KUKA-KR210-2機器人運動學及奇異性分析

張付祥,高 參,吳 廣,于得水,李俊慧,張永興

(1.河北科技大學機械工程學院,河北石家莊 050018;2.河北前進機械廠,河北石家莊 050035;3.河鋼集團石鋼公司,河北石家莊 050031;4.河北鑫躍焦化有限公司,河北石家莊 050199)

工業機器人能夠代替傳統人工完成許多重復作業[1],提升了企業的生產效率和自動化程度[2]。KUKA-KR210-2機器人作為KUKA公司開發的六自由度工業機器人,廣泛用于國內外工業領域。由于生產廠家未提供該款機器人的運動學和奇異性相關資料,無法直接實現對機器人的復雜控制,必須對機器人進行運動學分析,讀取其內部相關信息。建立與工業機器人廠家一致的機器人坐標系是分析工業機器人運動學的前提,只有相同的機器人坐標系才能保證將從機器人內部讀取到的數據直接應用于機器人的控制程序。機器人運動學的分析方法包括D -H(denavit-hartenberg)參數法[3]、旋量理論[4]、指數乘積公式法(product of exponentials formula, POE)[5]和李群李代數理論[6]等。葉泉等[7]采用D -H參數法建立了ABB-IRB2600機器人的結構模型,使用MATLAB完成了該型號機器人的運動學分析。叢志文等[8]對KUKA-KR16-2機器人進行了運動學分析,求得機器人正運動學和逆運動學的封閉解,并基于改進遺傳算法完成機器人最優軌跡規劃。張付祥等[9-10]采用D -H參數法建立運動學模型,分別對ER7L-C10機器人和UR5機器人進行了運動學求解和奇異性分析。

本文采用標準D -H參數法建立機器人坐標系,使其與廠家坐標系保持一致,對KUKA-KR210-2機器人進行運動學建模并求解正運動學,采用封閉解法中的分離變量法完成逆運動學求解,使用MATLAB對機器人的運動學和奇異性進行仿真,并驗證其準確性。

1 機器人坐標系建立及D -H參數確定

本文采用標準D -H參數法分析機器人運動學,根據KUKA廠家提供的特征參數,建立的KUKA-KR210-2機器人坐標系,如圖1所示。為實現機器人運動學求解結果與示教盒中數據的對應,建立基坐標系{b}和末端坐標系{t}。

圖1 KUKA-KR210-2機器人坐標系Fig.1 KUKA-KR210-2 robot coordinate system

依據KUKA廠家提供的KUKA-KR210-2機器人的特征參數,結合標準D -H參數法建立機器人坐標系,得到KUKA-KR210-2機器人的D -H參數,如表1所示。

表1 KUKA-KR210-2機器人的D -H參數

2 機器人運動學分析

2.1 機器人正運動學分析

建立機器人運動學方程是根據已知各關節變量計算機器人末端在基坐標系中位姿的過程,即求解關節空間到笛卡爾空間的坐標變換。

對于兩相鄰坐標系{n-1}和{n},相鄰兩連桿間的齊次變換矩陣通式為

An=

(1)

為了簡化公式,用sn表示式(1)中的sinθn;cn表示cosθn;對特殊角度,有θ23=θ2+θ3,θ46=θ4+θ6;用s23表示sin(θ2+θ3),c23表示cos(θ2+θ3),s46表示sin(θ4+θ6),c46表示cos(θ4+θ6)。

將各連桿間的齊次變換矩陣A0～A6相乘,可得到KUKA-KR210-2機器人的正運動學齊次變換矩陣T6:

(2)

式中:

nx=c1c23(s4s6-c4c5c6)-

s1(c4s6+s4c5c6)-c1c23s5c6;

ny=s1c23s5s6-s1c23(s4s6-c4c5c6)-

c1(c4s6+s4c5c6);

nz=c23(s4s6-c4c5c6)+s23s5c6;

ox=s1(c4c6-s4c5s6)-

c1s23(s4c6+c4c5s6)-c1c23s5s6;

oy=c1(c4c6-s4c5s6)+

s1s23(s4c6+c4c5s6)+s1c23s5s6;

oz=s23s5s6-c23(s4c6+c4c5s6);

ax=c1c23c5-s1s4s5-c1s23c4s5;

ay=s1s23c4s5-c1s4s5-s1c23c5;

az=-s23c5-c23c4s5;

px=c1(a1+a2c2-a3s23)-c1c23(d4+d6c5)+d6s1s4s5+d6c1s23c4s5;

py=s1c23(d4+d6c5)-s1(a1+a2c2-a3s23)+d6c1s4s5-d6s1s23c4s5;

pz=d0-a3c23-a2s2+s23(d4+d6c5)+

d6c23c4s5。

2.2 機器人逆運動學分析

機器人逆運動學分析是根據已知的機器人末端位姿計算各關節變量的過程,即求解機器人末端笛卡爾空間到關節空間的坐標變換。KUKA-KR210-2具有3個腕關節的軸相交于一點的特征,滿足機器人Pieper準則[11],其逆運動學具有封閉形式解。

(3)

由式(3)左右兩側第3行第4列元素相等,根據三角函數計算可直接求得θ1在-180°～180°關節轉角范圍內的第1個解θ1-1;根據機器人結構特征,可知θ1在-180°～180°關節轉角范圍內的第2個解θ1-2與θ1-1相差180°,可得:

(4)

(5)

由式(3)左右兩側第1行第4列元素相等,可得:

(6)

θ3=θ23-θ2,

(7)

式中:

m1=c1(axd6+px)-s1(ayd6+py)-a1;

m2=d0-pz-azd6;

(8)

當關節角θ5≠0時,根據式(8)左右兩側第1行第3例、第2行第3例、第3行第1例、第3行第2例、第3行第3例元素相等,并整理求解關節角θ4,θ5,θ6,可得:

θ5=±arccos(c23(axc1-ays1)-azs23),

(9)

(10)

(11)

當關節角θ5=0時,機器人處于奇異位形,θ4和θ6存在無窮多個解,可通過讀取或寫入機器人關節4角度θ4或關節6角度θ6,再用角度和θ46減去讀取或寫入的角度算得另一角度,實現逆運動學求解。

(12)

至此,KUKA-KR210-2工業機器人的θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6在-180°～180°的關節轉角范圍內的解全部求出,機器人逆運動學共有8組解析解。

3 機器人奇異性分析

機器人奇異性分析是研究機器人運動學的重要組成部分,機器人的奇異位形直接影響到各關節的運動控制。引入雅可比矩陣可以求得機器人奇異時的關節角度關系,現階段常用矢量積分法[13]、速度遞推法[14]和微分變換法[15]求解雅可比矩陣。

本文采用微分變換法求解KUKA-KR210-2工業機器人的雅可比矩陣。由于KUKA-KR210-2工業機器人6個關節均為轉動關節,其雅可比矩陣J的第i列Ji的經驗公式為

(13)

依據式(13)計算雅可比矩陣內各列向量可得:

根據上述雅可比矩陣列元素可得:

(14)

當機器人奇異時,雅可比矩陣的行列式值為0,由此可知:

(15)

式中:s33表示sin(θ3+θ3);c33表示cos(θ3+θ3)。當式(15)成立時,機器人存在以下2類奇異位形。

1)當s5=0成立時,即在關節轉角范圍內關節5的角度為0°時,機器人3個腕關節的軸共面,機器人處于腕部奇異位形,如圖2所示。腕部奇異是機器人在運動過程中最容易出現的奇異位形,KUKA-KR210-2工業機器人在初始位就存在腕部奇異,運動控制時通常需要先給關節5賦予一定的初始值,保證機器人逆運動學順利求解,機器人正常運動。

圖2 關節5滿足奇異性關系圖Fig.2 Joint 5 satisfying the singular relation graph

圖3 關節2和關節3滿足奇異性關系曲面Fig.3 Joints 2 and 3 satisfying singular relation surfaces

4 機器人運動學驗證

為驗證運動學分析的正確性,使用MATLAB軟件將運動學求解過程編寫成程序,將程序求解結果轉為ZYX歐拉角[16]表述方式,同KUKA-KR210-2機器人示教盒數據進行對比,結果一致則說明運動學分析無誤。機器人示教盒數據顯示如圖4所示。

圖4 機器人示教盒數據顯示Fig.4 Robot teaching box data display

控制機器人運動到達4個非奇異位形的隨機位置,記錄每個位置各關節角度和對應示教盒中的位姿,各關節角度數據見表2,示教盒中的實際位姿以及運動學程序計算得到的4組關節角度對應位姿,見表3中的實際值和計算值。

表2 機器人關節角度

表3 正運動學位姿

由表3可知,在機器人各關節角度相同的情況下,本文的正運動學函數求解的末端位姿與機器人示教盒末端位姿基本一致,誤差在1 mm以內,驗證了本文機器人正運動學分析的正確性。

由于機器人逆運動學存在8組解,所以在進行逆運動學驗證時不僅要對比關節角度,還要對各組關節角度求對應的末端位姿,驗證末端位姿分析逆運動學解得的關節角度是否正確。在進行機器人逆運動學計算時,選定8組解中相對機器人實時位置總行程最短的解為最優解。對4組正運動學算得的末端位姿求反解,逆運動學反解求得的角度如表4所示。

通過對比表4和表2可知,本文逆運動學函數求得的關節角度與實際角度不同,需要用求得的關節角度計算末端位姿,進行正運動學驗證,對逆運動學反解的正運動學驗證的結果如表5所示。

表5 逆運動學反解驗證

對比表5和表3可知,對本文求解的逆運動學角度進行正運動學驗證后,所得末端位姿與機器人示教盒末端位姿基本一致,誤差在1 mm以內,說明本文逆運動學函數求得的關節角度也可到達指定位置,4個位置的反解角度均為可行解,證明了本文機器人逆運動學分析的正確性。

在實際應用中,使用上述運動學程序,在KUKA-KR210-2機器人上進行運動控制試驗,機器人工作情況穩定,說明本文的運動學分析結果可應用到實際的運動控制中。

5 結 語

本文以KUKA-KR210-2機器人為研究對象,建立與其廠家一致的機器人坐標系,并首次完成KUKA-KR210-2機器人的運動學分析和奇異性分析,為最終實現該款機器人的復雜運動控制奠定了技術基礎。具體結論如下。

1)通過建立的機器人運動學方程,求得機器人各關節變量在-180°～180°關節轉角范圍的8組解析解,驗證結果說明運動學分析正確,選用標準D -H參數法是可行的。

2)根據機器人處于奇異位形時雅可比矩陣不滿秩的特點,采用微分變換法實現雅可比矩陣求解,得到KUKA-KR210-2機器人的奇異位形,并完成仿真。

3)完成了工業機器人內部信息匹配性校驗,得到的分析結果可以直接用于KUKA-KR210-2機器人的控制程序,實現復雜的運動控制。

本研究完成的KUKA-KR210-2機器人的運動學和奇異性分析,為實現機器人的復雜運動控制提供了關鍵性數據。但是,如果要控制KUKA-KR210-2機器人進行復雜環境中作業,未來還需進一步對機器人在工業場景中的高級運動控制進行研究,如非結構化環境中的實時避障和運動軌跡規劃等,并關注降低工業機器人的能耗問題。