長和面積的學習，而四年級學生對周長和面積的學習已經過了數月，存在一定程度的遺忘。

2.調研內容設計及理念

基于三、四年級學生在周長和面積學習進程上的不同，調查問卷分為A、B 兩卷，A 卷是“周長和面積學習前測”，由三年級學生完成；B 卷是“周長和面積學習后測”，由四年級學生完成。

A 卷設置了2 個情境式的調研問題，從周長和面積的“直觀感知”“識別理解”“度量表征”三個維度進行設計；B 卷也設置了2 個調研問題，從“概念辨析”“度量方法”兩個維度比較周長和面積，讓學生感知周長和面積的聯系。

3.問卷設計與結果反饋

【A卷】周長和面積學習前測

調研問題：（1）下面兩幅圖是分別用6 塊相同的灰色小正方形設計的圖形，兩個圖形一樣大嗎？在你認為正確的答案后面畫“√”。

①

②

①號大（ ） ②號大（ ） 一樣大（ ）

（2）下圖是用籬笆圍的兩塊種植田。

①圍（ ）種植田用的籬笆更長。如果分別用一個數來表示圍這兩塊種植田的籬笆有多長，你認為a種植田是（ ），b種植田是（ ）。

②（ ）種植田更大，可以種更多的菜。如果分別用一個數來表示這兩塊種植田的大小，你認為a種植田是（ ），b種植田是（ ）。

調研結果：

根據表1 可知，大部分三年級學生對面積的大小已經具備一定的感知。兩個圖形雖然形狀不同，但教師可以引導學生使用圖中的小正方形作為統一單位去度量，從而讓學生發現兩個圖形所包含的單位面積的“量”是一樣的，這有助于學生后續建立面積守恒觀念。

表1 調研問題（1）的學生完成情況

結合表2、表3可知，大部分三年級學生即使沒有開始學習周長和面積，在具體的情境中也能識別它們，還能借助方格邊數、方格數對它們進行度量及數據表征。這說明學生對周長和面積這樣的幾何量具備天生的直覺。其中，有74.2%的學生可以準確感知并能借助方格邊數表示籬笆有多長，而有86.6%的學生可以準確感知并能借助方格數正確度量表征種植田有多大，這說明學生天生對面積的感知與理解要優于對周長的觀察與理解。

表2 調研問題（2）中學生對周長的識別理解與度量表征情況

表3 調研問題（2）中學生對面積的識別理解與度量表征情況

【B卷】周長和面積學習后測

調研問題：（1）比較下面兩個圖形的面積和周長。

①面積：A○B。我是這樣比的：_____。

②周長：A○B。我是這樣比的：___。

（2）一張長8 cm、寬7 cm 的長方形紙，最多可以剪成多少張邊長為2 cm 的正方形紙？（注：可以借助方格紙驗證，1個小方格的邊長為1 cm）

調查結果：

結合表4、表5 可知，在比較長方形、正方形的面積和周長時，學生的正確率高達80%～90%，在選擇列式計算的學生中，沒有人將周長和面積的公式用反或用錯，錯誤主要出現在單位名稱上。筆者通過訪談發現，有個別學生認為單位不重要，只需比較相應的數值即可，這是圖形的認識和測量教學中對學生量感培養的忽視所致。

表4 調研問題（1）中學生對面積的概念辨析與度量方法情況

表5 調研問題（1）中學生對周長的概念辨析與度量方法情況

表6 反映了一道面積易錯題的答題情況，數據顯示，僅有48%的學生能夠準確表達每一步列式的含義，并寫出度量的實際步驟和結果。在“解答正確，驗證失敗”“解答正確，無驗證”和“解答有誤，驗證后獲得正確解法”的學生中，筆者各選一名進行訪談。

表6 調研問題（2）中學生從度量角度感知周長和面積聯系情況

師：這道題你做對了，你的方法是什么？

生1（解答正確，驗證失?。豪蠋熃踢^這種類型題目的解法，我是用同樣的方法去解的。

師：但你的驗證失敗了，你知道原因嗎？

生1：不是特別清楚。

師：這道題你做對了，但為什么沒有使用方格紙驗證呢？

生2（解答正確，無驗證）：我覺得已經做完了，我怕驗證錯了。

師：你是怎么發現第一種解法錯了呢？

生3（解答有誤，驗證后獲得正確解法）：我一開始算的答案是14 張，接著在方格紙中畫了畫，發現最后一行的寬不足2厘米。

師：為什么換了第二種方法？

生3：第二種方法可以與方格紙上的圖對應上，比較符合實際。

這道題的設計意圖有兩點：一是通過方格紙讓面積的抽象度量回歸到實際度量，讓學生結合實際測量情況，理解每一步算式的實際含義，如此，學生不僅對數有感知，對量也有感知；二是通過用方格紙驗證的方式找到周長度量和面積度量的相通性，感受度量從“一維到二維”的延伸。該題的易錯點在于長8 厘米、寬7 厘米的長方形的面積為56 平方厘米，這個數據正好可以被4 整除，若沒有“借助方格紙驗證”這一步，學生的錯誤率會進一步上升。

二、周長和面積教學中存在的問題

周長和面積是“圖形與幾何”領域“圖形的認識與測量”主題中的兩個幾何量概念。根據蘇教版教材的編排，三年級上冊學習“周長”，下冊學習“面積”。學生從周長到面積的學習，是空間觀念“由線及面”的延伸，也是空間思維由“一維到二維”的拓展。

1.量感概念建構混淆

每次空間認知形式上的飛躍，都容易造成學生對圖形認識和測量上的混淆。學生先學習了周長，就會對后續面積的學習產生一些負遷移。比如，在初步認識面積概念時，要表示地圖上一片湖面的大小，學生往往會錯把湖的周長當作面積，在計算時也會以線代面，對線和面的感知混亂。

2.缺乏對度量單位的直觀感知

度量單位是對周長和面積這樣的物理屬性賦值的度量標準（也叫“測量標準”）。比如，在認識面積單位平方厘米、平方分米、平方米時，對于1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的獨立感知，學生較為清晰，但是這些單位之間的進率是一個學習的難點，有的教師為了“提高效率”，直接出示面積單位的進率關系，這樣一來，就造成了學生只有對數的感知，而無對量的感知。學生在面臨需要先進行單位轉換，再進行面積大小的估測和比較的問題時，空間想象力就顯得十分薄弱。究其原因，是學生對各類度量單位的實際感知模糊，以及沒有在同類度量單位之間建立關聯感知。

3.忽略對計算公式內涵的理解

刻畫周長與面積的本質是度量。起初，學生在探究的過程中是用度量單位直接度量的，周長由長度單位累積而成，面積由面積單位累積而成。根據度量對象的幾何特征形成不同的數學模型，再抽象提煉出度量單位的計算公式，學生就可以運用公式間接地度量圖形的周長和面積了。然而，到了小學高年級，學生對周長和面積的認知往往僅剩下抽象的公式，這與教師在復習時只整理相關公式有一定的關系，這樣的復習忽視了學習的過程，學生自然遺忘公式的內涵，于是造成運用時的混淆。

三、基于量感現狀調研的度量教學啟示

基于上述學情調研及結果反饋，筆者發現，在以往周長和面積的教學過程中，教師往往僅以量的計算技能為重心，而忽視了學生對度量單位本質的感悟。這會導致學生出現概念混淆、度量單位感知缺失、計算公式缺乏內涵理解等情況。

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“2022 版課標”）特別引入量感作為當代學生應具備的核心素養，并提出了相應的培養要求。這意味著量感是學生缺一不可的數學核心素養。量感是什么呢？它和度量有著怎樣的關系？量感的培養要求又會給度量教學帶來哪些新的啟示與導向？

1.加強度量具身體驗，為量感生長鋪墊基石

2022 版課標指出：“量感主要是指對事物的可測屬性及大小關系的直觀感知?！闭J知心理學研究表明，學生要想逐漸發展與完善量的直觀感知，就需要積累具身性實踐經驗。

因此，教學中要給予學生充分觀察、操作、體驗的機會，如教學“身體上的尺子”主題活動課時，讓學生以自己“身體上的尺子”——一拃、一步、一庹為單位去估測周圍物體的長、寬、高等參數。又如，在教學了“面積”后，讓學生挑選一張自己喜歡的長方形照片，并為它制作一個精美的相框。在制作過程中，學生需要根據照片的周長制作相框的邊框，根據照片的面積選擇玻璃面的大小，還要感知因度量方法引起的測量誤差，等等。學生只有全身心投入這些有意義的、多層次的具身度量體驗活動時，他們才能親自體驗客觀事物的屬性特征，從而厘清量的概念，擁有量的直覺。由此學生的量感從“感性描述”逐漸跨越到“理性刻畫”。

2.感悟度量本質思想，為量感刻畫建立錨點

量感的經驗性特征決定了學生只有對常見物體的可測屬性與實際測量的真實結果有多次體驗，獲取直觀經驗，才可以逐步形成和發展自身量感。因而度量是量感形成的基礎。

（1）回歸度量的本質和意義，初步建立度量思維

由表4、表5 可知，調查問卷B 卷第（1）題的答題準確率明顯高于同類型的練習，學生基本沒有發生概念混淆、計算失誤的情況。究其原因，是這道題在圖形下面增添了方格紙，學生可以清晰地看到周長是由圖形外圍一周的方格線累積而得，面積是由圖形內部包含的方格累積而得，感受到了量是度量單位的累積，因此周長、面積這兩個抽象概念在學生眼里變得具象可感。借助方格紙，學生對周長和面積的度量本源會有更充分的理解：周長的加法結構是“逐邊累積”，面積的乘法結構是“每排有幾個單位面積，有幾排”。這樣，學生就不僅僅停留在“數的記憶”層面，還加持著“量的感悟”，對圖形幾何量的量感理解會更加豐厚。

（2）認識度量的對象屬性，理解度量單位并形成實際大小觀念

度量單位實際是度量的標準。學情調查中筆者發現，在比較面積或周長時，有的學生會把面積單位寫成“cm”，有的學生只計算不寫單位。學生認為“單位就是字母，算出來就能比較了，不寫單位不影響比較”。由此可見，在一部分學生的心中，周長和面積僅僅是一個“數”，后面跟著的單位是個“麻煩”。事物的可測屬性，如圖形的周長和面積，都是幾何量，教師需要強調“數字+度量單位”的科學表達，這樣才能幫助學生形成度量單位的實際大小觀念。

3.建立度量橫縱聯系，為量感發展優化結構

量感的發展旨在讓學生養成用定量的方法認識和解決問題的習慣，從而形成抽象能力和應用意識。因此，在度量教學中，教師要引導學生用聯系的眼光看待世界，厘清不同維度的量之間的區別與聯系。

（1）注重同類度量單位的縱向聯系

幾乎所有度量單位的產生和發展都經歷了漫長的由多元到統一、由粗略到精細的過程。因此，同種量的度量單位之間存在科學化、精細化的邏輯關聯，有些常見的度量單位易于觀察和感知，如1平方分米由100 個1 平方厘米構成；有些不常見的度量單位則難以感知，如千米和公頃。這就需要教師打通同種量的度量單位在大小關系或距離遠近上的邏輯關聯，尋找易于感知的參照度量標準，幫助學生從量的轉換、分割、累積等方面展開推理和想象。

（2）聚焦異質度量單位的橫向關聯

小學階段學習的不少單位量之間雖然屬性不同，但卻有著內在的關聯。就如周長、面積和體積，如果沒有一維空間的1 cm，就無法衍生二維空間的1 cm2和三維空間的1 cm3。

筆者嘗試通過調查問卷B 卷的第（2）題，助力學生主動溝通一維度量與二維度量的聯系。學生解答完成并借助方格紙驗證時，就是讓面積的抽象度量回歸到實際度量。在結合實際測量情況，理解每一步算式的實際含義的基礎上，學生不僅對數有感知，對量也有感知，于是順利地在方格紙的驗證中找到周長度量和面積度量的相通性，感受度量從“一維到二維”的延伸。學生在解決實際問題的過程中能夠發現異質度量單位之間的內在關聯，并在教師的指導下嘗試用理性的量感去概括這種聯系的本質，從而優化量感的發展。